Este documento trata sobre ecuaciones cuadráticas. Explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante diferentes métodos como factorización, uso de la fórmula general y completar cuadrados. También muestra ejemplos de cómo encontrar las soluciones de ecuaciones cuadráticas que surgen en contextos como el cálculo del área de figuras geométricas.

1. Tema 2. Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas. Por ejemplo: 5 x = 8 , 4y + 7 = −2y . Una ecuación es
una balanza que siempre está en equilibrio. Si se modifica la
expresión algebraica de algún extremo se tiene que hacer
exactamente igual del otro.
M
Por ejemplo, en la ecuación x + 2 = 5 si se
A
suma -2 a ambos lados entonces se tiene: T
x+2−2 = 5−2 E
x=3 M
Á
Un valor de la incógnita (x) es solución de una ecuación si hace
T
cierta la ecuación, por ejemplo: I
a) En la ecuación − 4y + 1 = 13 la b) En la ecuación m + 1 = 2 la C
solución es y = −3 , pues 3 3 A
− 4y + 1 = 13 1 S
solución es m = , ya que
3
− 4(−3) + 1 = 13
1 1 2
12 + 1 = 13 + =
3 3 3
Generalmente, para resolver ecuaciones se elaboran
ecuaciones cada vez más sencillas, terminando con una
ecuación cuya solución es fácil de hallar. Hay que recordar las
siguientes propiedades de las igualdades para resolver
ecuaciones:
a + c = b + c
1. Si a = b , entonces  para cualquier número c .
a − c = b − c
Sea la ecuación x − 3.3 = 14.7 , se suma 3.3 en ambos lados de la
ecuación: x − 3.3 + 3.3 = 14.7 + 3.3
x − 0 = 18
x = 18
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2. ac = bc

2. Si a = b , entonces  a b si c ≠ 0
 c=c

m
Se tiene la ecuación = 7 , se multiplica por 5 en ambos lados:
5
 m
5  = 5(7) m = 35 .
5
 an = b n
3. Si a = b , entonces m
 a= b
m
a) Sea la ecuación a3 = 8 . b) Sea la ecuación b = 5 .
Se obtiene la raíz cúbica de Se elevan al cuadrado ambos
ambos lados de la ecuación: lados de la ecuación:
3
a = 8,
3 3
luego a = 2. 2
b = 52 luego ( )
b = 25 .
Otros ejemplos:
a) b) c)
3(x + 4) = 0 7x + 3 5(3 x + 2) = 16 x + 4
= −2
0 4 15 x + 10 = 16 x + 4
x+4 = = 0
3 7 x + 3 = 4(−2) = −8 15 x − 16 x = 4 − 10
x = −4 7 x = −8 − 3 = −11 − x = −6
11 x=6
x=−
7
d)
− 3(2 x + 7) + (−5 x − 6) − 8(1− 2 x) = 0
− 6 x − 21− 5 x − 6 − 8 + 16x = 0 Se reducen los paréntesis.
Se agrupan términos semejantes
− 6 x − 5 x + 16x − 21− 6 − 8 = 0
y se reducen.
5 x − 35 = 0 Se simplifica.
x=7
52

3. e) Tres veces un número, más dos unidades es igual a ocho
unidades. ¿Cuál es el número? La ecuación a resolver es 3x + 2
= 8, el resultado es x = 2.
Las ecuaciones cuadráticas son de la forma ax 2 + bx + c = 0 ,
donde a , b y c son cualquier número (diferente de cero).
Este tipo de ecuaciones tienen dos soluciones, pueden ser M
iguales y en ocasiones no son números reales, por ejemplo: A
T
a) Las soluciones de x 2 − x − 6 = 0 son x1 = −2 y x 2 = 3 , pues E
M
(−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0 . Á
T
b) Luisa tiene un pedazo de cartón I
C
cuadrangular que mide 25 cm2 de área.
x 25 cm 2 A
¿Cuánto medirá de lado? S
Si mide “x” de lado el cartón, entonces la
ecuación a resolver, que implica el área, será
x2 = 25. ¿Qué número elevado al cuadrado da x
como resultado 25? Los números son 5 y -5. Pero como no
existen distancias negativas, la respuesta a la pregunta es 5 cm.
c) ¿Cuál es el valor de “x” que resuelve la ecuación (x + 1)2 =
36?
Existen dos números tales que su cuadrado es igual a 36, 6 y -6.
Entonces x+1=6 ó x + 1 = -6.
