El documento describe la curva conocida como cardiode. El cardiode es la curva descrita por un punto de una circunferencia que rueda alrededor de otra circunferencia de igual radio, tomando la forma de un corazón. Se genera cuando una circunferencia rueda sobre otra sin deslizarse.

1. Nombre: Araujo Chica David Fabián,
Materia: dibujo carrera: Ing. Mecánica ciclo: 2
Cardiode
Es la más sencilla de las epicicloides. Es la curva descrita por un punto de una
circunferencia que, sin deslizarse, rueda alrededor de otra circunferencia de
igual radio. Se llama cardiode por su semejanza con el dibujo de un corazón.
La cardiode, conocida también como Caracol de Pascal, en honor de [[Etienne
Pascal], Padre del gran sabio francés.
La ecuación genérica del cardiode en coordenadas cartesianas es:
(X2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)
La ecuación genérica de la cardiode en coordenadas polares es::
r = a (1+cos (t))
Se llama cardiode a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a, por su semejanza
con el dibujo de un corazón. La cardiode es una curva ruleta de tipo epicicloide,
con k=1. También es un caracol de Pascal, cuando 2a=h
Un cardiode generado por una circunferencia que rueda.
Un cardiode dado como la envoltura de las circunferencias cuyos centros
pertenecen a una circunferencia dada y que pasan a través de un punto fijo de
una circunferencia dada.
Se llama cardiode a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a (1+cos θ), por su
semejanza con el dibujo de un corazón.
Generada por un círculo rodando alrededor de otro.
El cardiode es la más sencilla de las epicicloides: la curva descrita por un
punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda alrededor de otra
circunferencia de igual radio
También se genera por un punto de una circunferencia que rueda envolviendo
a otra de radio mitad
El cardiode es la podaría del círculo respecto a uno de sus puntos (la podaría
de una curva respecto de un punto fijo P es el lugar geométrico de los puntos
de corte entre cada tangente a la curva y su perpendicular por P):

2. También es la envolvente de las cuerdas de un círculo cuando los extremos de
la cuerda recorren la circunferencia en el mismo sentido y uno a doble
velocidad que el otro:
La cardiode es un caso particular de Limaçon de Pascal o concoide del círculo
respecto a uno de sus puntos: dado un punto fijo A, se toman dos segmentos
de igual longitud desde un punto M de la circunferencia y sobre la recta AM. El
lugar geométrico de los extremos P y P' de esos segmentos, cuando M varía,
es la concoide:
En el caso particular de que la longitud de los segmentos MP y MP' sea doble
al radio, la concoide resulta el cardiode:
En cuanto a la evoluta de un cardiode: ¿cuál es la curva envolvente de la
familia de rectas normales?
Comprueba cómo es la caustica del cardiode respecto a su cúspide: Si se
lanzan rayos desde ella, la envolvente de sus reflejos en la curva es:
Cardiode. Curva descrita por un punto de una circunferencia que, sin
deslizarse, rueda alrededor de otra circunferencia de igual radio.
Hiperboloide
Es la superficie de revolución generada por la rotación de
una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del
eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de
referencia, cuya ecuación es
,
En el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo,
mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la
hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.
Ecuaciones del hiperboloide
Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar
en el sistema de coordenadas, cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las
coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:
Es decir
Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:
la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)•(X+Y) = 1, luego:

3. Si se gira alrededor del eje Y, de vector director, entonces se otorga a la
tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la
misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:
Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director, entonces Z
aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:
Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay
dos negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x, y,
z se obtiene una de estas dos ecuaciones:
(Una hoja, dos hojas)
Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya
ecuación es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado
en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la
superficie), de la forma:
Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la
dirección de los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y
en los z por c. Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.
La superficie de un hiperboloide de una hoja de altura h, situado entre los
planos y y de sección transversal circular, es
decir, . Su ecuación queda de la forma .
Si
El volumen comprendido por la función del hiperboloide de una hoja y los
planos z=h/2 y z=-h/2 .