Este documento presenta una propuesta de actividad para enseñar el cálculo del mínimo común múltiplo (MCM) de expresiones algebraicas a estudiantes de segundo año medio. La actividad utiliza un método basado en la analogía con el cálculo del MCM de factores numéricos. El documento incluye la fundamentación teórica, orientaciones metodológicas para el profesor y materiales para los estudiantes.

1. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN
Informe escrito diseño de clase para el concepto: “Mínimo
común múltiplo de expresiones algebraicas” correspondiente al
eje “Álgebra” del nivel “Segundo año medio”
Autor: Alejandra Lucero Silva.
Profesor: Enrique Pérez.
Michael Gutiérrez.
Asignatura: Metodología de la enseñanza de la
Matemática y la Computación II.
Carrera: Licenciatura en Educación
matemática y ciencias de la
Computación.
Fecha: 29 de Noviembre de 2012.

2. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Índice
Introducción ........................................................................................................ 3
Argumentación teórica ........................................................................................ 4
Orientaciones Metodológicas ............................................................................ 11
Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase ....... 12
Material del estudiante ...................................................................................... 15
Conclusiones .................................................................................................... 22
Bibliografía ........................................................................................................ 23
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3. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Introducción
Desde el momento en que se plantea un problema, se buscan alternativas para
solucionarlo. En la educación es de gran utilidad aportar con ciertas alternativas
para solucionar la serie de problemas que se presentan. Dentro de estos
problemas, se puede considerar la falta de material para enseñar distintas áreas
de la matemática. También es útil mirar actividades confeccionadas por otras
personas, pues todos tenemos distintas visiones acerca de cómo enseñar
matemáticas.
Este informe muestra una peculiar actividad que no resalta por su estructura,
sino por el contenido que posee, pues su objetivo es que los alumnos aprendan
a calcular mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas a partir del
cálculo de mínimo común múltiplo de factores numéricos, un concepto ya
conocido por ellos. Esto es, relacionar conceptos o buscar analogías entre
ambos lenguajes. Para llegar a este objetivo, se propone un método de
obtención de mcm de factores numéricos y, cómo se obtiene la analogía, lo
verán más adelante, si aplican la actividad.
En este informe se dará a conocer una propuesta de actividad, fuertemente
respaldada por artículos, textos para el estudiante y para el profesor, además
del Marco curricular chileno (2009) y los Planes y Programas de estudio de
segundo año medio (2011).
Este informe cuenta con una sección de Orientaciones Metodológicas dirigidas
al docente que aplique esta actividad a un curso, esto para que la actividad no
se arruine al momento de practicarla, pues es de suma importancia que el
profesor sepa guiar el aprendizaje del alumno utilizando este recurso, si no es
así, la actividad no tiene sentido.
Finalmente, el objetivo de este informe es ser un aporte para la educación
chilena, en el área de matemáticas.
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Argumentación teórica
El eje escogido para esta clase es Álgebra de Segundo año medio, y el
concepto a tratar es Mínimo común múltiplo entre expresiones algebraicas.
Para poder realizar la clase, se necesitó analizar el marco curricular con ajuste
del año 2009 y así relacionar el concepto escogido con el contenido mínimo
obligatorio número 6. “Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar,
restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en
el numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que
indefinen una expresión algebraica fraccionaria”. (Ministerio de Educación,
2009, pág. 186)
Se realizó una investigación para considerar la mayor cantidad de formas de
enseñar el concepto, y así escoger la opción que más se acomode a nuestra
forma de enseñar, pero sin omitir las demás propuestas.
La investigación arrojó los siguientes resultados:
 Método para calcular el máximo común divisor y el mínimo común
múltiplo de varios números. (Ángel de la Llave Canosa)
 Mínimo común múltiplo. (Disfruta las matemáticas)
A continuación se mostrará cada procedimiento obtenido.
