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Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Profesor: Edis Alberto Flores Página 1 de 62
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
MÓDULO I y II
“CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES”
DOCENTE
EDIS ALBERTO FLORES
ENERO 2013
Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Profesor: Edis Alberto Flores Página 2 de 62
ÍNDICE
Introducción 3
Definiciones y Conceptos 4
Solución de una Ecuación diferencial 6
Problema de valor inicial 8
Clases de soluciones de una ecuación diferencial 9
Ejercicios propuestos 10
Ecuaciones de variables separables 15
Ecuaciones diferenciales Homogéneas 17
Ecuaciones diferenciales Cuasi homogéneas 22
Ecuaciones diferenciales Exactas 28
Factor de integración 34
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 38
Ecuaciones diferenciales de Bernoullí 42
Ecuaciones diferenciales de Ricatti 45
Ecuaciones diferenciales de Lagrange 47
Ecuaciones diferenciales de Clairaut 48
Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de 1er orden 51
Ejercicios Misceláneos 59
Bibliografía 61
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Profesor: Edis Alberto Flores Página 3 de 62
Introducción
La comprensión de la naturaleza y sus fenómenos necesita del auxilio de las matemáticas, y las
Ecuaciones Diferenciales constituye una herramienta esencial para matemáticos, físicos,
ingenieros y demás técnicos y científicos, pues, sucede con frecuencia que las leyes físicas que
gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones
diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes:
por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la
mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del
movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo
orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas,
la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.
En una primera parte (módulo I) estudiaremos los conceptos básicos de las ecuaciones
diferenciales como introducción al curso de E.D.O. En esta etapa iniciamos, las definiciones de
las ecuaciones diferenciales, los tipos de ecuaciones diferenciales, el orden, grado, forma de las
ecuaciones lineales, las soluciones y el teorema de Picard (existencia y unicidad).
En una segunda parte (módulo II) estudiaremos la resolución de las ecuaciones diferenciales
de primer orden como herramienta en las aplicaciones de modelados matemáticos en
diferentes áreas de la física y matemática. En esta segunda parte continuamos con las
diferentes definiciones de las ecuaciones diferenciales y las sustituciones para la su resolución
de estas, contemplando inicialmente las ecuaciones de variables separables, homogéneas,
cuasihomogéneas, exactas, factor integrante, lineales, Bernoullí, Ricatti, Clairaut y las
aplicaciones de las mismas.
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Módulo I
I. Definiciones y Conceptos
I.1. Definición: Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más
variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que
es una ecuación diferencial.
I.2. Definición: Si la ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces la ecuación se
dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O).
 Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:
1)
2)
3) ( ) ( )
4)
5)
I.3. Definición: Si la ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variable independiente, entonces la ecuación se
dice que es una ecuación en derivadas parciales.
 Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales:
1)
2)
3)
4)
5)
I.4. Definición (orden): El orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor
orden en la ecuación, por ejemplo en las ecuaciones siguientes
1) ; es de primer orden ya que su mayor derivada es de primer orden
2) ; es de segundo orden ya que su mayor derivada es de segundo orden
3) ; es de segundo orden
4) ; es de tercer orden.
5) ( )
; es de cuarto orden.
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6) ( ) ( ) ; es de primer orden.
I.5. Definición (Grado): El grado de una ecuación diferencial es el exponente que abarca el
término del orden de la ecuación diferencial. En los siguientes ejemplos observemos el
orden y el grado de las ecuaciones.
1) es de primer orden y primer grado.
2) ( ) es de primer orden y de tercer grado.
3) ( ) ( ) es de segundo orden y de tercer grado.
4) ( ) ( ) ( ) es de tercer orden y de segundo grado.
I.6. Definición (E.D.O Lineal): Una ecuación diferencial ordinaria se dice que es lineal si
tiene la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Donde los ( ) y ( ) son funciones de la variable independiente y la variable dependiente y
sus derivadas son de grado uno. Si no cumple con estas condiciones entonces se dicen no
lineales.
Ejemplos:
1) es lineal de primer orden
2) ( ) no es lineal, pues es de grado 3
3) es lineal de tercer orden
4) no es lineal, el coeficiente es de la variable dependiente.
5) no es lineal, la función ( ) es de variable
6) ( ) no es lineal una derivada es de gado 4
7) ( ) no es lineal con respecto a la variable , pero si es lineal con respecto a la
variable .
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II. Solución de una E.D.O: Se dice que una función con dominio en un intervalo es solución
a una ecuación diferencial en el intervalo , si la función satisface la ecuación diferencial en
el intervalo .
Ejemplo (1): Demostrar que la familia de funciones es solución de la
ecuación
En efecto, derivando dos veces
luego remplazamos esta expresión en la ecuación
( ) lo cual prueba que
es solución.
Ejemplo (2): Demostrar que ( ) es solución de ( )
Derivamos implícitamente la relación:
luego despejamos
y remplazamos en el miembro derecho de la ecuación diferencial, esto es
( ) ( ) simplificando las expresiones y factorizando
( ) ( )
( ) ( )
Entonces
( )
que es ( ) lo cual muestra una equivalencia y
satisface nuestra igualdad.
Ejemplo (3): Demostrar que ( ) es solución de ( )
Derivando implícitamente,
( ) * + simplificamos
( )
( ( ) )
( )
; luego remplazamos en la ecuación diferencial
( )
( )
( ) ; además ( ), entonces
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( )
( ( ) ) ; factorizando por
( )
( ( ) )
Por lo tanto verifica la igualdad y es entonces solución de la ecuación diferencial.
Ejemplo (4): Demostrar que ∫ es solución de
En efecto derivando la expresión y aplicamos el teorema fundamental del calculo,
∫ ( ) ∫
Remplazamos en la ecuación
∫ [ ∫ ]
∫ ∫
Lo cual completa la verificación deseada.
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III. Problema de valor inicial.
Una ecuación diferencial acompañada de unas condiciones iniciales se le llama un problema de
valor inicial, con frecuencia es importante saber si un problema de valor inicial tiene solución y
también deseamos saber si esta solución es única, aunque no podamos conseguir
explícitamente la solución, el siguiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de
plantear.
Teorema de Picard (1.1)
Sea una región rectangular en el plano definida por , que contiene
al punto ( ) en su interior. Si ( ) y son continuas en , entonces existe un intervalo
con centro en y una única función ( ) definida en que satisface el problema de valor
inicial ( ) ( ) .
Ejemplo (5): Para la ecuación diferencial , se tiene que ( ) y
son continuas en todo el plano , por lo tanto por cualquier punto ( ) del plano
pasa una y solo una solución de la ecuación diferencial anterior. Es importante anotar que
para esta ecuación diferencial es imposible hallar una solución explicita o analítica, solo con
métodos numéricos se puede hallar la solución.
Ejemplo (6): Para la ecuación diferencial consideremos ( ) y notemos que
para el intervalo ( )del eje la función ( ) y su derivada parcial no es
continua en este intervalo. Notemos que la solución √ ( ) solo pasa por un solo
punto de para cada curva.
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Ejemplo (7): Para la ecuación diferencial , consideremos la función
( ) y su derivada parcial son continuas con respecto a e en
todos los puntos del plano . Según el teorema de existencia y unicidad, la región R en que
la ecuación dada tiene solución única es todo el plano .
Ejemplo (8): Para la ecuación diferencial √ , consideramos la función ( ) √
es una función definida y continua en todo los puntos del plano . La derivada parcial
√
no esta definida para , es decir sobre la región infringe la condición. Por
siguiente es posible que no haya unicidad en los puntos del eje . Es fácil comprobar que
( )
es solución de la ecuación y además es solución trivial de esta. Luego notemos
que existen al menos dos soluciones e infringen la unicidad.
IV. Clases de Soluciones de una Ecuación diferencial
Si todas las soluciones de la ecuación diferencial ( ( )
) en un intervalo pueden
obtenerse de ( ), con (parámetros), mediante valores apropiados de ,
entonces a ( ) se le llama la solución general. Si la solución no contiene los
parámetros se le llama la solución particular, es decir que la solución particular es generada
por valores de los parámetros . Por otro lado, una solución que no pueda obtenerse a partir
de la solución general se le llama solución singular.
Observación: notaremos que para una ecuación lineal de orden , la solución general tendrá
también parámetro, así la ecuación diferencial de segundo orden tiene
como solución general .
