Este documento explica operaciones básicas con monomios y polinomios, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Define términos como monomio, polinomio, coeficiente, grado y operaciones como suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar cada operación.
La función cuadrática y = ax2 + bx + c define una parábola cuya forma depende de los valores de a, b y c. Una parábola tiene raíces, un eje de simetría, un vértice y una ordenada al origen que determinan su forma y posición. La concavidad de la parábola depende del signo de a y cuanto mayor es el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.
1. The document discusses key concepts related to quadratic equations including factorizing, solving, graphing, finding roots and axis of symmetry, locating maximum/minimum values, and using graphs to solve related equations and inequalities.
2. The key steps provided to factorize a quadratic equation are to find the product and factors of the coefficients that add up to the middle term, and then pair the factors.
3. To solve a quadratic equation, take all terms to one side, factorize, set each factor equal to 0 and solve for x to find the two roots.
The document introduces imaginary numbers and the imaginary unit i, which represents the square root of -1. Some key points:
- i does not refer to a real number but allows for solutions to equations like x^2 = -1
- Powers of i follow a repeating pattern based on the remainder when dividing the exponent by 4
- Complex numbers consist of real and imaginary parts and can be written as a + bi, where a is real and b * i is imaginary
- Operations on complex numbers follow the same rules as real numbers, but i must be treated as a variable when multiplying terms.
This document discusses how to solve quadratic equations by graphing. It defines the terms of a quadratic equation as the quadratic term, linear term, and constant term. It shows examples of identifying these terms and finding the solutions or x-intercepts. The document states that a quadratic equation can have 0, 1, or 2 real solutions. It also discusses that the graph of a quadratic is a parabola with roots at the x-intercepts and a vertex as its maximum or minimum point. The axis of symmetry is also identified. Methods for graphing quadratics by making tables or using a graphing calculator are presented.
This document discusses transformations of functions, including rigid and non-rigid transformations. Rigid transformations include vertical and horizontal shifts as well as reflections, which change the position of the graph but not its shape. Non-rigid transformations include vertical and horizontal stretches and shrinks, which alter the shape of the graph. Examples of each type of transformation are presented and discussed.
Este documento trata sobre las propiedades y aplicaciones del valor absoluto en ecuaciones y desigualdades. Explica que el valor absoluto de un número es su distancia de cero en la recta numérica y presenta propiedades como que el valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. Luego, resuelve varios ejemplos de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto aplicando principios como que si |a| = |b|, entonces a y b son iguales o opuestos.
The document discusses vector spaces and related concepts:
1) It defines a vector space as a set V with vector addition and scalar multiplication operations that satisfy certain properties. Examples of vector spaces include R2, the plane in R3, and the space of real polynomials.
2) A subspace is a subset of a vector space that is closed under vector addition and scalar multiplication and thus forms a vector space with the inherited operations. Examples given include the x-axis in Rn and solution spaces of linear differential equations.
3) The span of a set of vectors is the smallest subspace that contains those vectors, consisting of all possible linear combinations of the vectors in the set.
Mathematics Chapter 2 Polynomials | Class 9th | PPT VedantPatil100
This document contains notes from Vedant Patil's 9th grade summer homework. It defines key algebraic terms like constants, variables, algebraic expressions, polynomials. It classifies polynomials based on degree like linear, quadratic, cubic etc. and based on number of terms like monomial, binomial, trinomial. It also defines constant polynomials, zeros of a polynomial and algebraic identities.
La función cuadrática y = ax2 + bx + c define una parábola cuya forma depende de los valores de a, b y c. Una parábola tiene raíces, un eje de simetría, un vértice y una ordenada al origen que determinan su forma y posición. La concavidad de la parábola depende del signo de a y cuanto mayor es el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.
1. The document discusses key concepts related to quadratic equations including factorizing, solving, graphing, finding roots and axis of symmetry, locating maximum/minimum values, and using graphs to solve related equations and inequalities.
2. The key steps provided to factorize a quadratic equation are to find the product and factors of the coefficients that add up to the middle term, and then pair the factors.
3. To solve a quadratic equation, take all terms to one side, factorize, set each factor equal to 0 and solve for x to find the two roots.
The document introduces imaginary numbers and the imaginary unit i, which represents the square root of -1. Some key points:
- i does not refer to a real number but allows for solutions to equations like x^2 = -1
- Powers of i follow a repeating pattern based on the remainder when dividing the exponent by 4
- Complex numbers consist of real and imaginary parts and can be written as a + bi, where a is real and b * i is imaginary
- Operations on complex numbers follow the same rules as real numbers, but i must be treated as a variable when multiplying terms.
This document discusses how to solve quadratic equations by graphing. It defines the terms of a quadratic equation as the quadratic term, linear term, and constant term. It shows examples of identifying these terms and finding the solutions or x-intercepts. The document states that a quadratic equation can have 0, 1, or 2 real solutions. It also discusses that the graph of a quadratic is a parabola with roots at the x-intercepts and a vertex as its maximum or minimum point. The axis of symmetry is also identified. Methods for graphing quadratics by making tables or using a graphing calculator are presented.
This document discusses transformations of functions, including rigid and non-rigid transformations. Rigid transformations include vertical and horizontal shifts as well as reflections, which change the position of the graph but not its shape. Non-rigid transformations include vertical and horizontal stretches and shrinks, which alter the shape of the graph. Examples of each type of transformation are presented and discussed.
Este documento trata sobre las propiedades y aplicaciones del valor absoluto en ecuaciones y desigualdades. Explica que el valor absoluto de un número es su distancia de cero en la recta numérica y presenta propiedades como que el valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. Luego, resuelve varios ejemplos de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto aplicando principios como que si |a| = |b|, entonces a y b son iguales o opuestos.
The document discusses vector spaces and related concepts:
1) It defines a vector space as a set V with vector addition and scalar multiplication operations that satisfy certain properties. Examples of vector spaces include R2, the plane in R3, and the space of real polynomials.
2) A subspace is a subset of a vector space that is closed under vector addition and scalar multiplication and thus forms a vector space with the inherited operations. Examples given include the x-axis in Rn and solution spaces of linear differential equations.