 Método para calcular el máximo común divisor y el mínimo común
múltiplo de varios números. (Ángel de la Llave Canosa)
Ángel de la Llave Canosa es un profesor español muy reconocido, con un gran
currículo (http://es.scribd.com/doc/15605288/Angel-de-la-Llave-Canosa-CV),
que ha escrito una serie de artículos y libros tanto para el docente como para el
alumno y para distintas entidades, entre ellas la reconocida ESO. Se escogió el
artículo llamado “Método para calcular el máximo común divisor y el mínimo
común múltiplo de varios números”, donde Ángel explica lo siguiente:
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5. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Mis alumnos sudamericanos de Orcasur me enseñaron un método de calcular
el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números que es
el que, desde entonces, utilizo en todas mis clases de la ESO.
Empecemos con un ejemplo. Imaginemos que queremos calcular el máximo
común divisor y el mínimo común múltiplo de 24, 18 y 60. El problema se trata
estudiar los factores de estos tres números. Para hacerlo construimos una
tabla, como la siguiente, en la que en la primera fila colocamos los números
dados.
Probamos la división por los números primos. Comenzamos, pues, con el 2.
Escribimos el 2 a la izquierda y dividimos todos los números. Como el 2 divide a
todos se le marca con un círculo (en nuestro caso lo coloreamos de rojo).
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6. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Seguimos dividiendo por el dos, mientras haya múltiplos de 2 en la fila. Los
números que no sean múltiplos de 2 se copian de nuevo tal cual están.
Cuando ya no hay múltiplos de dos exploramos la división por 3 (el siguiente
primo), como el tres es un factor de todos los números de la fila lo marcamos.
Por último, se divide por el 5. El proceso termina cuando en la fila de los
números todos son 1.
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7. Profesora: Alejandra Lucero Silva
De esta manera resulta fácilmente, que el máximo común divisor es el producto
de los factores marcados (en rojo) como divisores comunes a todos los
números de la fila.
mcd. (24, 18, 60) = 2·3 = 6
El mínimo común múltiplo es el producto de todos los factores por los que
hemos ido dividiendo y que aparecen en la primera columna. Claramente es un
múltiplo común de todos los números y el más pequeño de ellos, ya que no
podemos prescindir de ninguno de los factores.
mcm (24, 18, 60) = 2·2·2·3·3·5= 360.
El procedimiento es muy comprensible y fácil de recordar. Los alumnos lo
aprenden rápidamente y con firmeza.
 Mínimo común múltiplo. (Disfruta las matemáticas)
Disfruta las matemáticas es un sitio web donde se pueden encontrar diversos
temas matemáticos, en este caso el mínimo común múltiplo. En el sitio se
muestra la obtención del mcm de una forma visual, pero también da una
alternativa a los lectores, un recurso digital para obtener mcm de tres números
(http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/minimo-multiplo-comun-
tool.html), muestra lo siguiente:
Mínimo común múltiplo
El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.
El nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y
múltiplo:
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¿Qué es un "múltiplo"?
Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros
números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar.
Aquí tienes ejemplos:
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...
Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...
¿Qué es un "múltiplo común"?
Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el
mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos
números.
Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y
5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:
Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...
Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...
¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes
de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)
¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo
anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común
múltiplo de 4 y 5 es 20.
Calcular el mínimo común múltiplo
En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números
hasta que encuentres uno que coincida.
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9. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:
Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.
Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8
Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....
Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más
pequeño!)
En esta investigación se muestra el cálculo de mcm de factores numéricos,
pues es el mismo procedimiento que se utilizará para calcular el mcm de
expresiones algebraicas.
El documento Programas de Estudio de segundo año medio del Ministerio de
Educación (2011), propone un ítem con cálculo de mcm de expresiones
algebraicas, pero no menciona como poder abordar el tema. Asimismo el texto
para el estudiante Matemática 2° año medio, del Ministerio de Educación, de la
editorial Santillana (2009), comienza la subunidad de mínimo común múltiplo,
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10. Profesora: Alejandra Lucero Silva
con un problema de contexto y unas preguntas enfocadas al cálculo de mcm,
pero comunican que el mcm es una expresión dada, es decir, no explican un
método para obtener el mcm, sólo dicen cual es, por lo que no fue de utilidad
para la creación de esta actividad.
