El documento explica cómo calcular el discriminante de una ecuación cuadrática y determinar el número y tipo de soluciones en función del valor del discriminante. Se presentan tres casos posibles: si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas; si es cero, tiene dos soluciones reales e iguales; y si es negativo, no tiene soluciones reales. También se explican propiedades de la suma y el producto de las raíces.

2. Como podemos observar el discriminante, depende de los coeficientes a, b y c, permitiéndonos determinar la cantidad de soluciones reales que tiene la ecuación de segundo grado. Las soluciones de la Ecuación de segundo de la forma ax 2 + bx + c = 0 , están dadas por la fórmula general. Donde la expresión sub-radical , Recibe el nombre de “Discriminante de la ecuación” y suele denotarse por la letra griega “Delta”

3. Caso1: Si , la ecuación tiene dos soluciones Reales y Distintas .

4. Consideremos las siguientes ecuaciones . X 2 - 8x + 12= 0 Como a=1 , b= - 8 , c= 12 , entonces b 2 - 4 a c = (-8) 2 -4* 1*12 = 64 – 48 = 16 > 0 Luego b 2 - 4 a c > 0 por lo tanto esta ecuación tiene dos soluciones Reales y Distintas . y X X 2 - 8x + 12= 0 x1 x2 Gráficamente:

5. 2 . 3X 2 + 5x -8= 0 Como a=3, b=5 , c=-8 entonces b 2 - 4 a c = (5) 2 -4* 3*-8 = 25 + 96 = 121 > 0 Luego b 2 - 4 a c > 0 por lo tanto esta ecuación tiene dos soluciones reales y distintas . Como el discriminante y además es cuadrado perfecto las soluciones de esta ecuación son Racionales y distintas . Observación : Si el discriminante de la ecuación es cuadrado perfecto entonces las soluciones son Racionales y distintas . Si el discrimínate de la ecuación no es un cuadrado perfecto las soluciones son irracionales y distintas

6. Análisis del discriminante de la ecuación cuadrática : Caso 2. Si , la ecuación tiene dos soluciones Reales e iguales , es decir:

7. Consideremos las siguientes ecuaciones . X 2 + 6x + 9 = 0 Como a=1 , b= 6 , c= 9 , entonces b 2 - 4 a c = 6 2 -4* 1*9 = 36 – 36 = 0=0 Luego b 2 - 4 a c = 0 por lo tanto esta ecuación dos tiene Dos soluciones Reales e Iguales Y X Gráficamente: X 2 + 6x + 9 = 0

8. 2. 4X 2 + 4x +1= 0 Como a=4, b=4 , c=1 entonces b 2 - 4 a c = 4 2 -4*4*1 = 16-16 = 0= 0 Luego b 2 - 4 a c= 0 por lo tanto esta ecuación dos tiene Dos soluciones Reales e Iguales

9. Si , la ecuación tiene dos soluciones complejas y conjugadas , es decir, no tiene soluciones reales

10. Consideremos las siguientes ecuaciones . X 2 +2x + 6= 0 Como a=1 , b=2 , c= 6 , entonces b 2 - 4 a c = 2 2 -4* 1*6 = 4 – 24 = -20< 0 Luego b 2 - 4 a c < 0 por lo tanto esta ecuación NO tiene Soluciones Reales ya que la , no pertenece a los reales. X 2 +2x + 6= 0

11. Consideremos las siguientes ecuaciones . 2. X 2 -2x +2= 0 Como a=1, b=-2 , c=2 entonces b 2 - 4 a c = (-2) 2 -4*1*2 = 4-8 = - 4 < 0 Luego b 2 - 4 a c < 0 por lo tanto esta ecuación NO tiene soluciones reales .

12. Determina la naturaleza de las soluciones utilizando el discriminante

13. Hemos visto que toda ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, tiene dos raíces que en función de coeficientes se expresan como : Y Y estas cumplen las siguientes propiedades .

14. Propiedad de la suma de las raíces Por lo tanto : Demostración

15. Dada las siguientes ecuaciones, hallar la suma de sus raíces X 2 -7x +6 = 0 Como a=1, b=-7, c=6 , entonces, es cierto que : Luego 2. 7 X 2 + x +2 = 0 Como a=7, b=1, c=2 , entonces, es cierto que : Luego :

16. 2: Propiedad del producto de las raíces , x 1 × x 2 , es: Demostración Por lo tanto:

17. Dada las siguientes ecuaciones, hallar el producto de sus raíces: 2X 2 -5x +3 = 0 Como a=2, b=-5, c=3 , entonces es cierto que : Luego 4X 2 -3x -22 = 0 Como a=4, b=-3, c=-22 , entonces es cierto que : Luego

18. Determinar la ecuación, dada la suma ( S ) y el producto ( P ) de sus raíces S =3 y P=-18 se tiene que X 2 - S x + P = 0 , entonces La ecuación será : X 2 -3x -18 = 0 2. S =5/3 y P=- 26 se tiene que X 2 - S x + P = 0 , entonces La ecuación será : X 2 -5/3 x - 26 = 0

19. Determinar la ecuación de segundo grado, dadas sus soluciones x1 =1 y x2=-5 X 2 -4 x -5 = 0 2. x1 =3/2 y x2=1/3 X 2 - 11/6 x + 1/2 = 0