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
O
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Bajo condiciones iniciales ( ) ( ) también podemos obtener una solución
particular de la general. Sin embargo en algunas ecuaciones diferenciales
como tiene como solución general y para la solución particular
, pero ( ) { es una solución singular ya que no la podemos obtener
de la solución general.
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V. Ejercicios Propuestos
Ejercicios (1):
 Clasifique cada ecuación diferencial según su orden, grado y si es lineal o no. Señale la
función desconocida y la variable independiente.
1) 15  x
eyxy
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
 Lineal Sí No
2)   xCosyyxyx  541
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
 Lineal Sí No
3)
2
12 xyyy 
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
 Lineal Sí No
4) 122
2
2






ttytSen
dt
dy
t
dt
yd
t
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
 Lineal Sí No
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5) s
ds
dt
st
ds
td
s  2
2
2
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
 Lineal Sí No
6) 





 2
2
1
dx
yd
dx
dy
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
 Lineal Sí No
7) 12
2
2
 y
dy
xd
y
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
 Lineal Sí No
8)
 
034243
 yyxyxyx
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
 Lineal Sí No
9) 02
4
3
3






 y
dx
dy
dx
yd
x
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
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 Lineal Sí No
10)   01 2
 dyxdxy
 Orden: _____
 Grado: _____
 Función desconocida o variable dependiente: _____
 Variable independiente: _______
 Lineal Sí No (respecto a la variable y respecto a la variable )
Ejercicios (2):
 Aplicando el teorema de existencia y unicidad, determine la región donde las siguientes
ecuaciones diferenciales admiten solución única.
1) √
2) √
3)
4)
5)
6) √
7) √
8)
Ejercicios (3):
 Verificar en los siguientes ejercicios que las funciones o relaciones dadas son soluciones
de las ecuaciones diferenciales indicadas
1)
2)
3) √ ( )
4) ( )
5) ∫
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6) (∫ )
7) }
8)
9) Si √ demostrar que:
a) ( )
b) Si mostrar que .
c) Explicar porque es solución singular.
10) Si , demostrar que:
a) .
b) Explicar porque es solución singular.
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Módulo II
I. Definición: Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma :
( )
También podemos escribirla en su forma canónica, si consideramos
( )
( )
( )
Entonces
( )
( )
( ) ( )
En la resolución de este tipo de ecuaciones podemos apreciar varios métodos que se
asocian según el tipo de ecuación. Iniciaremos con el primer método denominado
“variable separable”.
1.1. Ecuaciones de variables separables
Definición: Una ecuación ( ) se dice de variables separables si,
( ) la podemos escribir de la forma ( ) ( ) ( ).
En efecto, si ( ) ( ) ( ) entonces ( ) ( )
( )
( ) y si consideramos la sustitución ( )
( )
entonces
( ) ( ) integrando ambos lados
∫ ( ) ∫ ( )
( ) ( ) si hacemos se tiene que:
( ) ( ) .
Ejemplo (1): Resuelva la ecuación
En efecto separamos las variables por la propiedad de los exponentes
, integrado en ambos lados
∫ ∫
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donde .
Ejemplo (2): Resolver la ecuación ( )
con valores ( )
Solución: separamos variable ( )
integrado en ambos lados
∫
( )
∫
determinando
( ) ( )
donde se obtiene
Finalmente la solución particular es: .
Ejercicios propuestos (1)
i. Resuelva las siguientes ecuaciones por separación de variable.
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1.2. Ecuaciones diferenciales Homogéneas
1.2.1. Funciones homogéneas.
Definición: una función ( ) se dice que es homogénea de grado si existe un
tal que ( ) ( )
Ejemplo (3) Determine si la función ( ) es homogénea y el grado de la
misma.
Solución: en efecto consideremos ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) entonces ( ) es homogénea de grado 2
Ejemplo (4) Determine si la función ( ) es homogénea y el grado de la
misma.
Solución:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Entonces ( ) no les homogénea.
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Definición: Una ecuación de la forma ( ) ( ) es homogénea si tanto
( ) ( ) son homogéneas del mismo grado. Es decir si:
( ) ( ) y ( ) ( )
Método de Solución
Dada la ecuación ( ) ( ) donde ( ) ( ) son funciones
homogéneas del mismo grado; mediante la sustitución (donde y son
nuevas variables dependientes), puede transformarse en una ecuación diferencial de variable
separable.
Demostración: Sea la ecuación ( ) ( ) donde ( ) ( ) son
funciones homogéneas del mismo grado, luego hacemos la sustitución
y derivamos con respecto a , además escribimos
nuestra ecuación en forma de cociente,
( )
( )
y sustituyendo
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
∫ ∫
( )
( ) ( )
Otro resultado se obtiene cuando hacemos la sustitución
∫ ∫
( )
( ) ( )
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Observación: Si la estructura algebraica de es más sencilla que la de , entonces es
conveniente usar la sustitución . Si es lo contrario usaremos la sustitución .
También podemos usar el resultado final de la formulación en algunas ocasiones, es decir la
expresión para la sustitución y respectivamente.
∫ ∫
( )
( ) ( )
∫ ∫
( )
( ) ( )
Ejemplo (5) Resolver la ecuación diferencial ( ) , con ( ) , usando
los dos métodos y compare su respuesta.
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Solución usando la fórmula: Como hacemos la sustitución
, entonces
∫ ∫
( )
( ) ( )
Donde ( ) y ( ) luego
( ) ( ) Remplazando
∫ ∫
( )
∫ ∫
( )
∫ ∫
∫ ∫
| | a
| | y para el valor inicial
Y la solución particular | |
Que resulta la respuesta anterior.
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Ejercicios propuestos (2): Resolver los siguientes ejercicios por el método de las homogéneas, ó
convertirla en homogéneas y resolver según sea el caso.
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1.3.Ecuaciones diferenciales Cuasihomogéneas
Estudiaremos las ecuaciones de la forma:
( ) ( )
1.3.1. Ecuaciones de la forma ( )
Para este tipo de ecuaciones haremos la sustitución para convertirla en
una ecuación diferencial de variable separable.
En efecto si , si despejamos a ( ), remplazamos:
( ) ( )
( )
( )
∫
( )
∫
∫
( )
Ejemplo (6): Resolver la ecuación diferencial ( )
Solución: consideremos la sustitución entonces su derivada con respecto a es:
( )
∫ ∫
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∫
( )( )
∫ [ ]
Para el valor de A, tenemos y para el valor de B en forma
análoga por tanto:
∫ ∫
∫ ∫
[ ∫ ∫ ]
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
( )
( )
( )
( )
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Ejercicios propuestos (3): Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando la
sustitución adecuada. ∫ ( )
Ejercicio (1) ( )
Ejercicio (2) ( )
Ejercicio (3) √
Ejercicio (4)
Ejercicio (5) ( )
Ejercicio (6)
Ejercicio (7) ( ) ( )
Ejercicio (8) ( )
1.3.2. Ecuaciones de la forma: ( )
Para esta ecuación estudiaremos dos casos.
I. caso: Si
Entonces sus pendientes son iguales esto es si :
entonces:
( ) ( ) (
[ ]
)
Por lo tanto podemos usar la sustitución y procedemos de la misma forma del
caso 1.3.1. , es decir ( ) entonces
( ) ( )
∫
( )
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II. caso: Si .
Supongamos que su intersección es el punto ( ), entonces con la sustitución
(una traslación al origen), nuestra ecuación se transforma en una
ecuación diferencial homogénea.
En efecto, derivando y sustituyendo en ( )
(
( ) ( )
( ) ( )
) (
( )
( )
)
Podemos comprobar fácilmente que ( ) ( ) , de esto resulta:
( )
Que es una ecuación diferencial homogénea de primer orden.
Ejemplo (7): Resolver la ecuación diferencial ( ) ( )
Solución: en primer lugar determinemos los valores de y resolviendo el sistema lineal,
{
Luego hacemos la sustitución la cual nos transforma nuestra ecuación
en:
( ) ( )
Claramente es una ecuación diferencial homogénea de grado 1, para la solución usaremos la
forma simplificada, es decir hacemos la sustitución , lo que conduce a la formulación:
∫ ∫
( )
( ) ( )
*Recordemos hemos transformado nuestra ecuación en homogénea para las variables
e , por lo tanto debemos considerar al final en retomar las variables e .