Finalmente, para la construcción de esta actividad, se consideró el método
propuesto por Ángel de la Llave Canosa, junto con la búsqueda de la analogía
que existe entre el cálculo de mcm de un lenguaje a otro (de factores numéricos
a expresiones algebraicas).
En ningún texto o sitio web se encontró algún método para calcular el mcm de
expresiones algebraicas, por el contrario, ocurre como en el texto de Santillana,
que mencionan cual es el mcm, pero no como obtenerlo, por lo que esta
actividad dará a conocer un método cómodo para llegar al objetivo.
Para la suma y resta de fracciones algebraicas,
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11. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Orientaciones Metodológicas
Titulo de la actividad: “Relacionando contenidos”
Conceptos clave: Mínimo común múltiplo de factores numéricos, factorización
de expresiones algebraicas y productos notables.
Fundamentación de la actividad:
El diseño de la clase se relaciona con el Currículo Chileno, situando los
contenidos y actividades en:
Nivel: Segundo año Medio.
Eje Temático: Álgebra.
Objetivo fundamental: Interpretar la operatoria con expresiones
algebraicas fraccionarias como una generalización de la operatoria con
fracciones numéricas, establecer estrategias para operar con este tipo de
expresiones y comprender que estas operaciones tienen sentido solo en
aquellos casos en que estas están definidas.
Contenido Mínimo Obligatorio: Establecimiento de estrategias para
simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas
simples, con binomios tanto en el numerador como en el denominador y
determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica
fraccionaria.
Aprendizajes Esperados: Establecer estrategias para operar11
fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el
denominador, y determinar los valores que identifiquen estas expresiones.
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12. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Mapa de Progreso: Nivel 5, donde deben transformar expresiones
algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones
del álgebra
Actitudes:
Desarrollo Personal
Aprendizaje y relación con el conocimiento.
Perseverancia, rigor, originalidad y flexibilidad al momento de resolver
problemas matemáticos.
Conductas de entrada del estudiante:
Reconoce las expresiones algebraicas.
Simplifica expresiones algebraicas y reduce términos semejantes.
Realiza las cuatro operaciones básicas con fracciones (suma, resta,
multiplicación y división).
Calcula mínimo común múltiplo de factores numéricos.
Conductas de Salida:
Calcula mínimo común múltiplo entre expresiones algebraicas.
Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase
La actividad “Relacionando contenidos” está formada por tres secciones, cada
una de ellas representa los momentos de la clase, inicio, desarrollo y cierre,
respectivamente. A continuación se presentará una serie de sugerencias
dirigidas al profesor para que la actividad sea realizada de manera óptima.
Momento de Inicio:
El profesor debe recordar el mínimo común múltiplo (mcm) de factores
numéricos, tanto la definición como la forma de calcularlo. El primer ítem
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13. Profesora: Alejandra Lucero Silva
proporciona esto último, la ejercitación del cálculo de mcm con factores
numéricos, si es necesario, el profesor debe dar más ejercicios para que los
alumnos tengan interiorizado el procedimiento. En el segundo ítem se plantea el
cálculo de mcm entre expresiones algebraicas donde se espera que los
alumnos contesten que no pueden calcularlo, si por algún motivo un alumno ya
lo sabe, se le propone al profesor mostrarle un conjunto de expresiones
algebraicas más complejo, uno del tipo x(x+3), (x-2)2 y (x2+x-5), para que el
alumno no pueda calcularlo, puesto que si esto sucede, la actividad no serviría.