3) The span of a set of vectors is the smallest subspace that contains those vectors, consisting of all possible linear combinations of the vectors in the set.
Mathematics Chapter 2 Polynomials | Class 9th | PPT VedantPatil100
This document contains notes from Vedant Patil's 9th grade summer homework. It defines key algebraic terms like constants, variables, algebraic expressions, polynomials. It classifies polynomials based on degree like linear, quadratic, cubic etc. and based on number of terms like monomial, binomial, trinomial. It also defines constant polynomials, zeros of a polynomial and algebraic identities.
Este documento describe los pasos para factorizar expresiones algebraicas. Explica cómo identificar el factor común y dividir cada término entre este factor para luego escribir la factorización. Proporciona ejemplos de factorización de polinomios usando el factor común y la agrupación de términos. Finalmente, explica las características de un trinomio cuadrado perfecto y cómo factorizarlo.
Expresiones Algebraicas, Radicalizacion y factorizacionDanielColmenares24
Este documento presenta diferentes temas sobre expresiones algebraicas incluyendo suma, resta, multiplicación y factorización. Explica las reglas para realizar operaciones con monomios y polinomios como sumar términos comunes y ordenar los términos. También cubre productos notables y cómo usarlos para factorizar expresiones mediante el uso de fórmulas como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. El documento proporciona ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar cada tema.
El documento resume 9 casos de factorización de expresiones algebraicas. En cada caso, describe cómo reconocer la estructura y el método para factorizarla, ilustrando con ejemplos. Los casos incluyen factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos, y más. El documento proporciona una guía completa para factorizar diferentes tipos de expresiones.
Este documento introduce los conceptos de métrica y espacio métrico. Define una métrica como una función distancia que cumple tres axiomas de positividad, simetría y desigualdad triangular. Un espacio métrico es un par formado por un conjunto y una métrica definida sobre él. Presenta ejemplos de métricas como la distancia euclidiana y demuestra que ciertas funciones cumplen los axiomas para ser consideradas métricas.
Matrix and its operation (addition, subtraction, multiplication)NirnayMukharjee
This document summarizes matrix operations including addition, subtraction, and multiplication. It defines a matrix as a rectangular arrangement of numbers in rows and columns. Matrix addition and subtraction can only be done on matrices with the same dimensions, by adding or subtracting the corresponding elements. Matrix multiplication involves multiplying the rows of the first matrix with the columns of the second matrix and summing the products to form the elements of the resulting matrix. Examples are provided to illustrate each operation.
4.2 standard form of a quadratic function (Part 1)leblance
Standard form of a quadratic function is f(x) = ax^2 + bx + c. The graph is a parabola that opens up if a > 0 and opens down if a < 0. The axis of symmetry is the line x = -b/2a and the vertex is (-b/2a, f(-b/2a)). To graph in standard form, identify a, b, c, find the axis of symmetry and vertex, then plot the y-intercept and use reflection to sketch the parabola. The document provides an example of using standard form to identify the vertex, axis of symmetry, minimum/maximum value, and range of a parabola.
This document provides an overview of polynomials. It defines polynomials as expressions involving variables and coefficients that use only addition, subtraction, multiplication, and exponents. The document discusses polynomials in one variable, the degree of polynomials, types of polynomials including constant, linear, quadratic, and cubic, the zeros of a polynomial, the remainder theorem, and algebraic identities. It uses examples to illustrate these concepts of polynomials.
1) The document provides instructions for calculating the volume of a cylinder given its height and total volume. It defines a cylinder as a solid of revolution formed by rotating a rectangle about an axis.
2) The volume of a cylinder (solid of revolution formed by a disk) is calculated using the formula: Volume = πR2w, where R is the radius and w is the width (height) of the disk.
3) Examples are provided to demonstrate calculating the volume of solids of revolution using the disk method, which treats the solid as a series of thin circular disks and sums their individual volumes.
L19 increasing & decreasing functionsJames Tagara
This document discusses analysis of functions including derivatives, extrema, and graphing. It defines key concepts such as increasing and decreasing functions, concavity, points of inflection, stationary points, and relative maxima and minima. It presents Rolle's theorem and the mean value theorem. Examples demonstrate finding critical points and determining the behavior of functions based on the signs of the first and second derivatives. The first and second derivative tests are introduced to identify relative extrema at critical points.
The document discusses solving quadratic equations by factoring. It begins with an example problem and explanation of the zero factor property. It then outlines the steps to solve quadratic equations by factoring: 1) write the equation in standard form, 2) factor completely, 3) set each factor equal to 0, 4) solve each equation, and 5) check solutions. Several example problems are worked through demonstrating this process. The document concludes with examples of using factoring to solve real-world problems involving quadratic equations.
Este documento explica las leyes de los exponentes. Define exponentes como números o letras pequeñas colocadas del lado superior derecho de una base que indican cuántas veces se multiplica la base. Explica 10 leyes de exponentes, como que para multiplicar exponentes de la misma base se suman los exponentes, y para dividir se restan. También cubre exponentes fraccionarios, negativos y potencias de productos. El objetivo es que el lector comprenda cómo aplicar estas leyes de exponentes.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Existen métodos para resolver ecuaciones cuadráticas como la factorización y la fórmula cuadrática. El discriminante Δ = b2 - 4ac determina si la ecuación tiene soluciones reales y diferentes (Δ > 0), reales e iguales (Δ = 0) o imaginarias (Δ < 0).
Este documento describe diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo factor común, diferencia de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos e inspección. Proporciona definiciones de cada método y ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicarlos.
Taller de ejercicios sobre tabulación, graficación, hallar el vértice y los puntos de corte de una función cuadrática haciendo uso de algunos casos de factorización y la formula cuadrática.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la geometría analítica, incluyendo cómo calcular la distancia y punto medio entre dos puntos, determinar la pendiente y ecuación de una recta a partir de puntos o su pendiente, y las posiciones relativas de rectas paralelas, coincidentes y perpendiculares. También explica cómo representar rectas en un sistema de coordenadas tridimensional.