Por otro lado tenemos que
( ) ( ) ( ) ( )
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∫ ∫
( )
| | ∫
| | ∫
| | ∫ ∫
| | ∫ ∫
Integrando por sustitución en ambos casos
[ √ ]
| |
√
∫ ∫
| |
√
( )
| | √
(√ ) ( ) ; remplazando por
| | √ (√ ) ( ) ; multiplicando por 2
| | √ (√ ) ( )
| | √ (√ ) ( )
* ( )+ √ (√ )
( ) √ (√ )
[( ) ( ) ] √ (√ )
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Ejercicios propuestos (4): Resolver los siguientes ejercicios por el método de las
cuasihomogéneas.
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1.4. Ecuaciones diferenciales Exactas:
Concepto de exactitud
Si ( ) entonces
es la diferencial total de y ; pero si consideramos ( ) (la familia de curvas
uniparamétricas en el plano ), entonces
Definición: La forma diferencial ( ) ( ) es una diferencial exacta en una
región R del plano , si corresponde a la diferencial total de alguna función ( ).
La ecuación ( ) ( ) , es exacta si es la diferencial total de alguna función
( ) .
Teorema: (Criterio para ecuaciones diferenciales exactas)
Si ( ) ( ) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas
en una región R del plano XY, entonces la condición necesaria y suficiente para que la
forma diferencial
( ) ( )
sea un diferencial exacta es que:
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Demostración:
En efecto, como ( ) ( ) es una diferencial exacta, entonces existe una
función ( ) tal que:
( ) ( ) ( )
luego, igualando términos
( ) ( )
Si derivamos en ambos lados una de las expresiones, por ejemplo ( )
( ) ( )
La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque son continuas con
respecto a las derivadas de primer orden.
Método de Solucion de las ecuaciones diferenciales exactas
i. Comprobaremos en primer lugar que:
ii. Esto implica que existe una función ( ) tal que
( ) ( )
iii. Consideremos una de las dos expresiones para determinar nuestra función
( ) , integrando respecto a ó bien respecto a según sea la igualdad que
escojamos. Usemos la primera para determinar la función ( )
( )
∫ ∫
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( ) ∫ ( ) ( )
iv. Derivamos con respecto a
∫ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ∫ ( ) )
v. Finalmente integramos con respecto a
Ejemplo (8): Resolver la siguiente ecuación diferencial
( ) ( )
Solución: verifiquemos la condición de exactitud
Entonces existe una función ( ) tal que:
( ) ( )
( ) ∫ ( ) ( ) ∫( ) ( )
( ) ∫ ∫ ( ) ( )
( ) ( )
Luego para determinar la función ( ) , derivamos con respecto a e igualamos a la función
( )
( )
( )
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De esto tenemos que:
( )
Integrando:
( ) ∫
Finalmente remplazamos y sumamos las constantes
( )
Ejemplo (9) Determine el valor de para que la ecuación diferencial
( ) ( ) sea exacta y resuelva dicha ecuación.
Solución: para que sea exacta debe cumplir,
( ) ( )
Comprobemos al resolver ( ) ( )
( ) ∫( ) ( ) ∫ ∫ ( )
( ) ( )
Derivando la función respecto a
( )
( )
( ) ( )
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( )
Ejercicios propuestos (5): Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de las
exactas.
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1.5. Factor Integrante:
En ocasiones las ecuaciones diferenciales ( ) ( ) no son exactas, pero
podemos multiplicarla por una función ( ) de forma tal que se transforma en exacta.
A esta función la denominamos “factor integrante”
Teorema
Sea ( ) ( ) y ( ) un factor integrante, con ( ) ( )
y ( ) continuas y con primeras derivadas parciales continuas, entonces
[ ]
Demostración
Sea ( ) tal que es exacta y tienen primeras derivadas
parciales continuas, entonces:
( ) ( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
( )
[ ] [ ]
Ahora si consideramos determinar la función ( ), cuando depende solo de la variable
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[ ]
[ ]
∫ ∫
[ ]
∫
[ ]
( ) ∫
( )
En forma análoga obtenemos para cuando solo dependen de la variable
[ ]
( ) ∫
( )
Ejemplo (10) Resuelva la siguiente ecuación diferencial por factor integrante.
( ) ( )
Solución:
( ) ( )
no es exacta
( ) ( )
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( ) ∫
( )
∫
( )
( )
∫
( )
( )
( )
∫
Luego multiplicamos por este factor nuestra ecuación
( ) ( )
( ) ( )
Verificamos su exactitud
( ) ( )
( ) ∫( ) ( )
( ) ∫ ∫ ( )
( ) ( )
Derivando respecto a
( ) ( )
De esto tenemos que ( ) ( ) y finalmente
( )
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Ejercicios propuestos (6):
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1.6.Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Definición Una ecuación de la forma ( ) ( ) ( ) se dice lineal de primer orden,
donde , son funciones de la variable independiente.
Esta ecuación puede presentarse también en forma estándar como:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Factor integrante para las ecuaciones lineales de primer orden
Consideremos la ecuación ( ) ( ) y la escribimos de la forma
( ) ( ) , es decir:
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( )] , calculemos el factor integrante
( )
( ) ∫
( )
∫ ( )
( )
Multiplicando por este factor nuestra ecuación original
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Notemos que el miembro izquierdo es la derivada del producto de la variable por el factor
integrante ( ).
∫ ( ) ∫ ( ) ( )
⏞
( ∫ ( )
)
∫ ( ) ( )
( ∫ ( )
) ∫ ( ) ( )
( ∫ ( )
) ∫ ( ) ( )
Integrando en ambos lados
Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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∫ ( ∫ ( )
) ∫ ∫ ( ) ( )
∫ ( )
∫ ∫ ( ) ( )
Es la solución general de las ecuaciones lineales respecto a la variable , pero pueden ser
también dadas con respecto a la variable , es decir
∫ ( )
∫ ∫ ( ) ( )
Ejemplo (11) Resuelva la siguiente ecuación diferencial lineal
( )
Solución: llevemos a la ecuación en su forma estándar es decir ( )
notemos que no
es lineal con respecto a la variable , pero si con respecto a la variable
( ) ( )
Entonces ∫ ( )
∫ ∫ ( ) ( )
∫
∫
∫
( ) +c
∫ ( )
∫ ( )
∫
( )
Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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( )
que es la solución general.
Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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Ejercicios propuestos (7): resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
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1.7. Ecuaciones diferenciales de Bernoullí
Definición: Una ecuación de la forma ( ) ( ) , se le llama una
ecuación diferencial de Bernoullí. (no es lineal)
Esta ecuación con la sustitución se transforma a una ecuación diferencial línea.
Teorema: Dada la ecuación ( ) ( ) entonces la solución de la
ecuación diferencial de Bernoullí es:
( ) ( ) ∫ ( ) ( )∫ ( ) ( ) ∫ ( )
Demostración:
Sea ( ) ( ) y hagamos la sustitución
( )
Conjuntamente con la derivación con respecto a
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Esta es una ecuación lineal con variable dependiente , con esto usamos la solución de las
ecuaciones diferenciales lineales expuesta anteriormente
Tenemos que:
( ) ∫ ( ) ( )∫ ( ) ( ) ∫ ( )
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Y como ( )
remplazamos
( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( )
Que es lo que deseamos demostrar.
Observación: para la ecuaciones de Bernoullí al igual que las lineales, existe relatividad con
respecto a las variables e , es decir puede ser Bernoullí respecto a
( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( )
( )
Ejemplo (12) Resolver la ecuación diferencial ( )
Notemos que esta no es Bernoullí con respecto a , sin embargo si lo es respecto a
Ordenando
( )
Observemos que ( ) ( ) y remplazamos en (*)
( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
Integrando por parte la expresión derecha, tomando
∫
∫ [ ∫ ]
Finalmente tenemos
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Ejercicios propuestos (8): Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoullí
Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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1.8. Ecuaciones de Ricatti
Definición: Una ecuación de la forma ( ) ( ) ( ) se llama ecuación de
Ricatti. En la solución de esta ecuación se supone una solución particular conocida y se
hace la sustitución la cual transforma la ecuación en una lineal respecto a .
Demostración:
Sea ( ) ( ) ( ) y una solución particular de esta ecuación, por tanto
se tiene que la satisface, es decir:
= ( ) ( ) ( )
Derivamos remplazamos en la ecuación
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ( ) ( )⏞ ] ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ( ) ( )] ( )
Cuya solución la podemos obtener de las formas lineales anteriores, es decir
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∫( ( ) ( ))
∫ ( ) ∫( ( ) ( ))
(**)
con
Ejemplo (13) Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Ricatti
Es claro que ( ) ( ) ( ) , remplazamos en (**)
∫( )
∫ ∫( )
∫
∫ ∫
∫
( )
( )
Ejercicios propuestos (9)
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti, utilizando la solución particular
indicada.
1) ∫
2) ( )
3)
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1.9.Ecuaciones de Lagrange
La ecuación de Lagrange tiene la forma ( ) ( )
Haciendo , diferenciando y sustituyendo por , reducimos esta ecuación a otra que
considerada en como función de es lineal. Resolviendo esta última ( ) , obtenemos
la solución general de la ecuación inicial en forma paramétrica:
( )
( ) ( ) ( )
} ( es un parámetro)
Además la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma ( )
( ) donde es una raíz de la ecuación ( ).
Ejemplo (14): Resolver:
Solución:
Sea , entonces
Luego derivamos respecto a y agrupando términos
- −
es lineal
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∫
∫
∫
∫
Entonces la solución e:
}
1.10. Ecuaciones de Clairaut
El método de resolución es el mismo que para las ecuaciones de Lagrange. La solución general
de la ecuación de Clairaut tiene la forma:
( )
Esta puede tener también solución singular, que se obtiene eliminando entre las ecuaciones.
( )
( )
}
Ejemplo (15): Resolver: ( )
Solución: Haciendo entonces
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( )
Para
Para
eliminando el parámetro entre las dos ecuaciones
{
Esta es también una solución de la ecuación considerada singular. Geométricamente la
parábola obtenida es la envolvente del haz de rectas
Familia de curvas (sol. General)
Envolvente (sol. Singular)
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Ejercicios propuestos (10): Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
1)
R: {
2)
R: {
3) ( ) ( )
R: {
( )
[ ( ) ]( )
4)
R: {
5) ( )
R: {
( )
( )
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1.11. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden.
1.11.1. Trayectorias Isogonales y ortogonales:
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Gráficamente:
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Ejercicios propuestos (11)
Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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1.11.2. Problemas de Persecución
Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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Ejercicios propuestos (12)
Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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1.11.3. Aplicaciones a la Geometría Analítica
Ejercicios propuestos (13)
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1.11.4. Ley de enfriamiento de Newton
1.11.5. Ley de Absorción de Lamber
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Ejercicios misceláneos
1) Un objeto de masa de 100g se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra 60
cm. arriba de la superficie terrestre con una velocidad inicial de 150m/s. El objeto asciende
brevemente y después cae verticalmente hacia la Tierra, durante todo el tiempo actúa sobre ella la
resistencia del aire que es numéricamente igual a 200v (en dinas). Donde v es la velocidad en m/s.
a. Calcule la velocidad 0.1 segundo después, de que el objeto se lanza.
b. Calcule la velocidad 0.1 segundo después de que el objeto se detiene en su ascenso y
empieza su caída.
i. R: ( ) y ( )
ii. R:
( )
; ( )
2) El peso combinado de un paracaidista y su paracaídas es W. El paracaidista cae desde el reposo,
verticalmente hacia abajo. Asumiendo que el paracaídas está abierto cuando el salto ocurre y que
sobre él actúa una fuerza debida a la resistencia del aire, la cual es proporcional a la velocidad en
cualquier instante durante la caída, encuentre la velocidad y posición del paracaidista en función del
tiempo. ¿Cuál es la velocidad máxima que puede alcanzar el paracaidista?
i. R: ( ) [ ] y ( ) * +
ii. R: velocidad máxima o velocidad limite ( )
3) La tasa de crecimiento de una población es proporcional, en el tiempo, a la cantidad de habitantes
que está presente.
a. La población de una pequeña ciudad crece en un instante cualquiera, con una rapidez
proporcional a la cantidad de habitantes presente en dicho instante. Si la población inicial es
de 500 habitantes y si ésta aumenta en un 15% en 10 años, determine:
i. La población dentro de 30 años R: 760 habitantes
ii. El intervalo de tiempo que debe transcurrir para que la población aumente en un 60%.
R:
4) En cualquier momento dado, la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a
las bacterias presentes. Al cabo de 3 horas se observa que hay 400 individuos. Si pasadas 10 horas,
hay 2000 especímenes, ¿cuál era la cantidad inicial de bacterias? R: especímenes
5) Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene1libra de sal. Otra
solución salina que contiene 1 libra de sal por galón, se agrega al tanque a razón de 3 gal/min. Si la
mezcla sale a la misma tasa, hallar: (a) la cantidad de sal en el tanque como función del tiempo, (b)
el momento en el cual la mezcla que está en el tanque contiene 2 libras de sal.
R.1 (a) ( ) ;
R.2 (b) La mezcla que está en el tanque tendrá 2 lb de sal en aproximadamente 0.34 min
Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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6) Un tanque contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Una solución de agua salada que contiene
½ libra de sal por galón, se vierte en el tanque a una tasa de 2 gal/min. Si la solución mezclada sale a
la misma tasa, hallar la cantidad y la concentración de sal que hay en el tanque en cualquier instante.
R.3 ( ) ⌊ ⌋ Cantidad de sal en función del tiempo;
R.4 ( ) ⌊ ⌋ Concentración de sal
7) Un depósito cilíndrico con capacidad para 200 galones, contiene 100 galones con 100 libras de sal
disuelta. Hacia el depósito fluye agua salada que contiene 2 libras de sal por galón a razón de 4
gal/min y la mezcla fluye hacia afuera a razón de 3 gal/min. Determine la cantidad de sal que
contiene el depósito cuando se llene y su concentración en ese mismo instante.
R.5 Cuando el depósito está lleno, contiene 387.5 lb de sal y una concentración
aproximada de 1.94 lb de sal por galón.
(Nota: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )
8) Un depósito de tiene 40 galones de agua pura. Una solución de agua azucarada con 1 libra de azúcar
por galón entra a 2 gal/min y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. (a) ¿Cuánta azúcar hay en
el tanque en cualquier tiempo? (b) ¿Cuándo el agua que sale tendrá ½ libra de azúcar por galón?
R.6 (a) Cantidad de azúcar en función del tiempo: ( ) ⌊ ⌋
R.7 (b) El agua de salida tendrá la concentración de azúcar de ½ libra por galón,
aproximadamente en 13.86 min.
9) La temperatura máxima que puede leerse en cierto termómetro es de 110 ºF. Cuando el termómetro
marca 36 ºF, se coloca en un horno. Se observa que, después de 1 y 2 minutos, el termómetro marca
60 ºF y 82 ºF, respectivamente. ¿Cuál es la temperatura del horno?
R.8 La temperatura del horno (temperatura del medio ambiente) es de 324 ºF.
R.9 ( )
10) Un capacitor de faradios está en serie con una resistencia de 25 ohmios y una fem de
( ) voltios. El interruptor se cierra en t = 0. Asumiendo que la carga inicial en el capacitor es
cero, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.