Luego x=5 ó x = -7.
d) Sea la ecuación (x + 2)(x - 4) = 0. Cuando el producto de dos
números es cero, uno de ellos debe ser igual a cero.
Así que x+2=0 ó x – 4 = 0;
entonces x = -2 ó x = 4.
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4. Solución de cuadráticas por medio de la factorización
Al encontrar las soluciones de una ecuación por medio de
factorización hay que tener cuidado de que la ecuación esté
igualada a cero.
Caso I Trinomio cuadrado perfecto
La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el
producto de dos binomios exactamente iguales (un binomio al
cuadrado). Por ejemplo: a2 + 8a + 16 = (a + 4)(a + 4) = (a + 4)2 .
Para resolver la ecuación a2 + 8a + 16 = 0 se factoriza y se obtiene
(a + 4)2 = 0 . ¿Qué número al cuadrado es cero? Sólo el cero, por
lo que si (a + 4)2 = 0 , entonces a + 4 = 0 , de aquí que a = −4 . Las
soluciones son iguales a1 = −4 , a2 = −4 .
Caso II Trinomio de la forma x 2 + ax + b
Sea la ecuación x 2 − 7 x + 10 = 0 , el primer miembro se factoriza:
x 2 − 7 x + 10 = (x − 5)(x − 2) = 0
Cuando el producto de dos números es cero, uno de ellos debe
ser igual a cero. Así que como (x − 5)(x − 2) = 0 , entonces x − 5 = 0 ó
x − 2 = 0 . Las soluciones son x1 = 5 , x 2 = 2 .
Caso III Ecuación de la forma ax 2 + bx = 0
Resolver 6 x 2 − 48 x = 0 , el término común es 6 x , al factorizar se
tiene 6 x 2 − 48 x = 6 x(x − 8) = 0 .
Ahora 6 x = 0 ó x − 8 = 0 , es decir, x1 = 0 , x2 = 8 .
Caso IV Ecuación de la forma ax 2 + c = 0
75
Sea 3 x 2 − 75 = 0 , es necesario despejar primero a x 2 :
= 25 . x2 =
3
La solución es un número que elevado al cuadrado da como
resultado 25. Hay dos números con esta propiedad: 5 y –5.
Las soluciones son x1 = −5 y x2 = 5 .
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5. Caso V Completar cuadrados
Se debe recordar que un trinomio cuadrado perfecto es de la
forma a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 , por ejemplo:
a) Sea 9x 2 + 12 x = 5 . Se debe observar que a = 3 x
Al primer miembro de la (raíz cuadrada de 9x 2 ) y
ecuación ( 9x 2 + 12 x ) le falta un 2ab = 12 x .
término equivalente a b2 para ser Sustituir en 2ab
un trinomio cuadrado perfecto. 2(3 x)b = 6 xb = 12 x entonces M
b=2 y b = 4.
2
A
T
Hay que sumar a ambos lados de 9x 2 + 12 x = 5
E
la ecuación el valor de b2 , es 9x 2 + 12 x + 4 = 5 + 4 = 9 M
decir 4, y factorizar. (3 x + 2) = 9
2
Á
T
Existen dos números tales que su (3 x + 2)2 = 9 I
cuadrado es 9 : 3 y –3. 3 x + 2 = 9 = ±3 C
A
3x + 2 = 3 ó 3 x + 2 = −3 S
3x = 1 ó 3 x = −5
Luego se resuelve.
1 5
x1 = ó x2 = −
3 3
b) Sea 4 x 2 + 8 x = 0 , a = 2 x y 2ab = 8 x . Sustituir en 2ab
2(2 x)b = 4 xb = 8 x , entonces b = 2 y b 2 = 4 .
Resolviendo 4 x2 + 8 x = 0
4x2 + 8x + 4 = 0 + 4
(2 x + 2)2 = 4
(2 x + 2)2 = 4 = ±2
2x + 2 = 2 ó 2 x + 2 = −2
x1 = 0 ó x 2 = −2
25- x A continuación se presentan otros ejemplos:
a) El área del rectángulo es de 156 cm2, sus
dimensiones están dadas en la figura de la
x 156 cm 2 izquierda, ¿cuánto mide su ancho y su largo?
La ecuación del área es x (25 – x) = 156,
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6. es decir, x2 – 25x + 156 = 0, Al sustituir 12 ó 13 el resultado
factorizando (x – 12)(x – 13) = 0, es el mismo, el rectángulo
de aquí x = 12 ó x = 13. mide 12 cm y 13 cm de lado.
b) Una cancha de voleibol mide 162 m2, si de largo es 9 metros
mayor que el ancho, ¿cuáles son sus dimensiones?