El documento define los conceptos de monomio y polinomio. Un monomio es una expresión algebraica que contiene letras, números y operaciones de producto y potencia. Un polinomio es la suma de varios monomios. Se describen los elementos de un monomio como el signo, coeficiente, parte literal y grado. También se explican conceptos como monomios semejantes, grado de un polinomio y cómo multiplicar y dividir monomios.
Formula general analisis del discriminanteACH cruzhad
Este documento describe el análisis del discriminante para determinar el tipo de solución de una ecuación cuadrática. Explica que si el discriminante b2 - 4ac es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales diferentes; si es cero, tiene una sola raíz real; y si es negativo, tiene dos raíces imaginarias. También proporciona ejemplos para resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general.
This document discusses the inverse of matrices. It defines the cofactor method for finding the inverse of a matrix, which involves calculating the matrix of cofactors and then taking its transpose divided by the determinant of the original matrix. Several examples are worked through, including calculating the inverse of a 3x3 matrix. The document also discusses using matrices to represent and solve systems of simultaneous linear equations, developing the general matrix solution of x = A^-1b where A is the coefficient matrix, x is the vector of unknowns, and b is the vector of constants.
1. The document discusses parametric equations, which express the variables x and y in terms of a third variable called a parameter. Common parameters include s, t, and θ.
2. It provides examples of converting parametric equations to Cartesian form by eliminating the parameter through substitution or trigonometric identities. This includes the equations of circles, parabolas, ellipses, and hyperbolas.
3. Key parametric equations that define common curves are identified, along with the curves they represent. Methods for sketching curves from their parametric equations are also outlined.
This document discusses exponential functions and equations. It explores the properties of exponential functions by examining their graphs and understanding exponential growth and decay. It also covers how to solve problems leading to exponential equations by learning about bases, exponents, powers, and index rules. The document teaches how to evaluate, write in different bases, identify exponential equations, and solve exponential equations. It includes exercises to solve from the attached document on exponential equations and functions.
Este documento proporciona instrucciones sobre cómo multiplicar y dividir monomios. Explica que para multiplicar monomios, se multiplican las partes numéricas y se suman los exponentes de las partes literales. Para dividir monomios, se dividen las partes numéricas y se restan los exponentes. A continuación, proporciona ejemplos de cómo aplicar estas reglas y ejercicios para que el estudiante practique la multiplicación y división de monomios.
Este documento describe los conceptos básicos de los monomios y polinomios. Define un monomio como una expresión algebraica que utiliza letras, números y signos de operación, donde las únicas operaciones entre letras son la multiplicación y la potenciación. Un polinomio se define como la suma de varios monomios. Luego describe los elementos de un monomio y cómo se suman, restan y multiplican monomios.
Este documento describe los pasos para factorizar expresiones algebraicas. Explica cómo identificar el factor común y dividir cada término entre este factor para luego escribir la factorización. Proporciona ejemplos de factorización de polinomios usando el factor común y la agrupación de términos. Finalmente, explica las características de un trinomio cuadrado perfecto y cómo factorizarlo.
Expresiones Algebraicas, Radicalizacion y factorizacionDanielColmenares24
Este documento presenta diferentes temas sobre expresiones algebraicas incluyendo suma, resta, multiplicación y factorización. Explica las reglas para realizar operaciones con monomios y polinomios como sumar términos comunes y ordenar los términos. También cubre productos notables y cómo usarlos para factorizar expresiones mediante el uso de fórmulas como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. El documento proporciona ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar cada tema.
El documento resume 9 casos de factorización de expresiones algebraicas. En cada caso, describe cómo reconocer la estructura y el método para factorizarla, ilustrando con ejemplos. Los casos incluyen factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos, y más. El documento proporciona una guía completa para factorizar diferentes tipos de expresiones.
Este documento introduce los conceptos de métrica y espacio métrico. Define una métrica como una función distancia que cumple tres axiomas de positividad, simetría y desigualdad triangular. Un espacio métrico es un par formado por un conjunto y una métrica definida sobre él. Presenta ejemplos de métricas como la distancia euclidiana y demuestra que ciertas funciones cumplen los axiomas para ser consideradas métricas.
Matrix and its operation (addition, subtraction, multiplication)NirnayMukharjee
This document summarizes matrix operations including addition, subtraction, and multiplication. It defines a matrix as a rectangular arrangement of numbers in rows and columns. Matrix addition and subtraction can only be done on matrices with the same dimensions, by adding or subtracting the corresponding elements. Matrix multiplication involves multiplying the rows of the first matrix with the columns of the second matrix and summing the products to form the elements of the resulting matrix. Examples are provided to illustrate each operation.
4.2 standard form of a quadratic function (Part 1)leblance
Standard form of a quadratic function is f(x) = ax^2 + bx + c. The graph is a parabola that opens up if a > 0 and opens down if a < 0. The axis of symmetry is the line x = -b/2a and the vertex is (-b/2a, f(-b/2a)). To graph in standard form, identify a, b, c, find the axis of symmetry and vertex, then plot the y-intercept and use reflection to sketch the parabola. The document provides an example of using standard form to identify the vertex, axis of symmetry, minimum/maximum value, and range of a parabola.
This document provides an overview of polynomials. It defines polynomials as expressions involving variables and coefficients that use only addition, subtraction, multiplication, and exponents. The document discusses polynomials in one variable, the degree of polynomials, types of polynomials including constant, linear, quadratic, and cubic, the zeros of a polynomial, the remainder theorem, and algebraic identities. It uses examples to illustrate these concepts of polynomials.
1) The document provides instructions for calculating the volume of a cylinder given its height and total volume. It defines a cylinder as a solid of revolution formed by rotating a rectangle about an axis.
2) The volume of a cylinder (solid of revolution formed by a disk) is calculated using the formula: Volume = πR2w, where R is the radius and w is the width (height) of the disk.
3) Examples are provided to demonstrate calculating the volume of solids of revolution using the disk method, which treats the solid as a series of thin circular disks and sums their individual volumes.