R.10 ( ) [ ( ) ( ) ]
R.11 ( ) [ ( ) ( ) ]
11) Un resistor de 20 Ω está conectado en serie con un condensador de 0.01 faradios y una fem dada por
( ) voltios. Si ( ) Determine la carga máxima en el condensador.
i. R: ( )
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12) Una tensión ( ) , se aplica a un circuito RL, en el que la inductancia es de
20 henrios y al resistencia es de 2 ohmios. Determine la corriente en cualquier instante sabiendo que
la corriente inicial es cero.
i. R: ( ) [ ] ( )
13) Un capacitor de faradios está en serie con una resistencia de 25 ohmios y una fen de 50
voltios. El interruptor se cierra en . Asumiendo que la carga inicial en el capacitor es cero,
determine:
i. La carga y la corriente en cualquier instante R: ( ) [ ] y ( )
ii. La carga transitoria y estacionaria R: ( )
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Profesor: Edis Alberto Flores Página 62 de 62
BIBLIOGRAFÍA
1. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones con modelado. (Texto recomendado)
 Dennis G. Zill, Editorial: Thomson
2. Ecuaciones Diferenciales aplicadas.
 Murray R. Spiegel, Editorial: Prentice / Hall Internacional (P.H.I)
3. Ecuaciones Diferenciales Modernas.
 Richard Bronson, Editorial: MCGraw – Hill
4. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
 A. Kiseliov
 M. Krasnov
 G. Makarenko, Editorial: Mir (Moscú)

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  • 1. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 1 de 62 UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS MÓDULO I y II “CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES” DOCENTE EDIS ALBERTO FLORES ENERO 2013
  • 2. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 2 de 62 ÍNDICE Introducción 3 Definiciones y Conceptos 4 Solución de una Ecuación diferencial 6 Problema de valor inicial 8 Clases de soluciones de una ecuación diferencial 9 Ejercicios propuestos 10 Ecuaciones de variables separables 15 Ecuaciones diferenciales Homogéneas 17 Ecuaciones diferenciales Cuasi homogéneas 22 Ecuaciones diferenciales Exactas 28 Factor de integración 34 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 38 Ecuaciones diferenciales de Bernoullí 42 Ecuaciones diferenciales de Ricatti 45 Ecuaciones diferenciales de Lagrange 47 Ecuaciones diferenciales de Clairaut 48 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de 1er orden 51 Ejercicios Misceláneos 59 Bibliografía 61
  • 3. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 3 de 62 Introducción La comprensión de la naturaleza y sus fenómenos necesita del auxilio de las matemáticas, y las Ecuaciones Diferenciales constituye una herramienta esencial para matemáticos, físicos, ingenieros y demás técnicos y científicos, pues, sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc. En una primera parte (módulo I) estudiaremos los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales como introducción al curso de E.D.O. En esta etapa iniciamos, las definiciones de las ecuaciones diferenciales, los tipos de ecuaciones diferenciales, el orden, grado, forma de las ecuaciones lineales, las soluciones y el teorema de Picard (existencia y unicidad). En una segunda parte (módulo II) estudiaremos la resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden como herramienta en las aplicaciones de modelados matemáticos en diferentes áreas de la física y matemática. En esta segunda parte continuamos con las diferentes definiciones de las ecuaciones diferenciales y las sustituciones para la su resolución de estas, contemplando inicialmente las ecuaciones de variables separables, homogéneas, cuasihomogéneas, exactas, factor integrante, lineales, Bernoullí, Ricatti, Clairaut y las aplicaciones de las mismas.
  • 4. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 4 de 62 Módulo I I. Definiciones y Conceptos I.1. Definición: Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. I.2. Definición: Si la ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces la ecuación se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O).  Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias: 1) 2) 3) ( ) ( ) 4) 5) I.3. Definición: Si la ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variable independiente, entonces la ecuación se dice que es una ecuación en derivadas parciales.  Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales: 1) 2) 3) 4) 5) I.4. Definición (orden): El orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden en la ecuación, por ejemplo en las ecuaciones siguientes 1) ; es de primer orden ya que su mayor derivada es de primer orden 2) ; es de segundo orden ya que su mayor derivada es de segundo orden 3) ; es de segundo orden 4) ; es de tercer orden. 5) ( ) ; es de cuarto orden.
  • 5. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 5 de 62 6) ( ) ( ) ; es de primer orden. I.5. Definición (Grado): El grado de una ecuación diferencial es el exponente que abarca el término del orden de la ecuación diferencial. En los siguientes ejemplos observemos el orden y el grado de las ecuaciones. 1) es de primer orden y primer grado. 2) ( ) es de primer orden y de tercer grado. 3) ( ) ( ) es de segundo orden y de tercer grado. 4) ( ) ( ) ( ) es de tercer orden y de segundo grado. I.6. Definición (E.D.O Lineal): Una ecuación diferencial ordinaria se dice que es lineal si tiene la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Donde los ( ) y ( ) son funciones de la variable independiente y la variable dependiente y sus derivadas son de grado uno. Si no cumple con estas condiciones entonces se dicen no lineales. Ejemplos: 1) es lineal de primer orden 2) ( ) no es lineal, pues es de grado 3 3) es lineal de tercer orden 4) no es lineal, el coeficiente es de la variable dependiente. 5) no es lineal, la función ( ) es de variable 6) ( ) no es lineal una derivada es de gado 4 7) ( ) no es lineal con respecto a la variable , pero si es lineal con respecto a la variable .
  • 6. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 6 de 62 II. Solución de una E.D.O: Se dice que una función con dominio en un intervalo es solución a una ecuación diferencial en el intervalo , si la función satisface la ecuación diferencial en el intervalo . Ejemplo (1): Demostrar que la familia de funciones es solución de la ecuación En efecto, derivando dos veces luego remplazamos esta expresión en la ecuación ( ) lo cual prueba que es solución. Ejemplo (2): Demostrar que ( ) es solución de ( ) Derivamos implícitamente la relación: luego despejamos y remplazamos en el miembro derecho de la ecuación diferencial, esto es ( ) ( ) simplificando las expresiones y factorizando ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) que es ( ) lo cual muestra una equivalencia y satisface nuestra igualdad. Ejemplo (3): Demostrar que ( ) es solución de ( ) Derivando implícitamente, ( ) * + simplificamos ( ) ( ( ) ) ( ) ; luego remplazamos en la ecuación diferencial ( ) ( ) ( ) ; además ( ), entonces
  • 7. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 7 de 62 ( ) ( ( ) ) ; factorizando por ( ) ( ( ) ) Por lo tanto verifica la igualdad y es entonces solución de la ecuación diferencial. Ejemplo (4): Demostrar que ∫ es solución de En efecto derivando la expresión y aplicamos el teorema fundamental del calculo, ∫ ( ) ∫ Remplazamos en la ecuación ∫ [ ∫ ] ∫ ∫ Lo cual completa la verificación deseada.
  • 8. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 8 de 62 III. Problema de valor inicial. Una ecuación diferencial acompañada de unas condiciones iniciales se le llama un problema de valor inicial, con frecuencia es importante saber si un problema de valor inicial tiene solución y también deseamos saber si esta solución es única, aunque no podamos conseguir explícitamente la solución, el siguiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear. Teorema de Picard (1.1) Sea una región rectangular en el plano definida por , que contiene al punto ( ) en su interior. Si ( ) y son continuas en , entonces existe un intervalo con centro en y una única función ( ) definida en que satisface el problema de valor inicial ( ) ( ) . Ejemplo (5): Para la ecuación diferencial , se tiene que ( ) y son continuas en todo el plano , por lo tanto por cualquier punto ( ) del plano pasa una y solo una solución de la ecuación diferencial anterior. Es importante anotar que para esta ecuación diferencial es imposible hallar una solución explicita o analítica, solo con métodos numéricos se puede hallar la solución. Ejemplo (6): Para la ecuación diferencial consideremos ( ) y notemos que para el intervalo ( )del eje la función ( ) y su derivada parcial no es continua en este intervalo. Notemos que la solución √ ( ) solo pasa por un solo punto de para cada curva.
  • 9. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 9 de 62 Ejemplo (7): Para la ecuación diferencial , consideremos la función ( ) y su derivada parcial son continuas con respecto a e en todos los puntos del plano . Según el teorema de existencia y unicidad, la región R en que la ecuación dada tiene solución única es todo el plano . Ejemplo (8): Para la ecuación diferencial √ , consideramos la función ( ) √ es una función definida y continua en todo los puntos del plano . La derivada parcial √ no esta definida para , es decir sobre la región infringe la condición. Por siguiente es posible que no haya unicidad en los puntos del eje . Es fácil comprobar que ( ) es solución de la ecuación y además es solución trivial de esta. Luego notemos que existen al menos dos soluciones e infringen la unicidad. IV. Clases de Soluciones de una Ecuación diferencial Si todas las soluciones de la ecuación diferencial ( ( ) ) en un intervalo pueden obtenerse de ( ), con (parámetros), mediante valores apropiados de , entonces a ( ) se le llama la solución general. Si la solución no contiene los parámetros se le llama la solución particular, es decir que la solución particular es generada por valores de los parámetros . Por otro lado, una solución que no pueda obtenerse a partir de la solución general se le llama solución singular. Observación: notaremos que para una ecuación lineal de orden , la solución general tendrá también parámetro, así la ecuación diferencial de segundo orden tiene como solución general . x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y O
  • 10. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 10 de 62 Bajo condiciones iniciales ( ) ( ) también podemos obtener una solución particular de la general. Sin embargo en algunas ecuaciones diferenciales como tiene como solución general y para la solución particular , pero ( ) { es una solución singular ya que no la podemos obtener de la solución general.