Momento de Desarrollo:
En esta parte de la actividad, se entra de lleno a buscar una analogía entre el
cálculo de mcm de factores numéricos y el cálculo de mcm de expresiones
algebraicas. Para esto, los alumnos deben llenar una tabla con el mcm de las
expresiones que se les piden. El profesor debe tener en cuenta que las
expresiones algebraicas que ahí aparecen son la generalización de los tipos de
factores numéricos, es decir, son la generalización de la secuencia de factores
numéricos. En el ítem 2.1 esto queda claro, en el ítem 2.2 es la misma
generalización anterior, pero ahora se le suma una unidad, por lo que el
procedimiento es el mismo. En el ítem 2.3 el profesor toma el rol más
importante de la actividad, pues debe estar preocupado por el avance y las
dudas de los alumnos. La primera expresión algebraica de la tabla es la
generalización obtenida para a=1, mientras que la segunda se da para x=4. Si
los alumnos siguen teniendo dudas con respecto al cálculo del mcm, se
recomienda al profesor darle otros valores a “a” y a “x”, para transformarlo a
números y que luego realicen la analogía hacia las letras. Finalmente terminan
encontrando la regularidad del cálculo de mcm. El profesor debe dar énfasis en
que las expresiones algebraicas se deben factorizar para calcular el mcm.
A continuación, se busca la analogía para la suma de fracciones algebraicas.
Aparece sólo un ejercicio, pues en esta guía se le da más énfasis al cálculo de
mcm, si los alumnos no recuerdan el proceso de la suma de fracciones
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14. Profesora: Alejandra Lucero Silva
numéricas, el profesor escribirá en la pizarra ejercicios similares a los de la
pregunta 3.2, orientándolos en los pasos.
Se realiza la analogía con la resta también, y el profesor tiene que dar énfasis
en que el procedimiento es el mismo tanto para la suma como para la resta.
Momento de Cierre:
En esta sección, los alumnos deben formalizar los conceptos con sus palabras,
por lo que el profesor debe preguntar a cualquiera de ellos qué escribió y
complementar su respuesta, es decir, el profesor debe decir que la regularidad
que se encontró en el proceso, en el cálculo de mcm entre expresiones
algebraicas es que la operatoria se realiza de manera análoga al cálculo de
mcm entre factores numéricos. Esto último es para que el alumno pueda
contestar el ítem 4.1 de esta sección.
También debe complementar la respuesta 4.2 de la guía, recordándoles a los
alumnos los pasos a seguir para realizar la suma y resta de fracciones
algebraicas y por último, dejar como desafío que verifiquen si en la
multiplicación y división de fracciones algebraicas ocurre lo mismo. Para esto el
profesor escribirá en la pizarra una lista con ejercicios de ese tipo. En esta
última etapa se propone la estrategia de lluvia de ideas, para darles seguridad y
participación en el proceso.
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15. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Material del estudiante
Actividad: “Relacionando contenidos”
Nombre:_________________________________________ Fecha:________
Conceptos claves: Mínimo común múltiplo de factores numéricos,
factorización, expresión algebraica y productos notables.
A Benjamín su profesor de matemáticas le dio un desafío que consistía en lo
siguiente:
¿Cuál es el valor de la siguiente suma?
El profesor le dijo que si traía el problema resuelto le regalaría una barra de
chocolate de las grandes.
Benjamín no sabía cómo calcularlo, pues sólo había calculado sumas de
fracciones con factores numéricos, por lo que nos pide que lo ayudemos.
Para poder sumar esas dos expresiones, lo primero que debemos hacer es
calcular el mínimo común múltiplo de sus denominadores, para esto debemos
recordar contenidos pasados.
1.- Recordando
El mínimo común múltiplo
(mcm) entre dos o más
números es el menor de los
múltiplos comunes de ellos,
distinto de cero.
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16. Profesora: Alejandra Lucero Silva
1.1.- Completa la siguiente tabla de cálculo de mcm.
Factores numéricos mcm
3 - 15
2 – 6 - 10
1.2.- Con lo que sabes hasta el momento ¿Podrías calcular el mcm entre t, t2 y
t3 ó (t+1), (t-2) y (t2-4)?
2.- Explorando.
2.1.- Siguiendo los patrones completa la siguiente tabla:
Expresiones mcm
3-9
5 – 25
a – a2
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17. Profesora: Alejandra Lucero Silva
3 – 9 – 27
a – a2 – a3
2.2.- Calcula el mcm entre (a+1), (a+1)2 y (a+1)3.
2.3.- Con la ayuda del profesor completa la tabla a continuación ¿Observas
alguna regularidad?
Expresiones mcm
2–3–6
(a+1) – (a+2) – 3(a+1)
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18. Profesora: Alejandra Lucero Silva
3 - 5 - 25
8 – 12 – 36
x(x-2) - (x2-4) - (x+2)2
2.4.- Calcula el mcm entre (a+b)2, (a2+2ab+b2) y (a2-b2)
¿Notaste que a partir del cálculo de mcm
de factores numéricos lograste el calcular
el mcm de expresiones algebraicas?
Debes tener presente que antes de
calcular el mcm debes factorizar cada una
de las expresiones algebraicas.
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19. Profesora: Alejandra Lucero Silva
3.- Continuando con el problema de Benjamín.
3.1- Calcula el mcm de los denominadores del problema de Benjamín.
3.2- Sumemos las siguientes fracciones numéricas.
3.3- Así como encontramos una regularidad entre los mcm, ¿crees que
podemos hacer lo mismo con las suma de fracciones algebraicas?
Intentémoslo.
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20. Profesora: Alejandra Lucero Silva
3.4 ¿Crees que sucederá lo mismo con las resta de fracciones algebraicas?
¡Comprobémoslo!
3.5 ¡Ahora puedes resolver el problema de Benjamín!
4.- ¡Lo logramos!
4.1 Escribe con tus palabras la regularidad encontrada en el método de cálculo
del mcm en expresiones algebraicas.
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21. Profesora: Alejandra Lucero Silva
4.2 ¿Cuáles son los procedimientos que debemos considerar al momento de
sumar expresiones algebraicas fraccionarias?
4.3 Ya vimos que el mcm, la suma y la resta es válida para fracciones
numéricas y fracciones algebraicas. ¿Crees que sea válido el proceso de la
multiplicación y la división con fracciones numéricas para las expresiones
algebraicas fraccionarias?
Lo que acabas de hacer es calcular el mínimo común múltiplo para expresiones
algebraicas y lo importante es que lo hiciste a partir de los conocimientos que
ya tenías, lo mismo hiciste con la suma y la resta, esto es establecer estrategias
para operar fracciones algebraicas a partir de la operatoria con fracciones
numéricas.
¡RECUERDA PEDIRLE CHOCOLATE A BENJAMÍN POR LA RESPUESTA!
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22. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Conclusiones
Se puede decir que esta actividad es una forma novedosa de enseñar mcm de
fracciones algebraicas, pues es muy distinta a lo propuesto tanto por el
Ministerio de Educación, como por textos y sitios web visitados con anterioridad.
Se utilizó un método conocido por los alumnos para calcular mcm de factores
numéricos y se generalizó al cálculo de mcm de expresiones algebraicas, es
decir, con letras, lo que es muy confuso para el alumno.
Por la experiencia como docente, se sabe que a los alumnos no les agrada el
álgebra porque no entiende por qué hacen cálculos con letras, es por esto que
esta actividad forma parte importante del proceso de enseñanza aprendizaje del
concepto de mcm para expresiones algebraicas. Se parte de algo natural y se
llega a lo que los alumnos consideran complejo o inentendible, es una relación
que muchas veces es difícil de hallar, pero que con esta actividad se logra
alcanzar.
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23. Profesora: Alejandra Lucero Silva
Bibliografía
Ministerio de Educación. (2009). Marco Curricular . Santiago, Chile.
Ministerio de Educación. (2011). Programa de Estudios 2° año medio,
Matemáticas. Santiago, Chile.
Ministerio de Educación. (2009). Texto para el estudiante, Matemática 2° año
medio. Santiago, Chile: Santillana.
Canoso, Á. d. (s.f.). Scribd. Obtenido de
http://es.scribd.com/doc/68650784/Calcular-Maximo-Comun-Divisor-y-Minimo-
Comun-Multiplo
Disfruta las Matemáticas. (2011). Obtenido de
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/minimo-multiplo-comun.html
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