L19 increasing & decreasing functionsJames Tagara
This document discusses analysis of functions including derivatives, extrema, and graphing. It defines key concepts such as increasing and decreasing functions, concavity, points of inflection, stationary points, and relative maxima and minima. It presents Rolle's theorem and the mean value theorem. Examples demonstrate finding critical points and determining the behavior of functions based on the signs of the first and second derivatives. The first and second derivative tests are introduced to identify relative extrema at critical points.
The document discusses solving quadratic equations by factoring. It begins with an example problem and explanation of the zero factor property. It then outlines the steps to solve quadratic equations by factoring: 1) write the equation in standard form, 2) factor completely, 3) set each factor equal to 0, 4) solve each equation, and 5) check solutions. Several example problems are worked through demonstrating this process. The document concludes with examples of using factoring to solve real-world problems involving quadratic equations.
Este documento explica las leyes de los exponentes. Define exponentes como números o letras pequeñas colocadas del lado superior derecho de una base que indican cuántas veces se multiplica la base. Explica 10 leyes de exponentes, como que para multiplicar exponentes de la misma base se suman los exponentes, y para dividir se restan. También cubre exponentes fraccionarios, negativos y potencias de productos. El objetivo es que el lector comprenda cómo aplicar estas leyes de exponentes.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Existen métodos para resolver ecuaciones cuadráticas como la factorización y la fórmula cuadrática. El discriminante Δ = b2 - 4ac determina si la ecuación tiene soluciones reales y diferentes (Δ > 0), reales e iguales (Δ = 0) o imaginarias (Δ < 0).
Este documento describe diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo factor común, diferencia de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos e inspección. Proporciona definiciones de cada método y ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicarlos.
Taller de ejercicios sobre tabulación, graficación, hallar el vértice y los puntos de corte de una función cuadrática haciendo uso de algunos casos de factorización y la formula cuadrática.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la geometría analítica, incluyendo cómo calcular la distancia y punto medio entre dos puntos, determinar la pendiente y ecuación de una recta a partir de puntos o su pendiente, y las posiciones relativas de rectas paralelas, coincidentes y perpendiculares. También explica cómo representar rectas en un sistema de coordenadas tridimensional.
El documento define los conceptos de monomio y polinomio. Un monomio es una expresión algebraica que contiene letras, números y operaciones de producto y potencia. Un polinomio es la suma de varios monomios. Se describen los elementos de un monomio como el signo, coeficiente, parte literal y grado. También se explican conceptos como monomios semejantes, grado de un polinomio y cómo multiplicar y dividir monomios.
Formula general analisis del discriminanteACH cruzhad
Este documento describe el análisis del discriminante para determinar el tipo de solución de una ecuación cuadrática. Explica que si el discriminante b2 - 4ac es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales diferentes; si es cero, tiene una sola raíz real; y si es negativo, tiene dos raíces imaginarias. También proporciona ejemplos para resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general.
This document discusses the inverse of matrices. It defines the cofactor method for finding the inverse of a matrix, which involves calculating the matrix of cofactors and then taking its transpose divided by the determinant of the original matrix. Several examples are worked through, including calculating the inverse of a 3x3 matrix. The document also discusses using matrices to represent and solve systems of simultaneous linear equations, developing the general matrix solution of x = A^-1b where A is the coefficient matrix, x is the vector of unknowns, and b is the vector of constants.
1. The document discusses parametric equations, which express the variables x and y in terms of a third variable called a parameter. Common parameters include s, t, and θ.
2. It provides examples of converting parametric equations to Cartesian form by eliminating the parameter through substitution or trigonometric identities. This includes the equations of circles, parabolas, ellipses, and hyperbolas.
3. Key parametric equations that define common curves are identified, along with the curves they represent. Methods for sketching curves from their parametric equations are also outlined.
This document discusses exponential functions and equations. It explores the properties of exponential functions by examining their graphs and understanding exponential growth and decay. It also covers how to solve problems leading to exponential equations by learning about bases, exponents, powers, and index rules. The document teaches how to evaluate, write in different bases, identify exponential equations, and solve exponential equations. It includes exercises to solve from the attached document on exponential equations and functions.
Este documento proporciona instrucciones sobre cómo multiplicar y dividir monomios. Explica que para multiplicar monomios, se multiplican las partes numéricas y se suman los exponentes de las partes literales. Para dividir monomios, se dividen las partes numéricas y se restan los exponentes. A continuación, proporciona ejemplos de cómo aplicar estas reglas y ejercicios para que el estudiante practique la multiplicación y división de monomios.
Este documento describe los conceptos básicos de los monomios y polinomios. Define un monomio como una expresión algebraica que utiliza letras, números y signos de operación, donde las únicas operaciones entre letras son la multiplicación y la potenciación. Un polinomio se define como la suma de varios monomios. Luego describe los elementos de un monomio y cómo se suman, restan y multiplican monomios.
El documento define los conceptos de monomio, grado de un monomio y monomios semejantes. Explica que un monomio es el producto de un número por una o más letras o variables, y que el grado de un monomio es el número de factores en su parte literal. Dos monomios son semejantes si sus partes literales son idénticas.
La multiplicación de monomios se realiza multiplicando los coeficientes numéricos y sumando los exponentes de las variables comunes. Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio de la misma forma. Este documento explica cómo realizar operaciones como la multiplicación de monomios y polinomios, y provee ejemplos para ilustrar los procedimientos.
ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales para estudiarSita Yani's
El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales (método gráfico, sustitución, igualación y reducción) y proporciona ejemplos de problemas que pueden resolverse usando estos métodos.
El documento explica cómo multiplicar monomios con polinomios utilizando la propiedad distributiva. Proporciona ejemplos de multiplicar monomios con polinomios y simplificar las expresiones resultantes. También muestra cómo determinar el factor que falta en una expresión y resuelve un problema de transporte de manzanas que involucra multiplicar un monomio por un polinomio.
Este documento describe operaciones básicas con monomios y polinomios, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Define términos como monomio, polinomio, coeficiente y grado. Explica cómo ordenar polinomios y completarlos con términos faltantes. Además, muestra ejemplos de cómo aplicar cada operación a monomios y polinomios.