  • 11. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 11 de 62 V. Ejercicios Propuestos Ejercicios (1):  Clasifique cada ecuación diferencial según su orden, grado y si es lineal o no. Señale la función desconocida y la variable independiente. 1) 15  x eyxy  Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______  Lineal Sí No 2)   xCosyyxyx  541  Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______  Lineal Sí No 3) 2 12 xyyy   Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______  Lineal Sí No 4) 122 2 2       ttytSen dt dy t dt yd t  Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______  Lineal Sí No
  • 12. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 12 de 62 5) s ds dt st ds td s  2 2 2  Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______  Lineal Sí No 6)        2 2 1 dx yd dx dy  Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______  Lineal Sí No 7) 12 2 2  y dy xd y  Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______  Lineal Sí No 8)   034243  yyxyxyx  Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______  Lineal Sí No 9) 02 4 3 3        y dx dy dx yd x  Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______
  • 13. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 13 de 62  Lineal Sí No 10)   01 2  dyxdxy  Orden: _____  Grado: _____  Función desconocida o variable dependiente: _____  Variable independiente: _______  Lineal Sí No (respecto a la variable y respecto a la variable ) Ejercicios (2):  Aplicando el teorema de existencia y unicidad, determine la región donde las siguientes ecuaciones diferenciales admiten solución única. 1) √ 2) √ 3) 4) 5) 6) √ 7) √ 8) Ejercicios (3):  Verificar en los siguientes ejercicios que las funciones o relaciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas 1) 2) 3) √ ( ) 4) ( ) 5) ∫
  • 14. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 14 de 62 6) (∫ ) 7) } 8) 9) Si √ demostrar que: a) ( ) b) Si mostrar que . c) Explicar porque es solución singular. 10) Si , demostrar que: a) . b) Explicar porque es solución singular.
  • 15. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 15 de 62 Módulo II I. Definición: Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma : ( ) También podemos escribirla en su forma canónica, si consideramos ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) En la resolución de este tipo de ecuaciones podemos apreciar varios métodos que se asocian según el tipo de ecuación. Iniciaremos con el primer método denominado “variable separable”. 1.1. Ecuaciones de variables separables Definición: Una ecuación ( ) se dice de variables separables si, ( ) la podemos escribir de la forma ( ) ( ) ( ). En efecto, si ( ) ( ) ( ) entonces ( ) ( ) ( ) ( ) y si consideramos la sustitución ( ) ( ) entonces ( ) ( ) integrando ambos lados ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) si hacemos se tiene que: ( ) ( ) . Ejemplo (1): Resuelva la ecuación En efecto separamos las variables por la propiedad de los exponentes , integrado en ambos lados ∫ ∫
  • 16. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 16 de 62 donde . Ejemplo (2): Resolver la ecuación ( ) con valores ( ) Solución: separamos variable ( ) integrado en ambos lados ∫ ( ) ∫ determinando ( ) ( ) donde se obtiene Finalmente la solución particular es: . Ejercicios propuestos (1) i. Resuelva las siguientes ecuaciones por separación de variable.
  • 17. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 17 de 62 1.2. Ecuaciones diferenciales Homogéneas 1.2.1. Funciones homogéneas. Definición: una función ( ) se dice que es homogénea de grado si existe un tal que ( ) ( ) Ejemplo (3) Determine si la función ( ) es homogénea y el grado de la misma. Solución: en efecto consideremos ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) entonces ( ) es homogénea de grado 2 Ejemplo (4) Determine si la función ( ) es homogénea y el grado de la misma. Solución: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Entonces ( ) no les homogénea.
  • 18. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 18 de 62 Definición: Una ecuación de la forma ( ) ( ) es homogénea si tanto ( ) ( ) son homogéneas del mismo grado. Es decir si: ( ) ( ) y ( ) ( ) Método de Solución Dada la ecuación ( ) ( ) donde ( ) ( ) son funciones homogéneas del mismo grado; mediante la sustitución (donde y son nuevas variables dependientes), puede transformarse en una ecuación diferencial de variable separable. Demostración: Sea la ecuación ( ) ( ) donde ( ) ( ) son funciones homogéneas del mismo grado, luego hacemos la sustitución y derivamos con respecto a , además escribimos nuestra ecuación en forma de cociente, ( ) ( ) y sustituyendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) Otro resultado se obtiene cuando hacemos la sustitución ∫ ∫ ( ) ( ) ( )
  • 19. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 19 de 62 Observación: Si la estructura algebraica de es más sencilla que la de , entonces es conveniente usar la sustitución . Si es lo contrario usaremos la sustitución . También podemos usar el resultado final de la formulación en algunas ocasiones, es decir la expresión para la sustitución y respectivamente. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) Ejemplo (5) Resolver la ecuación diferencial ( ) , con ( ) , usando los dos métodos y compare su respuesta.
  • 20. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 20 de 62 Solución usando la fórmula: Como hacemos la sustitución , entonces ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) Donde ( ) y ( ) luego ( ) ( ) Remplazando ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ | | a | | y para el valor inicial Y la solución particular | | Que resulta la respuesta anterior.
  • 21. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 21 de 62 Ejercicios propuestos (2): Resolver los siguientes ejercicios por el método de las homogéneas, ó convertirla en homogéneas y resolver según sea el caso.
  • 22. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 22 de 62 1.3.Ecuaciones diferenciales Cuasihomogéneas Estudiaremos las ecuaciones de la forma: ( ) ( ) 1.3.1. Ecuaciones de la forma ( ) Para este tipo de ecuaciones haremos la sustitución para convertirla en una ecuación diferencial de variable separable. En efecto si , si despejamos a ( ), remplazamos: ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) Ejemplo (6): Resolver la ecuación diferencial ( ) Solución: consideremos la sustitución entonces su derivada con respecto a es: ( ) ∫ ∫
  • 23. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 23 de 62 ∫ ( )( ) ∫ [ ] Para el valor de A, tenemos y para el valor de B en forma análoga por tanto: ∫ ∫ ∫ ∫ [ ∫ ∫ ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
  • 24. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 24 de 62 Ejercicios propuestos (3): Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando la sustitución adecuada. ∫ ( ) Ejercicio (1) ( ) Ejercicio (2) ( ) Ejercicio (3) √ Ejercicio (4) Ejercicio (5) ( ) Ejercicio (6) Ejercicio (7) ( ) ( ) Ejercicio (8) ( ) 1.3.2. Ecuaciones de la forma: ( ) Para esta ecuación estudiaremos dos casos. I. caso: Si Entonces sus pendientes son iguales esto es si : entonces: ( ) ( ) ( [ ] ) Por lo tanto podemos usar la sustitución y procedemos de la misma forma del caso 1.3.1. , es decir ( ) entonces ( ) ( ) ∫ ( )
  • 25. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 25 de 62 II. caso: Si . Supongamos que su intersección es el punto ( ), entonces con la sustitución (una traslación al origen), nuestra ecuación se transforma en una ecuación diferencial homogénea. En efecto, derivando y sustituyendo en ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) Podemos comprobar fácilmente que ( ) ( ) , de esto resulta: ( ) Que es una ecuación diferencial homogénea de primer orden. Ejemplo (7): Resolver la ecuación diferencial ( ) ( ) Solución: en primer lugar determinemos los valores de y resolviendo el sistema lineal, { Luego hacemos la sustitución la cual nos transforma nuestra ecuación en: ( ) ( ) Claramente es una ecuación diferencial homogénea de grado 1, para la solución usaremos la forma simplificada, es decir hacemos la sustitución , lo que conduce a la formulación: ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) *Recordemos hemos transformado nuestra ecuación en homogénea para las variables e , por lo tanto debemos considerar al final en retomar las variables e . Por otro lado tenemos que ( ) ( ) ( ) ( )
  • 26. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 26 de 62 ∫ ∫ ( ) | | ∫ | | ∫ | | ∫ ∫ | | ∫ ∫ Integrando por sustitución en ambos casos [ √ ] | | √ ∫ ∫ | | √ ( ) | | √ (√ ) ( ) ; remplazando por | | √ (√ ) ( ) ; multiplicando por 2 | | √ (√ ) ( ) | | √ (√ ) ( ) * ( )+ √ (√ ) ( ) √ (√ ) [( ) ( ) ] √ (√ )
  • 27. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 27 de 62 Ejercicios propuestos (4): Resolver los siguientes ejercicios por el método de las cuasihomogéneas.
