Las secciones cónicas The conics

1. Actividad 2.2
Las cónicas
G. Edgar Mata Ortiz

2. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano
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Las cónicas son un conjunto de curvas que pueden ser obtenidas
cuando un plano corto a un cono circular recto de dos ramas,
como se muestra en la figura de la izquierda.
Las secciones cónicas son: La circunferencia, la elipse, la
hipérbola y la parábola. Su importancia radica en el uso que se
les da para la resolución de problemas prácticos.
A continuación, se estudiarán sus aplicaciones y propiedades
más importantes.
Contenido
Introducción .............................................................................................................................................................2
Propiedades las cónicas........................................................................................................................................2
Aplicaciones de las cónicas.......................................................................................................................................3
Problemas de razonamiento. ...............................................................................................................................3
Bibliografía............................................................................................................................................................4
Es importante dejar claro que, al inventarse las cónicas, no se
disponía de la relación que estas curvas tienen con sus
ecuaciones; esto sólo fue posible muchos siglos después de su
descubrimiento a través de la invención del plano cartesiano y la
geometría analítica por Descartes.

3. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano
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Introducción
La figura que aparece en la portada de este
documento representa la forma en la que se
obtienen las figuras que reciben el nombre de
cónicas.
Elabora un cono con cualquier material
adecuado y realiza los cortes necesarios para
obtener las cónicas. Elabora un reporte del
proceso y resultado incluyendo fotografías y/o
vídeos de esta actividad.
Propiedades las cónicas.
Las propiedades geométricas de las cónicas las vuelven muy útiles en la
resolución de problemas prácticos. Realiza una consulta y elabora una síntesis
que contenga la información de las cuatro cónicas: circunferencia, elipse,
parábola e hipérbola:
1. Definición geométrica de cada una de las cónicas y la representación
gráfica de estas definiciones (Lugar geométrico).
2. Ecuación en forma canónica cuando la curva está en el origen, es decir,
no se encuentra desplazada en ninguno de los ejes de coordenadas: Con
eje de simetría vertical y horizontal, dos ejemplos de cada una de las
cónicas con sus gráficas.
3. Ecuación en forma canónica cuando la curva está fuera del origen, es
decir, cuando la curva se encuentra desplazada tanto en el eje equis
como en el eje ye: Con eje de simetría vertical y horizontal, dos ejemplos
de cada una de las cónicas con sus gráficas.
4. Ecuación en forma general de cada una de las cónicas y realización del
proceso algebraico para expresarla en forma canónica; dos ejemplos de
cada una con sus gráficas.
5. Propiedades geométricas en cada ejemplo según corresponda: Vértices,
excentricidad, directriz, lado recto, distancia focal, asíntotas y focos.
6. Valores y significados de las distancias generalmente identificadas como
a, b, c.
7. Identificación de las distancias a, b, c, en las gráficas de todos los
ejemplos que se incluyen en el trabajo.
8. Citar la bibliografía cuidando que se haya verificado la información en, al
menos, tres libros. Indicar las páginas de los libros donde se encuentra la
información.
La Geometría
Las Cónicas
Estas figuras reciben dicho
nombre debido a que
pueden obtenerse al
intersectar un doble cono,
con un plano.
Dependiendo de la
inclinación del plano con
respecto al cono, se puede
obtener una
circunferencia, una elipse,
una parábola o una
hipérbola.
Eran conocidas por los
geómetras griegos desde
alrededor de 400 años a. C.
según se desprende de los
trabajos de Menecmo y el
propio Euclides, sin
embargo, estos
documentos se han
perdido y sólo se conocen
por referencias.
El documento más
importante de que se
dispone sobre el estudio de
estas figuras geométricas
es “Las Cónicas” escrito por
Apolonio de Perga
(actualmente Turquía)
alrededor del 200 a. C.
Las cónicas en el plano
cartesiano

4. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano
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Aplicaciones de las cónicas.
Al igual que las demás herramientas matemáticas, le estudio de las cónicas tiene un importante valor teórico,
sin embargo, es necesario que estos conocimientos teóricos se apliquen la resolución de problemas que se
presentan en la realidad, ya sea en la vida cotidiana o profesional. Resuelve los siguientes problemas aplicando
los conceptos acerca de las cónicas que se estudiaron para realizar el trabajo de síntesis que se elaboró
anteriormente.
Problemas de razonamiento.
1. Es necesario realizar una perforación para
colocar la polea que transmitirá el
movimiento mediante una banda como se
muestra en la figura. Para simplificar los
cálculos se han expresado las dimensiones
en coordenadas rectangulares. Utiliza los
puntos A, B y C para determinar la ecuación
de la circunferencia que nos indicará las
coordenadas del centro, donde se realizará
la perforación, y el radio de la polea que se
deberá utilizar.
2. Un puente colgante es sostenido por
dos torres de 25+NL/10 metros que
se encuentran a una distancia de
40+NL/10 metros entre sí. Es
necesario determinar las alturas de
los 6 soportes intermedios
(señalados con color azul) que se
encuentran a distancias iguales
entre sí sabiendo que el soporte
central mide 1+NL/10 metros de
altura. Utiliza como referencia el
plano cartesiano que se indica en la
figura.
3. Las órbitas de los planetas tienen la forma de una elipse con
el planeta en uno de los focos. En el caso de Plutón, el sol se
encuentra aproximadamente a 1467.74 millones de
kilómetros del centro de la elipse. En el punto más cercano,
Plutón se encuentra a 4445.78 millones de kilómetros del
sol. La distancia mínima de dicho planeta, hasta el centro de
la elipse es aproximadamente de 5728.48 millones de
kilómetros. Encuentra la ecuación de la elipse que modela la
órbita de Plutón y señala todas sus características geométricas.

5. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano
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Bibliografía.