Este documento describe operaciones básicas con monomios y polinomios, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Define términos como monomio, polinomio, coeficiente y grado. Explica cómo ordenar polinomios y completarlos con términos faltantes. Además, muestra ejemplos de cómo aplicar cada operación a monomios y polinomios.
Este documento trata sobre los polinomios y sus propiedades. Explica que los polinomios se utilizan para expresar fórmulas científicas como el movimiento en caída libre o el volumen de un cubo. Luego define los monomios, polinomios y sus partes, y describe operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Finalmente, presenta identidades notables para operar con binomios.
Este documento describe conceptos básicos de expresiones algebraicas, incluyendo: (1) definiciones de expresiones algebraicas, términos algebraicos y términos semejantes; (2) clasificación de expresiones en monomios y polinomios; (3) grados de variables, monomios y polinomios; y (4) operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división de monomios.
Este documento presenta conceptos básicos sobre álgebra como monomios, polinomios, multiplicación, división y factorización de expresiones algebraicas. Explica qué son monomios y polinomios, cómo multiplicarlos y dividirlos. También cubre temas como factor común, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, y trinomio cuadrado perfecto. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto. El objetivo es proporcionar una introducción a estas nociones fundamentales del álgebra.
Expresiones Alejbraicas.pptx final (1).pptxTecnoWaifu
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como monomios, polinomios, multiplicación, división, factorización y ejercicios. Define un monomio como el producto de un número real por una o más variables y un polinomio como la suma de dos o más monomios. Explica cómo realizar operaciones como multiplicación, división y factorización de monomios y polinomios usando reglas como sumar exponentes iguales. Incluye ejemplos de cada concepto y ejercicios para practicar.
Este documento describe los polinomios y sus propiedades. Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma o resta de monomios y se utilizan para modelar fenómenos científicos y tecnológicos. Se definen las operaciones básicas con monomios y polinomios como la suma, resta, multiplicación y división.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo términos algebraicos, expresiones algebraicas, grado de polinomios, valoración de expresiones, términos semejantes y operaciones algebraicas. Explica que un término algebraico es el producto de variables y constantes, y que el grado de un polinomio depende del mayor grado de sus términos. También describe cómo valorar expresiones al sustituir valores a las variables y realizar las operaciones, y cómo reducir términos semejantes sumando sus coeficient
Este documento trata sobre los polinomios y operaciones con ellos. Explica que los polinomios están formados por la suma de monomios y describe cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división de polinomios. También cubre identidades notables como el cuadrado de una suma y diferencia.
Este documento presenta información sobre diferentes temas de álgebra incluyendo factorización, ecuaciones cuadráticas, fracciones algebraicas, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Define cada tema, ofrece ejemplos y métodos para resolver problemas relacionados.
Este documento presenta diferentes temas sobre expresiones algebraicas, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, y valores numéricos. También explica conceptos como términos semejantes, productos notables, y factorización de expresiones. El documento proporciona ejemplos resueltos para ilustrar cada operación y concepto.
El documento presenta información sobre sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y valor numérico de expresiones algebraicas. Explica los pasos para resolver cada operación y provee ejemplos resueltos. También define conceptos como términos semejantes, productos notables y factorización de expresiones algebraicas.
El documento presenta los objetivos y conceptos básicos sobre las raíces o radicales. Define la raíz enésima de un número y explica cómo calcular raíces cuadradas y cúbicas. Luego, cubre temas como simplificar expresiones con radicales, racionalizar denominadores, y sumar, restar y multiplicar expresiones con radicales siguiendo propiedades matemáticas específicas.
El documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo:
1) Define monomios, polinomios, sumas y restas de monomios y polinomios.
2) Explica cómo calcular valores numéricos de expresiones algebraicas y multiplicar y dividir monomios y polinomios.
3) Describe productos notables y cómo usarlos para factorizar expresiones algebraicas.
Este documento explica las leyes de exponentes y logaritmos. Presenta 7 leyes de exponentes que describen cómo se comportan las potencias al multiplicar, dividir, elevar a otra potencia, etc. También introduce los logaritmos como exponente que representa la potencia a la que hay que elevar una base para obtener un número dado, y explica propiedades como los logaritmos decimales y naturales.
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Este documento presenta apuntes sobre polinomios. Explica conceptos como definición de polinomio, clasificación, grado, funciones polinomiales y operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de polinomios de una variable. El objetivo es servir como herramienta de apoyo para estudiantes de ingeniería en el tema de álgebra de polinomios.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las expresiones algebraicas, incluyendo la suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios, así como los productos notables y la factorización por productos notables.
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Este documento describe cómo los sistemas de información y el software contable pueden usarse para mejorar la administración contable de una empresa. Explica que estos recursos tecnológicos permiten registrar y proporcionar información de manera rápida y oportuna. También define los sistemas de información, los procesos de entrada, almacenamiento, procesamiento y salida de datos, y describe varios tipos populares de software contable como Apolo Profesional y Helissa, destacando sus características y funcionalidades clave.
Este documento proporciona instrucciones para instalar Mónica 9.0, un programa contable, ya sea con o sin conexión a Internet. Indica que los usuarios deben revisar su correo electrónico para encontrar un enlace de descarga, y luego descargar el instalador de la página web de Mónica desde dos enlaces diferentes dependiendo de si su computador tiene o no acceso a Internet. Además, recomienda visitar el foro en la página web para cualquier consulta sobre la instalación o uso del programa.
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Este documento resume los delitos informáticos descritos en la Ley de Comercio Electrónico de Ecuador de 2002. Incluye la violación de claves o sistemas de seguridad, la obtención y utilización no autorizada de información, la destrucción o supresión de documentos, la falsificación electrónica, los daños informáticos, el fraude informático y las violaciones a la intimidad. También cubre la pornografía infantil en formatos electrónicos.
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Este documento describe los sistemas de planificación de recursos empresariales (ERP). Explica que un ERP es una aplicación integrada que cubre las necesidades de todas las áreas de negocio de una empresa a través de un único sistema de información. También analiza los beneficios de los ERP, como la reducción de costes e inventarios, y las características clave como la estandarización, modularidad e integración. Además, discute los costes y desafíos de la implementación de un ERP.