  • 28. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 28 de 62 1.4. Ecuaciones diferenciales Exactas: Concepto de exactitud Si ( ) entonces es la diferencial total de y ; pero si consideramos ( ) (la familia de curvas uniparamétricas en el plano ), entonces Definición: La forma diferencial ( ) ( ) es una diferencial exacta en una región R del plano , si corresponde a la diferencial total de alguna función ( ). La ecuación ( ) ( ) , es exacta si es la diferencial total de alguna función ( ) . Teorema: (Criterio para ecuaciones diferenciales exactas) Si ( ) ( ) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región R del plano XY, entonces la condición necesaria y suficiente para que la forma diferencial ( ) ( ) sea un diferencial exacta es que:
  • 29. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 29 de 62 Demostración: En efecto, como ( ) ( ) es una diferencial exacta, entonces existe una función ( ) tal que: ( ) ( ) ( ) luego, igualando términos ( ) ( ) Si derivamos en ambos lados una de las expresiones, por ejemplo ( ) ( ) ( ) La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque son continuas con respecto a las derivadas de primer orden. Método de Solucion de las ecuaciones diferenciales exactas i. Comprobaremos en primer lugar que: ii. Esto implica que existe una función ( ) tal que ( ) ( ) iii. Consideremos una de las dos expresiones para determinar nuestra función ( ) , integrando respecto a ó bien respecto a según sea la igualdad que escojamos. Usemos la primera para determinar la función ( ) ( ) ∫ ∫
  • 30. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 30 de 62 ( ) ∫ ( ) ( ) iv. Derivamos con respecto a ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ) v. Finalmente integramos con respecto a Ejemplo (8): Resolver la siguiente ecuación diferencial ( ) ( ) Solución: verifiquemos la condición de exactitud Entonces existe una función ( ) tal que: ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) Luego para determinar la función ( ) , derivamos con respecto a e igualamos a la función ( ) ( ) ( )
  • 31. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 31 de 62 De esto tenemos que: ( ) Integrando: ( ) ∫ Finalmente remplazamos y sumamos las constantes ( ) Ejemplo (9) Determine el valor de para que la ecuación diferencial ( ) ( ) sea exacta y resuelva dicha ecuación. Solución: para que sea exacta debe cumplir, ( ) ( ) Comprobemos al resolver ( ) ( ) ( ) ∫( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) Derivando la función respecto a ( ) ( ) ( ) ( )
  • 32. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 32 de 62 ( ) Ejercicios propuestos (5): Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de las exactas.
  • 33. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 33 de 62
  • 34. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 34 de 62 1.5. Factor Integrante: En ocasiones las ecuaciones diferenciales ( ) ( ) no son exactas, pero podemos multiplicarla por una función ( ) de forma tal que se transforma en exacta. A esta función la denominamos “factor integrante” Teorema Sea ( ) ( ) y ( ) un factor integrante, con ( ) ( ) y ( ) continuas y con primeras derivadas parciales continuas, entonces [ ] Demostración Sea ( ) tal que es exacta y tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces: ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] Ahora si consideramos determinar la función ( ), cuando depende solo de la variable
  • 35. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 35 de 62 [ ] [ ] ∫ ∫ [ ] ∫ [ ] ( ) ∫ ( ) En forma análoga obtenemos para cuando solo dependen de la variable [ ] ( ) ∫ ( ) Ejemplo (10) Resuelva la siguiente ecuación diferencial por factor integrante. ( ) ( ) Solución: ( ) ( ) no es exacta ( ) ( )
  • 36. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 36 de 62 ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ Luego multiplicamos por este factor nuestra ecuación ( ) ( ) ( ) ( ) Verificamos su exactitud ( ) ( ) ( ) ∫( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) Derivando respecto a ( ) ( ) De esto tenemos que ( ) ( ) y finalmente ( )
  • 37. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 37 de 62 Ejercicios propuestos (6):
  • 38. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 38 de 62 1.6.Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Definición Una ecuación de la forma ( ) ( ) ( ) se dice lineal de primer orden, donde , son funciones de la variable independiente. Esta ecuación puede presentarse también en forma estándar como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Factor integrante para las ecuaciones lineales de primer orden Consideremos la ecuación ( ) ( ) y la escribimos de la forma ( ) ( ) , es decir: [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( )] , calculemos el factor integrante ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Multiplicando por este factor nuestra ecuación original ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) Notemos que el miembro izquierdo es la derivada del producto de la variable por el factor integrante ( ). ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ⏞ ( ∫ ( ) ) ∫ ( ) ( ) ( ∫ ( ) ) ∫ ( ) ( ) ( ∫ ( ) ) ∫ ( ) ( ) Integrando en ambos lados
  • 39. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 39 de 62 ∫ ( ∫ ( ) ) ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) Es la solución general de las ecuaciones lineales respecto a la variable , pero pueden ser también dadas con respecto a la variable , es decir ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) Ejemplo (11) Resuelva la siguiente ecuación diferencial lineal ( ) Solución: llevemos a la ecuación en su forma estándar es decir ( ) notemos que no es lineal con respecto a la variable , pero si con respecto a la variable ( ) ( ) Entonces ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) +c ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
  • 40. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 40 de 62 ( ) que es la solución general.
  • 41. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 41 de 62 Ejercicios propuestos (7): resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
  • 42. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 42 de 62 1.7. Ecuaciones diferenciales de Bernoullí Definición: Una ecuación de la forma ( ) ( ) , se le llama una ecuación diferencial de Bernoullí. (no es lineal) Esta ecuación con la sustitución se transforma a una ecuación diferencial línea. Teorema: Dada la ecuación ( ) ( ) entonces la solución de la ecuación diferencial de Bernoullí es: ( ) ( ) ∫ ( ) ( )∫ ( ) ( ) ∫ ( ) Demostración: Sea ( ) ( ) y hagamos la sustitución ( ) Conjuntamente con la derivación con respecto a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Esta es una ecuación lineal con variable dependiente , con esto usamos la solución de las ecuaciones diferenciales lineales expuesta anteriormente Tenemos que: ( ) ∫ ( ) ( )∫ ( ) ( ) ∫ ( )
  • 43. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 43 de 62 Y como ( ) remplazamos ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) Que es lo que deseamos demostrar. Observación: para la ecuaciones de Bernoullí al igual que las lineales, existe relatividad con respecto a las variables e , es decir puede ser Bernoullí respecto a ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) Ejemplo (12) Resolver la ecuación diferencial ( ) Notemos que esta no es Bernoullí con respecto a , sin embargo si lo es respecto a Ordenando ( ) Observemos que ( ) ( ) y remplazamos en (*) ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Integrando por parte la expresión derecha, tomando ∫ ∫ [ ∫ ] Finalmente tenemos
  • 44. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 44 de 62 Ejercicios propuestos (8): Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoullí
  • 45. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 45 de 62 1.8. Ecuaciones de Ricatti Definición: Una ecuación de la forma ( ) ( ) ( ) se llama ecuación de Ricatti. En la solución de esta ecuación se supone una solución particular conocida y se hace la sustitución la cual transforma la ecuación en una lineal respecto a . Demostración: Sea ( ) ( ) ( ) y una solución particular de esta ecuación, por tanto se tiene que la satisface, es decir: = ( ) ( ) ( ) Derivamos remplazamos en la ecuación ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )⏞ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) Cuya solución la podemos obtener de las formas lineales anteriores, es decir
  • 46. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 46 de 62 ∫( ( ) ( )) ∫ ( ) ∫( ( ) ( )) (**) con Ejemplo (13) Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Ricatti Es claro que ( ) ( ) ( ) , remplazamos en (**) ∫( ) ∫ ∫( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) Ejercicios propuestos (9) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti, utilizando la solución particular indicada. 1) ∫ 2) ( ) 3)
  • 47. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 47 de 62 1.9.Ecuaciones de Lagrange La ecuación de Lagrange tiene la forma ( ) ( ) Haciendo , diferenciando y sustituyendo por , reducimos esta ecuación a otra que considerada en como función de es lineal. Resolviendo esta última ( ) , obtenemos la solución general de la ecuación inicial en forma paramétrica: ( ) ( ) ( ) ( ) } ( es un parámetro) Además la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma ( ) ( ) donde es una raíz de la ecuación ( ). Ejemplo (14): Resolver: Solución: Sea , entonces Luego derivamos respecto a y agrupando términos - − es lineal
  • 48. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 48 de 62 ∫ ∫ ∫ ∫ Entonces la solución e: } 1.10. Ecuaciones de Clairaut El método de resolución es el mismo que para las ecuaciones de Lagrange. La solución general de la ecuación de Clairaut tiene la forma: ( ) Esta puede tener también solución singular, que se obtiene eliminando entre las ecuaciones. ( ) ( ) } Ejemplo (15): Resolver: ( ) Solución: Haciendo entonces
  • 49. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 49 de 62 ( ) Para Para eliminando el parámetro entre las dos ecuaciones { Esta es también una solución de la ecuación considerada singular. Geométricamente la parábola obtenida es la envolvente del haz de rectas Familia de curvas (sol. General) Envolvente (sol. Singular)
  • 50. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 50 de 62 Ejercicios propuestos (10): Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 1) R: { 2) R: { 3) ( ) ( ) R: { ( ) [ ( ) ]( ) 4) R: { 5) ( ) R: { ( ) ( )
  • 51. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 51 de 62 1.11. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden. 1.11.1. Trayectorias Isogonales y ortogonales:
  • 52. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 52 de 62 Gráficamente:
  • 53. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 53 de 62 Ejercicios propuestos (11)
  • 54. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 54 de 62 1.11.2. Problemas de Persecución
  • 55. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 55 de 62 Ejercicios propuestos (12)
  • 56. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 56 de 62 1.11.3. Aplicaciones a la Geometría Analítica Ejercicios propuestos (13)
  • 57. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 57 de 62 1.11.4. Ley de enfriamiento de Newton 1.11.5. Ley de Absorción de Lamber
  • 58. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 58 de 62
  • 59. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 59 de 62 Ejercicios misceláneos 1) Un objeto de masa de 100g se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra 60 cm. arriba de la superficie terrestre con una velocidad inicial de 150m/s. El objeto asciende brevemente y después cae verticalmente hacia la Tierra, durante todo el tiempo actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a 200v (en dinas). Donde v es la velocidad en m/s. a. Calcule la velocidad 0.1 segundo después, de que el objeto se lanza. b. Calcule la velocidad 0.1 segundo después de que el objeto se detiene en su ascenso y empieza su caída. i. R: ( ) y ( ) ii. R: ( ) ; ( ) 2) El peso combinado de un paracaidista y su paracaídas es W. El paracaidista cae desde el reposo, verticalmente hacia abajo. Asumiendo que el paracaídas está abierto cuando el salto ocurre y que sobre él actúa una fuerza debida a la resistencia del aire, la cual es proporcional a la velocidad en cualquier instante durante la caída, encuentre la velocidad y posición del paracaidista en función del tiempo. ¿Cuál es la velocidad máxima que puede alcanzar el paracaidista? i. R: ( ) [ ] y ( ) * + ii. R: velocidad máxima o velocidad limite ( ) 3) La tasa de crecimiento de una población es proporcional, en el tiempo, a la cantidad de habitantes que está presente. a. La población de una pequeña ciudad crece en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes presente en dicho instante. Si la población inicial es de 500 habitantes y si ésta aumenta en un 15% en 10 años, determine: i. La población dentro de 30 años R: 760 habitantes ii. El intervalo de tiempo que debe transcurrir para que la población aumente en un 60%. R: 4) En cualquier momento dado, la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de 3 horas se observa que hay 400 individuos. Si pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes, ¿cuál era la cantidad inicial de bacterias? R: especímenes 5) Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene1libra de sal. Otra solución salina que contiene 1 libra de sal por galón, se agrega al tanque a razón de 3 gal/min. Si la mezcla sale a la misma tasa, hallar: (a) la cantidad de sal en el tanque como función del tiempo, (b) el momento en el cual la mezcla que está en el tanque contiene 2 libras de sal. R.1 (a) ( ) ; R.2 (b) La mezcla que está en el tanque tendrá 2 lb de sal en aproximadamente 0.34 min
  • 60. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 60 de 62 6) Un tanque contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Una solución de agua salada que contiene ½ libra de sal por galón, se vierte en el tanque a una tasa de 2 gal/min. Si la solución mezclada sale a la misma tasa, hallar la cantidad y la concentración de sal que hay en el tanque en cualquier instante. R.3 ( ) ⌊ ⌋ Cantidad de sal en función del tiempo; R.4 ( ) ⌊ ⌋ Concentración de sal 7) Un depósito cilíndrico con capacidad para 200 galones, contiene 100 galones con 100 libras de sal disuelta. Hacia el depósito fluye agua salada que contiene 2 libras de sal por galón a razón de 4 gal/min y la mezcla fluye hacia afuera a razón de 3 gal/min. Determine la cantidad de sal que contiene el depósito cuando se llene y su concentración en ese mismo instante. R.5 Cuando el depósito está lleno, contiene 387.5 lb de sal y una concentración aproximada de 1.94 lb de sal por galón. (Nota: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 8) Un depósito de tiene 40 galones de agua pura. Una solución de agua azucarada con 1 libra de azúcar por galón entra a 2 gal/min y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. (a) ¿Cuánta azúcar hay en el tanque en cualquier tiempo? (b) ¿Cuándo el agua que sale tendrá ½ libra de azúcar por galón? R.6 (a) Cantidad de azúcar en función del tiempo: ( ) ⌊ ⌋ R.7 (b) El agua de salida tendrá la concentración de azúcar de ½ libra por galón, aproximadamente en 13.86 min. 9) La temperatura máxima que puede leerse en cierto termómetro es de 110 ºF. Cuando el termómetro marca 36 ºF, se coloca en un horno. Se observa que, después de 1 y 2 minutos, el termómetro marca 60 ºF y 82 ºF, respectivamente. ¿Cuál es la temperatura del horno? R.8 La temperatura del horno (temperatura del medio ambiente) es de 324 ºF. R.9 ( ) 10) Un capacitor de faradios está en serie con una resistencia de 25 ohmios y una fem de ( ) voltios. El interruptor se cierra en t = 0. Asumiendo que la carga inicial en el capacitor es cero, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo. R.10 ( ) [ ( ) ( ) ] R.11 ( ) [ ( ) ( ) ] 11) Un resistor de 20 Ω está conectado en serie con un condensador de 0.01 faradios y una fem dada por ( ) voltios. Si ( ) Determine la carga máxima en el condensador. i. R: ( )
  • 61. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 61 de 62 12) Una tensión ( ) , se aplica a un circuito RL, en el que la inductancia es de 20 henrios y al resistencia es de 2 ohmios. Determine la corriente en cualquier instante sabiendo que la corriente inicial es cero. i. R: ( ) [ ] ( ) 13) Un capacitor de faradios está en serie con una resistencia de 25 ohmios y una fen de 50 voltios. El interruptor se cierra en . Asumiendo que la carga inicial en el capacitor es cero, determine: i. La carga y la corriente en cualquier instante R: ( ) [ ] y ( ) ii. La carga transitoria y estacionaria R: ( )
  • 62. Modulo I y II Apuntes del Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Profesor: Edis Alberto Flores Página 62 de 62 BIBLIOGRAFÍA 1. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones con modelado. (Texto recomendado)  Dennis G. Zill, Editorial: Thomson 2. Ecuaciones Diferenciales aplicadas.  Murray R. Spiegel, Editorial: Prentice / Hall Internacional (P.H.I) 3. Ecuaciones Diferenciales Modernas.  Richard Bronson, Editorial: MCGraw – Hill 4. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.  A. Kiseliov  M. Krasnov  G. Makarenko, Editorial: Mir (Moscú)