Sea “y” la medida del ancho de la cancha, entonces de largo
mide “y + 9”. El área está dada por y (y + 9) = 162. Para resolver
esta ecuación se hace el siguiente procedimiento:
Se realizan las multiplicaciones y se y(y + 9) = 162
iguala a cero la ecuación, al factorizar
y 2 + 9y = 162
se encontraron dos soluciones, -18 y 9.
y 2 + 9y − 162 = 0
Se toma la distancia positiva, las
(y + 18)(y − 9) = 0
dimensiones son 9 y 18 m.
Solución de cuadráticas por medio de la fórmula general
Existe una fórmula general para resolver ecuaciones
cuadráticas:
− b ± b 2 − 4ac
Sea la ecuación ax + bx + c = 0
2
entonces x =
2a
Ejemplos:
Sea 3 x 2 + 8 x + 5 = 0 . Sea x 2 − 5 x + 6 = 0 .
En este caso a = 3 , b = 8 , c = 5 En este caso a = 1, b = −5 , c = 6
− b ± b 2 − 4ac − b ± b 2 − 4ac
x= x=
2a 2a
− 8 ± 64 − 4(3)(5) − (−5) ± 25 − 4(1 6)
)(
= =
2(3) 2(1)
− 8 ± 64 − 60 − 8 ± 4 − 8 ± 2 5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1
= = = = = =
6 6 6 2 2 2
−8+2 −6 5 +1 6
x1 = = = −1 x1 = = =3
6 6 2 2
− 8 − 2 − 10 2 5 −1 4
x2 = = = −1 . x2 = = = 2.
6 6 3 2 2
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7. Para encontrar la gráfica de y = x 2 + 2 x + 1 primero se llena una
tabla de valores y las coordenadas se ubican el plano
cartesiano.
x y = x2 + 2x + 1
-3 4
-2 1
-1 0 M
0 1 A
1 4 T
E
2 9
M
Á
T
I
La gráfica de y = ax 2 + bx + c es una parábola, las soluciones son C
A
la intersección de la gráfica con eje x. En el caso anterior la S
soluciones son iguales, x1 = −1 y x2 = −1.
Cuando se tiene una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 se le
llama discriminante a la expresión D = b2 − 4ac , ésta se obtiene
de la fórmula general, las soluciones de una ecuación
cuadrática son:
a) Reales e iguales si b) Reales y diferentes si c) No reales si
D = b 2 − 4ac = 0 . D = b2 − 4ac > 0 . D = b 2 − 4ac < 0 .
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8. Sucesiones numéricas y figurativas
Si el triángulo rectángulo de la imagen 1 mide
0.5 cm de base y de altura, el triángulo 2 mide
1 cm de base y de altura, el triángulo 3 mide
1.5 cm de base y de altura y así sucesivamente.
¿Cuál es el área del triángulo número 1?
Ya que
(0.5)(0.5) = 0.25 = 0.125 , el área es
2 2
0.125 cm 2.
¿Cuál es el área del triángulo número 4?
La base y la altura miden 4(0.5) = 2, ya que
(2)(2) = 2 , el área es
2
2 cm2.
¿Cuál es el área del triángulo enésimo?
La base y la altura del enésimo triángulo miden 0.5 n, luego el
área será
(0.5n)(0.5n) = 0.25n2 = 0.125n2 = n2 .
2 2 8
Todo lo anterior lo representa la siguiente tabla:
Triángulo Área (cm2)
1 0.125
2 0.5
... …
n2
n
8
Se considera la siguiente sucesión de números:
Lugar 1 2 3 4 5 …
Sucesión 2, 4, 8, 16, 32, …
A partir de esta información se obtuvo la siguiente tabla:
Lugar 1 2 3 4 5 6 … n
Número 2 4 8 16 32 64 …
Relación 2 22 23 24 25 26 … 2n
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9. Para la siguiente sucesión:
Se obtuvo la siguiente tabla donde se logró saber el enésimo
término.
Número total
32 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 … n2
de cuadrados M
Número de A
cuadrados 1 2 =4
2
3 =9
2
… (n − 2)2 T
sombreados E
Número de M
cuadrados 3 − 1= 8
2
4 − 2 = 12
2 2
5 − 3 = 16
2 2
… n − (n − 2)
2 2
Á
blancos T
I
C
A
S
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