1. Jacob Bernoulli desarrolló notablemente el cálculo de probabilidades en el siglo XVII al definir el proceso conocido como de Bernoulli y establecer las bases de la distribución binomial. 2. La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes con una probabilidad fija p de ocurrencia de éxito. 3. Para que una variable aleatoria X siga una distribución binomial, los parámetros son el número total de ensayos N y la probabilidad de éxito p en

1. UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Administración y Relaciones Industriales

2. EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES TUVO UN
NOTABLE DESARROLLO CON EL TRABAJO DEL
MATEMÁTICO SUIZO JACOB BERNOULLI(1654-1705).
BERNOULLI DEFINIÓ EL PROCESO CONOCIDO POR SU
NOMBRE EL CUAL ESTABLECE LAS BASES PARA EL
DESARROLLO Y UTILIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

3. ES UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA QUE CUENTA EL
NÚMERO DE ÉXITOS EN UNA SECUENCIA DE N ENSAYOS
DE BERNOULLI INDEPENDIENTES ENTRE SÍ, CON UNA PROBABILIDAD
FIJA P DE OCURRENCIA DEL ÉXITO ENTRE LOS ENSAYOS.
UN EXPERIMENTO DE BERNOULLI SE CARACTERIZA POR SER
DICOTÓMICO, ESTO ES, SÓLO SON POSIBLES DOS RESULTADOS. A UNO DE
ESTOS SE DENOMINA ÉXITO Y TIENE UNA PROBABILIDAD DE
OCURRENCIA P Y AL OTRO, FRACASO, CON UNA PROBABILIDAD Q = 1 - P.
EN LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL EL ANTERIOR EXPERIMENTO SE
REPITE N VECES, DE FORMA INDEPENDIENTE, Y SE TRATA DE CALCULAR
LA PROBABILIDAD DE UN DETERMINADO NÚMERO DE ÉXITOS. PARA N =
1, LA BINOMIAL SE CONVIERTE, DE HECHO, EN UNA DISTRIBUCION DE
BERNOULLI.
PARA REPRESENTAR QUE UNA VARIABLE ALEATORIA X SIGUE UNA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PARÁMETROS N Y P, SE ESCRIBE:

4. MEDIA
VARIANZA
DESVIACIÓN TÍPICA

5. EN LOS EXPERIMENTOS QUE TIENEN ESTE TIPO DE DISTRIBUCIÓN, SIEMPRE SE
ESPERAN DOS TIPOS DE RESULTADOS, EJEMPLO DEFECTUOSO, NO DEFECTUOSO,
PASA, NO PASA, ETC., ETC., DENOMINADOS ARBITRARIAMENTE “ÉXITO” (QUE ES LO
QUE SE ESPERA QUE OCURRA) O “FRACASO” (LO CONTRARIO DEL ÉXITO).
LAS PROBABILIDADES ASOCIADAS A CADA UNO DE ESTOS RESULTADOS SON
CONSTANTES, ES DECIR NO CAMBIAN.
CADA UNO DE LOS ENSAYOS O REPETICIONES DEL EXPERIMENTO SON
INDEPENDIENTES ENTRE SÍ.
EL NÚMERO DE ENSAYOS O REPETICIONES DEL EXPERIMENTO (N) ES CONSTANTE.

6. Algunas situaciones en las cuales se utiliza la distribución Binominal se
plantean a continuación:
-Se desarrolla una nueva variedad de maíz en una estación agrícola
experimental. Se plantan 20 semillas en un suelo de idéntica composición y
se le dedican los mismos cuidados. se espera que germine el 90% de las
semillas. Cuántas semillas se espera que germinen?
- Diez individuos propensos a desarrollar tuberculosis, entran en contacto con
un portador de la enfermedad. Si la probabilidad de que la enfermedad se
contagie del portador a un sujeto cualquiera es de 0.10. Cuántos contraerán
la enfermedad?.

7. •1.- EN UNA OFICINA DE SERVICIO AL CLIENTE SE ATIENDEN 100 PERSONAS
DIARIAS:
•POR LO GENERAL 10 PERSONAS SE VAN SIN RECIBIR BIEN EL SERVICIO.
•DETERMINE LA PROBABILIDAD DE QUE EN UNA ENCUESTAA 15 CLIENTES
•
•3 NO HAYAN RECIBIDO UN BUEN SERVICIO
•NINGUNO HAYA RECIBIDO UN BUEN SERVICIO
•A LO MÁS 4 PERSONAS RECIBIERON UN BUEN SERVICIO
ENTRE 2 Y CINCO PERSONAS

