Este documento describe los tipos principales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluidas las ecuaciones en variables separadas, homogéneas, lineales y aquellas con un factor integrante. Explica que las ecuaciones diferenciales relacionan una función con sus derivadas y son importantes en diversas disciplinas como física, ingeniería y biología. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de ecuación diferencial de primer orden.

1. Ecuaciones Diferenciales
Tipos de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Bachiller:
Ricardo Boada
C.I. 26.823.943
Sección SAIA S1
Asignatura: Matemáticas IV
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico

2. Introducción
La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha
destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las
ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y
sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones
diferenciales. Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de
manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales
ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación
diferencial.

3. Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial es
una ecuación matemática que
relaciona una función con sus
derivadas.
Las ecuaciones diferenciales
Juegan un rol primordial en
diversas disciplinas, incluyendo
la ingeniería, la física, la
química, la economía, y la
biología.
Las ecuaciones diferenciales aparecieron por primera
vez en los trabajos de cálculo de Newton y Leibniz. En
1671, el Capítulo 2 de su trabajo Método de las
fluxiones y series infinitas,1​ Isaac Newton hizo una
lista de tres clases de ecuaciones diferenciales:

4. Ecuaciones Diferenciales
En las matemáticas puras, las
ecuaciones diferenciales se
estudian desde perspectivas
diferentes, la mayoría
concernientes al conjunto de
las soluciones de las funciones
que satisfacen la ecuación.
Si la solución exacta no puede
hallarse, esta puede obtenerse
numéricamente, mediante una
aproximación usando computadoras.
La teoría de sistemas dinámicos hace
énfasis en el análisis cualitativo de
los sistemas descritos por ecuaciones
diferenciales.

5. Tipos ordinarios de
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones en Variables separadas, Homogéneas,
Factor integrante, Lineales de Primer orden.

6. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
 Las ecuaciones diferenciales de primer
orden son las más simples de resolver, al
menos en teoría. Muchos problemas de la
física, biología, economía, ingeniería, etc.,
conducen a problemas de valor inicial que
involucran ecuaciones de primer orden.
 Durante muchos años los matemáticos se
esforzaron por resolver tipos específicos
de ecuaciones diferenciales. Debido a esto
existen hoy en día muchas técnicas de
solución, algunas de las cuales
estudiaremos.

7. Ecuación Lineal de Primer Orden
Tal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor
importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos
se modelan por medio de una ecuación de este tipo.
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse
en la forma:
Donde P(x) y Q(x) son funciones reales , se llama ecuación
diferencial lineal
Una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma :

8. Ecuación Lineal de Primer Orden
Teorema
La solución general de la ecuación diferencial de primer orden
Demostración
Reescribiendo la ecuación
podemos comprobar es un factor integrante.
Multiplicando la ecuación por este factor tenemos que
de donde
E integrando respecto con x

9. Ecuación Lineal de Primer Orden
Ejemplo

10. Ecuaciones en Variables Separadas
Una ecuación diferencial ordinaria
de primer orden f (x,y,y1)=0 que
puede escribirse en la forma:
Se llama ecuación diferencial en variables separadas.

11. Ecuaciones en Variables Separadas
Ejemplo:
Resolver la ecuación
diferencial ordinaria

12. Ecuaciones Diferenciales homogéneas
Antes de estudiar las
ecuaciones diferenciales
homogéneas es necesario
definir lo que es una función
homogénea.
Una Función Se dice homogénea de grado n si f(tx,ty)= tn f
(x,y) Para todo T >0 y todo (x,y) E D
Ejemplo

13. Ecuaciones Diferenciales homogéneas
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden,
yI(x,y), es homogénea si la función f(x,y) es homogénea
de orden cero.
Si la ecuación diferencial está escrita en la forma
Sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes M(x,y) y N(x,y) son
funciones homogéneos del mismo grado.
Teorema
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
es homogénea, entonces el cambio de variable
y=ux la reduce a una ecuación diferencial en
variables separadas.

14. Ecuaciones Diferenciales homogéneas
Ejemplo del Teorema
- Resolver la Ecuación diferencial

15. Factor Integrante
El factor integrante de una ecuación diferencial no es más que un acuerdo matemático que nos
permite o más bien nos facilita la resolución de una ecuación diferencial. Es posible que cierto tipo de
ecuaciones diferenciales requieran de un factor integrante particular para poder encontrar su solución
general, en ese caso se dice que ciertas ecuaciones admiten un factor integrante. También se puede
dar la tarea de demostrar si una ecuación diferencial admite o no un Factor Integrante específico.
La ecuación diferencial no exacta admite un factor integrante
siendo V un arreglo de X y , Y si y solo si:
F (v) es una función del arreglo seleccionado y el factor
integrante se determina de la siguiente manera:

16. Factor Integrante
Ejemplo:
Es una ecuación exacta, es decir, debe cumplir que
Tiene como solución p=1 y q=2, con lo cual el factor integrante
es y la solución de la ecuación diferencial esta dada
por

17. Conclusión
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función
desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se
llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una
variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.
Las ecuaciones diferenciales Juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la
física, la química, la economía, y la biología.

18. Links de YouTube
https://www.youtube.com/watch?reload=9&v=q3PKNySW6LQ
Ecuaciones Diferenciales y sus tipos
https://www.youtube.com/watch?v=N6-7_tzZVTY
Ecuaciones Diferenciales de primer orden Primer Orden
https://www.youtube.com/watch?v=KjhJ3_idLM0
Ecuaciones Diferenciales Homogénea
https://www.youtube.com/watch?v=4C2UgYhVwgI
Factor Integrante