El documento describe los conceptos clave relacionados con las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), incluyendo sus orígenes, evolución y componentes principales como las redes, terminales y servicios. Asimismo, destaca la creciente dependencia de las organizaciones en las TIC y la necesidad de administrar los riesgos asociados debido al incremento de vulnerabilidades de los sistemas e impactos de fallas o cortes. Finalmente, resalta que una auditoría de TIC es importante para garantizar la seguridad, disponibilidad y efici
Wilian Yanza presenta su hoja de vida. Posee un título de Ingeniero en Sistemas Informáticos y una Maestría en Informática Educativa de la ESPOCH. Ha tomado varios cursos en temas como administración de entornos virtuales, diseño de aplicaciones web, y auditoría informática. Tiene experiencia docente universitaria impartiendo materias relacionadas a sistemas informáticos e informática. Actualmente trabaja como docente en la ESPOCH.
El documento resume un estudio del Banco Mundial sobre el emprendimiento en América Latina. El estudio encuentra que a pesar de que la región tiene altos niveles de emprendimiento, existe poca innovación. Las empresas de la región rara vez ingresan a mercados de exportación o realizan innovaciones significativas. Incluso las grandes corporaciones multinacionales de la región innovan poco. Para apoyar a los emprendedores innovadores, se necesitan políticas que mejoren la educación, la infraestructura, la competencia y el entorno
El documento describe el proceso de evaluación del desempeño organizacional mediante la asignación de ponderaciones a factores internos clave. Se asignan clasificaciones del 1 al 5 para medir fortalezas y debilidades, y se calcula un resultado ponderado. Cuando este es inferior al promedio, existen más debilidades que fortalezas; si es mayor, hay más fortalezas. El análisis muestra que las debilidades son mayores que las fortalezas para la organización evaluada.
Este documento es la hoja de vida de Willian Geovanny Yanza Chavez. Resume su formación académica que incluye un título de Ingeniero en Sistemas Informáticos y una Maestría en Informática Educativa de la ESPOCH. También enumera su experiencia docente en varias universidades e instituciones educativas donde ha enseñado materias relacionadas a la informática y las TIC. Finalmente, proporciona detalles sobre sus capacitaciones y publicaciones científicas.
Este documento es la hoja de vida de Willian Geovanny Yanza Chavez. Resume su formación académica que incluye un título de Ingeniero en Sistemas Informáticos y una Maestría en Informática Educativa de la ESPOCH. También enumera su experiencia docente en varias universidades e instituciones educativas donde ha enseñado materias relacionadas a la informática y las TIC. Finalmente, proporciona detalles sobre sus capacitaciones y publicaciones científicas.
Este documento es la hoja de vida de Willian Geovanny Yanza Chavez. Resume su formación académica que incluye un título de Ingeniero en Sistemas Informáticos de la ESPOCH y una Maestría en Informática Educativa de la misma institución. También describe su experiencia docente en varias universidades ecuatorianas impartiendo materias relacionadas a la informática y las tecnologías de la información. Finalmente, proporciona un resumen breve de su trayectoria académica y profesional.
El documento describe la arquitectura de las computadoras. Explica que la arquitectura se refiere a la forma de seleccionar e interconectar los componentes de hardware para crear computadoras según sus requisitos. Luego describe los principales componentes de una computadora como la unidad central de proceso, memoria, disco duro y cómo se interconectan a través de la placa base y el bus. Finalmente, explica algunos de estos componentes como la CPU, memoria y disco duro en más detalle.
Este documento es la hoja de vida de Willian Geovanny Yanza Chavez. Resume su formación académica que incluye títulos de pregrado e posgrado, cursos recibidos, experiencia profesional como docente y directivo, capacitaciones impartidas, publicaciones e idiomas. Finaliza declarando la veracidad de la información provista.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
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José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
OPERACIONES CON MONOMIOS Y
POLINOMIOS
UNIDAD IV
IV.1 OPERACIONES CON MONOMIOS
Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido
por un valor cualquiera.
Un coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a una variable.
Una constante es un valor fijo, aunque a veces no determinado.
Expresiones algebraicas son todas aquellas que combinan constantes y variables mediante operaciones.
Ejemplos.
1)
432
9 zyx , el coeficiente es 9 y las variables son
432
zyx
2) 4
85
7
2
3
4
d
c
ba +− , los coeficientes son
3
4
− y
7
2
; las variables son
85
ba y 4
d
c
Un término algebraico es cada sumando de una expresión algebraica.
Los términos poseen grados de dos tipos:
• Grado absoluto. Es la suma de los exponentes de las literales que forman al término.
• Grado relativo. Es aquel exponente que tiene una literal específica.
Ejemplos.
1) En el término
432
5 zyx , el grado absoluto es 9 y el grado relativo de la literal x es 2 .
2) En el término
65
7 bca , el grado absoluto es 12 y el grado relativo de la literal b es 1.
Se define como monomios a las expresiones algebraicas que constan de un solo término.
Ejemplos.
1) cba 24
5
2) ( )433
11
2
yx−
3)
7
5 a
El valor numérico de un monomio es el número que se obtiene al sustituir las literales por valores
específicos, después de efectuar las operaciones indicadas.
2. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
2
Ejemplos.
1) Si en el monomio ba2
4 , las literales toman los valores 2=a y 3−=b , su valor numérico es:
( )( ) 48324 2
−=−
2) Si en el monomio
23
3
4
yzx− , las literales toman los valores 1−=x , 9=y y
2
1
=z , su valor
numérico es: ( ) 3
2
1
91
3
4
2
3
=
−−
Términos semejantes. Son aquellos que tienen la parte literal igual. Dos o más términos son semejantes
cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas literales elevadas a los mismos exponentes.
Ejemplos.
1)
2
3x y
2
7x son términos semejantes
2)
342
2
5
npmk y
432
12 mpnk− son términos semejantes
3) ba2
2 y
2
6ab no son términos semejantes
Suma de monomios
Para sumar monomios tienen que ser semejantes. El resultado es un monomio semejante a ellos que
tiene por coeficiente la suma de los coeficientes de cada monomio.
