El documento resume los conceptos de ecuación cuadrática, incluyendo la forma estándar ax2 + bx + c = 0 y el uso del discriminante b2 - 4ac. También presenta ejemplos resueltos de encontrar los números cuya suma de cuadrados es un número dado, y calcular las medidas mínimas de una hoja de cartón para una caja de cierto volumen.

1. Una ecuación con una incógnita se dice cuadrática si es de la forma: a x 2 + b x + c = 0 donde a  0 b y c son números dados llamados coeficientes de la ecuación. o cualquier otra equivalente a ella.

2. El número 365 tiene la característica de ser la suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos. Indique cuáles son . Planteemos el problema llevando al leguaje algebraico x 2 + (x+1) 2 + (x+2) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x -360 = 0

3. Queremos confeccionar una caja de cartón sin tapa con una hoja de cartón cuadrada. La caja debe tener 3 cm de altura y un volumen de 48 cm 3 . ¿Qué medidas debe tener, como mínimo, la hoja de cartón? 3 ( x - 6 ) 2 = 48

4. Se trata en ambos casos de una ecuación algebraica de segundo orden o ecuación cuadrática

8. 3 x 2 + 6x -360 = 0 Dividiendo toda la ecuación en 3 y utilizando una ecuación equivalente x 2 + 2x – 120 = 0 / despejamos x x 2 + 2x = 120 Completando el trinomio cuadrado perfecto x 2 + 2x + 1 = 120 ( x + 1 ) 2 – 121 = 0 (x + 1 ) 2 = 121 x + 1 =  11 x 1 = 10 ; x 2 = -12 Los números son 10,11 y 12 Generalicemos el método que aplicamos en este ejercicio

13. Al número b 2 – 4ac se lo llama discriminante justamente por el rol que juega

15. Encuentre dos números consecutivos y positivos enteros cuyo producto sea 30. El número 365 tiene la característica de ser la suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos. Indique cuáles son.

16. Utilizando el discriminante decir cuántas soluciones tiene cada una de las siguientes ecuaciones