8. •FORMULA P(n,k,p)= (n/k) (Pk 1-p) n-k
• N=15
• K= 3
•P= 10/1000
 0.1 P (n, k, p)= (15/3) (0.1)3 (1-0.1) 15-3 = (15/3) (0.1)3 (0.9) 15 = 455 (0.001) (0.2824)
= 0.1285 X 100% = 12,85% La probabilidad de que 3 personas no hayan recibido un
buen servicio es de 12,85%
n=15 k= 0 P= 10/100= 0.1 p (n, k, p) = (15/0) (0.1)0 (1-0.1) 15-0 = 1. (1) (0.9)15 =
0.2059X 100% = 20.59%
• La probabilidad que ninguno haya recibido un buen servicio es de 20.59%

9.  n=15 k= 4 p= 10/100= 0.1 P= (X≤ 4) P (n, n, p) = (15/4) . (0.1) 4 (1-0.1)15-4 = 1362
(0,0001). (0,9)11 = 1362 (0,0001) ( 0,3138) =0.428 X 100 % = 4.28%
•La probabilidad a que más de 4 personas recibieran un buen servicio es de 4,28%
 n= 15 k= 2 p= 10/100= 0.1 p( n, k, p) = 15/2 (0.1)2 (1-0.1) 15-2 = 105 (0.01) (0.2541)
=0.266803 X 100% = 26, 68% n= 15 k= p=10/100= 0.1 p ( n, k, p )= (15/1) (0.1)1 (1-01) 15-
1 = 15 (0,1) (0,2287) = 0.34305 X 100% = 34.30% K0+k1+k2+k3+k4
26.59%+34.30%+26.68%+12.85%+4,28% N=15 K=5 P=10/100=0.1 (15/5) (0,1)5 (1.0,1)10-
5 3003 (0,00001) (0,3486) = 0.01046X 100% =1,04%
La probabilidad entre 2 y 5 personas es de 44.85%

10. •MUCHOS JEFES SE DAN CUENTA DE QUE ALGUNAS DE LAS PERSONAS QUE
CONTRATARON NO SON LO QUE PRETENDEN SER. DETECTAR PERSONAS QUE
SOLICITAN UN TRABAJO Y QUE FALSIFICAN LA INFORMACIÓN EN SU SOLICITUD HA
GENERADO UN NUEVO NEGOCIO. UNA REVISTA NACIONAL NOTIFICÓ SOBRE ESTE
PROBLEMA MENCIONANDO QUE UNA AGENCIA, EN UN PERIODO DE DOS MESES,
ENCONTRÓ QUE EL 35% DE LOS ANTECEDENTES EXAMINADOS HABÍAN SIDO
ALTERADOS. SUPONGA QUE USTED HA CONTRATADO LA SEMANA PASADA 5 NUEVOS
EMPLEADOS Y QUE LA PROBABILIDAD DE QUE UN EMPLEADO HAYA FALSIFICADO
LA INFORMACIÓN EN SU SOLICITUD ES 0.35.
•¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL MENOS UNA DE LAS CINCO SOLICITUDES
HAYA SIDO FALSIFICADA?
•¿NINGUNA DE LAS SOLICITUDES HAYA SIDO FALSIFICADA?
•¿LAS CINCO SOLICITUDES HAYAN SIDO F ALSIFICADAS?

11. •1.- n=5 K=1 P=0,35 p=(n, k, p ) = (n/k ) pk ( 1-p) n-k p= (n, k, p ) = (5/1) 0,035)
1 (1-0,35)5-1 = (5/1) (0.35)1 ( 0.1785) = 5 (0.5) (0.1785) = 0.445 x 100% = 44.5%
•LA PROBABILIDAD DE QUE AL MENOS UNA DE LAS CINCO
SOLICITUDES HAYA SIDO FALSIFICADA ES DE 44.5%
•2.-- n=5 k= 0 p= 0.35 p= ( n, k, p ) = (n/k) p (1-p) n-k P= (n. k. p ) = (5/0) (0.35)°
(1-035) 5-0 P= (5/0)(0,35)° (0,1160) =0,1160 X 100% = 11.60%
•LA PROBABILIDAD QUE NINGUNA DE LAS SOLICITUDES HAYA SIDO
FALSIFICADAS ES DE 11,60%
•3.- n=5 k=5 p= 0.35 (n/k) pk (1-p)n-k (5/5) (0,35)5 (1- 0,35) 5-5 1 (0,0052) (0.65) =
0.0033 X 100% = 0.33%
•LA PROBABILIDAD DE LAS CINCO SOLICITUDES HAYAN SIDO
FALSIFICADAS ES DE 0.33%