Ejemplos.
Sumar los siguientes monomios:
1)
44444
194825 xxxxx =+++
2) cbabcacbacba 52525252
1027 =++
3)
3333
12
7
4
5
2
1
3
4
yzyzyzyz =
−++
Resta de monomios
Para restar monomios también es necesario que sean semejantes. El resultado es un monomio
semejante a ellos que tiene por coeficiente la resta de los coeficientes de cada monomio.
Ejemplos.
1)
22222
42411 xxxxx =−−−
2)
34433434
7121015 mkkmmkmk −=−−
3) cabacbcabcab 2222
10
11
2
2
1
5
2
−=−
−−
3. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
3
Multiplicación de monomios
Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las leyes de los
exponentes que se requieran, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de cada literal.
Ejemplos.
1) ( )( ) 853
1052 xxx =
2) ( )( )( ) 6384552232
84734 hgfehfhgegfe −=−
3) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2520161236624433223
00021612525 zy,zyzyzyzyzyyz −=−=−−
División de monomios
Para dividir dos monomios, tampoco es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las
leyes de los exponentes que se requieran, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de cada
literal.
Ejemplos.
1)
3
2
5
2
6
12
a
a
a
=
2) zx
zyx
zyx 2
52
254
4
16
64
=
3) 4
33
343
72
435
6
6
8
48
m
nk
nmk
nmk
nmk
−=−=
−
−
IV.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS
Un polinomio en x de grado n es una expresión del tipo:
( ) n
no xaxaxaxaxaaxP ++++++= L4
4
3
3
2
21
donde ∈n N y no a,,a,a,a L21 son coeficientes reales y se lee como “ P de x ”.
El grado de un polinomio con respecto a una literal es el mayor exponente de sus términos.
Ejemplos.
1) 32
8625 xxx +−+ el grado es 3
2)
243
101282 xxxx +−+− el grado es 4
3)
235243
57812714 xmmxmxmmx +−+++ el grado con respecto a x es 5
Para ordenar un polinomio con respecto a una literal, se puede efectuar de manera descendente
(posicionándola de mayor a menor grado) o de forma ascendente (ubicándola de menor a mayor grado).
Ejemplos.
4. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
4
1) El polinomio xxxx 105692 342
+−+− ordenado de forma descendente es:
910256 234
−++− xxxx
2) El polinomio
3322
57128 xyyxyx +−+ ordenado de forma ascendente con respecto a x es:
yxyxxy 3223
78512 −++
Completar un polinomio es añadir los términos intermedios que falten poniendo de coeficiente 0 .
Ejemplo.
El polinomio
463
513928 xxxx −−−− ordenado de forma descendente y completándolo es:
29085013 23456
−−++−+− xxxxxx
Suma de polinomios
Para sumar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo ( )+ , dejando el mismo
signo de cada uno de los términos que se hallan dentro de él y se simplifican los términos que sean
semejantes.
Ejemplos.
1) ( ) ( ) 4911247351124735 22222
−−=−+++−=−+++− xxxxxxxxxx
2) ( ) ( ) kkkkkkkkkkkkkk 421258736421258736 5324253242
−+++−−+=−+++−−+
8281272 2345
−+++−= kkkkk
3) ( ) ( ) ( )27119358416 3333222233
+−+−+−++−+ abbabaabbababaab
12413627119358416 32233333222233
+−+=+−+−+−++−+= abbabaabbabaabbababaab
4)
+−+
+++
+− xxxxxx
5
6
1
4
3
2
11
5
8
4
2
5
3
4
6
7 222
3
17
15
58
20
97
5
6
1
4
3
2
11
5
8
4
2
5
3
4
6
7 2222
++=+−+++++−= xxxxxxxx
Resta de polinomios
Para restar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo (-), cambiando el signo
de cada uno de los términos del sustraendo y se simplifican los términos que sean semejantes.
Ejemplos.
1) ( ) ( ) 5627254956272549 23232323
−++−−++=+−−−−++ xxxxxxxxxxxx
71162 23
−++= xxx
2) ( ) ( )aaaaaaaaa 394573144925 4632354
+−−+−−+−−+
aaaaaaaaa 394573144925 4632354
−++−+−+−−+=
212391194 23456
++−−+−= aaaaaa
3) ( ) ( ) ( )pkpkkppkpkkppkpk 22342234232
3615524484105 −+−−+−−+−+
5. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
5
pkpkkppkpkkppkpk 22342234232
3615524484105 +−−+−+−+−+=
7131214 4223
−++−= kppkpk
4)
+−−−
+−−
+− 7
3
1
4
11
2
9
5
12
3
4
7
8
6
5
3
2 222
xxxxxx
15
59
7
1
12
31
7
3
1
4
11
2
9
5
12
3
4
7
8
6
5
3
2 2222
−+−=−++−+−+− xxxxxxxx
Producto de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplican todos los términos del polinomio por el
monomio, es decir, es una suma de producto de monomios.
Ejemplos.
1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8222723252827352 222232422342
xxxxxxxxxxxxxx −++−=−++−
23456
16414610 xxxxx −++−=
2) ( )( )2253423
73621095 bababaabba −++−+−
432423357664
351530105045 babababababa +−−+−−=
3) ( )32342534342
102261284
2
3
ehghehfgehefgfe −++−−
334324423454362845383
1533918126 hgfehgfegfehgfegfehgfe −++−−=
4)
543543322
5
2
15
15
6
15
15
2
3
1
53 aaaaaaaaaa +−=+−=
+−
Multiplicación de dos polinomios
Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva del producto sobre la suma, esto es, se
multiplican todos los términos del segundo polinomio por cada uno de los términos del primero y se
reducen los términos semejantes. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición.
Ejemplos.
1) ( )( ) 12422410352062112274653 22323422
+−+−+−+−=+−+− xxxxxxxxxxxx
1252654112 234
+−+−= xxxx
2) ( )( ) 422332242222
361444819216644169124 bbaabbabaabababa −++−−=−+−
432234
364812819264 babbabaa −++−=
3) ( )( ) 4472224346223432
2515215106653152 zyzyzyyzzyzyyzzyyzyzyz −−−−+=−−+−−
yzzyzyyz ++−++ 23325
65530
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del dividendo por el divisor, es decir, es
una suma de cociente de monomios.
6. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
6
Ejemplos.
1) xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
7425
12
84
12
48
12
24
12
60
12
84482460 234
2
3
2
4
2
5
2
6
2
3456
+−−=+−−=
+−−
2) 313188
5
155659040 42233
3
353253643
−+++−=
−
+−−−
yywywy
yw
ywywywywyw
3) 342
344546653376445
6
9024366054
rqp
rqprqprqprqprqp −−−−
2243343
1546109 prppqrqprp −−−−=
Cociente de dos polinomios
Para dividir dos polinomios se efectúa el siguiente procedimiento:
• Se ordenan los polinomios de forma descendente con respecto al grado de una misma variable.
• Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene el primer
término del cociente.
• Se resta del dividendo el producto del primer término del cociente por el divisor y se obtiene el primer
residuo (esto implica cambiar todos los signos del producto efectuado y reducir términos semejantes
con el dividendo).
• Se bajan los términos restantes del dividendo sumándolos al residuo anterior.
• Se divide el primer término del residuo por el primer término del divisor, obteniendo así el segundo
término del cociente.
• Se procede de forma análoga hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior al del divisor.
• Comprobar el resultado mediante el algoritmo: ( )( ) dividendoresiduodivisorcociente =+
Ejemplos.
1) Dividir 95256 234
+−−− xxxx por 3+x
Solución.
1129
42
3311
911
62
952
279
95259
3
952563
23
2
2
23
23
34
234
−+−
+
+−
−−
+−
+
+−−−
−−
+−−−+
xxx
x
x
xx
xx
xx
xxx
xx
xxxxx
Comprobación: ( )( ) 4233627311294211293 2323423
+−+−+−+−=+−+−+ xxxxxxxxxxx
95256 234
+−−−= xxxx
7. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
7
2) Dividir 14232 234
++−+ xxxx por 12
+− xx
Solución.
152
0
1
1
555
1445
222
142321
2
2
2
23
23
234
2342
++
−+−
+−
−+−
++−
−+−
++−++−
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
Comprobación: ( )( ) 0152525201521 22323422
++++−−−++=++++− xxxxxxxxxxxx
14232 234
++−+= xxxx
3) Dividir 83
+x por 2+x
Solución.
Completando el polinomio y efectuando la división:
42
0
84
84
42
802
2
8002
2
2
2
23
23
+−
−−
+
+
++−
−−
++−+
xx
x
x
xx
xx
xx
xxxx
Comprobación: ( )( ) 80842420422 32232
+=++−++−=++−+ xxxxxxxxx
83
+= x
4) Dividir 9142230 23
+−− kkk por 35 +k
Solución.
8. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
8
286
3
610
910
2440
91440
1830
914223035
2
2
2
23
23
+−
−−
+
+
+−−
−−
+−−+
kk
k
k
kk
kk
kk
kkkk
Comprobación: ( )( ) 362418104030328635 2232
++−++−=++−+ kkkkkkkk
9142230 23
+−−= kkx
5) Dividir
3223
422430 babbaa +−+ por ba 46 −
Solución.
La división se ejecutará respecto a la variable a :
22
32
32
22
322
23
3223
45
0
46
46
1624
42224
2030
42243046
baba
bab
bab
abba
babba
baa
babbaaba
−+
−
+−
+−
+−
+−
+−+−
Comprobación: ( )( ) 32222322
416206243004546 babbaabbaabababa +−−−+=+−+−
3223
422430 babbaa +−+=
IV.3 VALOR Y GRÁFICA DE POLINOMIOS EN UNA SOLA VARIABLE
Dado un polinomio de la forma:
( ) n
n
n
no xaxaxaxaxaaxP ++⋅⋅⋅++++= −
−
1
1
3
3
2
21
Se conoce como valor de un polinomio ( ) n
n
n
no xaxaxaxaxaaxP ++⋅⋅⋅++++= −
−
1
1
3
3
2
21 para
cx = , al valor numérico que toma el polinomio cuando se sustituye la variable, x , por el número c y se
realizan las operaciones. Se denota como ( )cP y se lee “ P de c ”.
9. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
9
Ejemplos.
1) Evaluar el polinomio ( ) 1485 2
++−= xxxP para 3=x .
Solución.
( ) ( ) ( ) 71424451438353 2
−=++−=++−=P
2) Evaluar el polinomio ( ) 5674 234
++++= xxxxxP para 2−=x .
Solución.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5512283216526272422 234
=+−+−=+−+−+−+−=−P
3) Evaluar el polinomio ( ) 27108 23
+−+= xxxxP para
4
1
=x .
Solución.
=+−+=+−+=+
−
+
=
2
4
7
8
5
8
1
2
4
7
16
10
64
8
2
4
1
7
4
1
10
4
1
8
4
1
23
P
1
8
8
8
161451
==
+−+
=
Como se definió en el subtema I.6, el plano cartesiano es un sistema formado por dos ejes numéricos
reales perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. El eje horizontal ( )x recibe el
nombre de eje de las abscisas y el eje vertical ( )y recibe el nombre de eje de las ordenadas.
La gráfica de un polinomio está formada por el conjunto de parejas coordenadas ( )y,x que cumplen o
satisfacen la regla de correspondencia ( )xP .
Los polinomios ( )xP pueden evaluarse para todo ∈x R y por ello se unen los puntos obtenidos para
obtener sus gráficas.
Para fines prácticos, para valores diferentes de x se pueden obtener los valores de ( )xP , generando
puntos de coordenadas ( )[ ]xP,x que se localizan en el plano coordenado y que al unirse conforman su
gráfica.
La variable x recibe el nombre de variable independiente y a ( )xP se le conoce como variable
dependiente, es decir, que está en función de la variable x .
Ejemplo.
Tabular y graficar los siguientes polinomios en los intervalos pedidos:
1) ( ) 62
−−= xxxP en el intervalo [ ]65,−
Solución.
Tabulando con los valores enteros del intervalo: