Universidad Técnica Particular de Loja Carrera:Gestión Ambiental Docente: Ing. Daniela Calva Ciclo: Tercero Bimestre: Segundo

1. CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS
ESCUELA: Ciencias Biológicas y Ambientales
BIMESTRE: Segundo
NOMBRES: Ing. Daniela Calva
Octubre 2011-Febrero 2012

2. AGENDA
• Unidad 4: Cálculo Multi Variable.
– Derivadas Parciales
• Unidad 5: Ecuaciones Diferenciales
– Definición
– Tipos de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
– Soluciones de Ecuaciones Diferenciales
– Formas de Resolución de Ecuaciones Diferenciales

3. Unidad 4: Cálculo Multi Variable.
Derivadas Parciales
k y n representan a números
y, u y v representan a funciones

4. Derivadas Parciales
Definición:
Consideremos una función z=f(x,y) de dos
variables x y y.
Las derivadas parciales se calculan
considerando que una de las variables se
mantiene constante, y derivando respecto a
la otra.

5. Derivadas Parciales
Si z=f(x,y), las primeras derivadas
parciales de f con respecto a x e y son las
funciones fx y fy definidas:

6. Notación Derivadas Parciales

7. Ejemplo 1:
Calcular fx y fy para la función
Solución:
Considerando y constante y derivando con respecto
a x, resulta:
Considerando x constante y derivando con respecto a
y, resulta:

8. Ejemplo 2:

9. Ejemplo 3:

10. Ejemplo 3:

11. Unidad 5: Ecuaciones Diferenciales
Definición:
Una ecuación que contiene una derivada de una
función desconocida, se denomina ecuación
diferencial.
y’=xy2
ED es toda igualdad en la cual existen
términos que contienen derivadas o
diferenciales de una o más variables
dependientes con respecto de una o más
variables independientes.

12. Ejemplo 1:

13. Ejemplo 1:
Se llama solución general de una
ecuación diferencial a toda
relación entre las variables, libres
de derivadas, que satisface dicha
ecuación diferencial.

14. Ejemplo 1:
Se llama solución particular de
una ecuación diferencial a aquella
solución que se obtiene
a partir de la solución general,
dando valores a las constantes.

15. Tipos de ED
Físico.- Cuando se trata de interrelacionar variables
que representan magnitudes físicas que están en
relación precisa dentro de los cuerpos u objetos del
universo, considerando los aumentos o
disminuciones como elementos de análisis.
Geométrico.- Cuando surge de interrelacionar las
medidas de los cuerpos o figuras geométricas.
De la primitiva.- Cuando se obtiene de ejecutar el
proceso de derivación o diferenciación de una función
mediante la aplicación de las reglas y procedimientos
habituales.

16. Ejemplos:
Físico:
La variación del volumen de agua con respecto de la
variación del tiempo determina el caudal:
Geométrico:
Derivada del perímetro: dp=2πdR
De la primitiva:

17. Tipos de ED de primer orden
Ecuaciones Separables:
Si el lado derecho de la ecuación y’=f(x,y) se puede
expresar como una función g(x) que sólo depende de x,
por una función p(y) que soló depende de y.
Ecuaciones Lineales:
Es aquella que se puede expresar de la forma
Donde solo dependen de la variable
independiente x, no así de y.

18. Tipos de ED de primer orden
Ecuaciones Exactas:
Son aquellas que adoptan la forma
Que es la diferencial total de la función f(x,y) y se cumple
que

19. Tipos de soluciones de ED
General o completa: cuando la solución
es representativa de una familia de
primitivas, lo cual queda evidenciado en
la presencia de parámetros o constantes.
Particular: Cuando la solución cumple
con ciertas condiciones referenciales, que
debe cumplir la primitiva correspondiente,
como por ejemplo pasar por un punto
específico.

20. Formas de resolución de EDO
Variables separadas:
Son las que pueden llegar a escribirse
como:
Proceso:
Para resolver basta con integrar ambos
miembros con respecto a x

21. Formas de resolución de EDO
Ejemplos:

22. Ejemplo 1:

23. Ejemplo 2: