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politécnica salesiana
TEMA: Ecuaciones diferenciales
NOMBRE: Jaime Andrango
CURSO: 3°
GRUPO: 1
ECUACIONES DIFERNCIALES
1.-Introducción
2.-Solución de ecuaciones diferenciales
3.-Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
4.-Ecuaciones diferenciales de segundo orden
5.-Ecuaciones diferenciales de orden superior
1.- INTRODUCCIÓN
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o
diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la
función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama
una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida
depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación
diferencial parcial.
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:
• La variable independiente (v. i) es x
• La variable dependiente (v. d) es y
Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:
• La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
• La variable dependiente (v. d) es V
Orden de una ecuación
diferencial
• El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden
mayor de su derivada.
Ejemplo
Grado de una ecuación
diferencial
• El grado de una ecuación diferencial está dado por el
exponente del mayor orden de su derivada.
Ejemplos
2.-SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
• Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da
una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por
lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función
desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se
obtiene una igualdad.
Función primitiva de una
ecuación diferencial
• Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que
carece de derivadas.
Ejemplo:
• La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.
Verificación
Problema de valor inicial
• Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar
una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la
función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la
variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones
iniciales.
• Un problema de valor de frontera es un problema que busca
determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a
condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o
más valores de la variable independiente. Tales condiciones se
llaman condiciones de frontera.
Ejemplo ilustrativo
• Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier
punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta
pasa por el punto (2,5)
Solución:
3.-ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Ecuaciones con variables separables
La solución general de la ecuación diferencial.
Resolución:
Soluciones Particulares
Comprobación
Ecuaciones homogéneas
• Es homogénea si no contiene términos que dependen
únicamente de su variable independiente, en caso contrario es
No Homogénea.
Ejemplos:
Ejemplo ilustrativo
• Resolver la ecuación:
Resolución:
• En una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio
Integrando
Ecuaciones exactas
Resolución
• Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la
condición
Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta
Se Iguala las dos derivadas con respecto a y.
Ecuaciones con factores integrantes
• Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación
mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas
• Para obtener los factores de integración se pueden emplear las
siguientes reglas:
Ejemplo ilustrativo
Solución
• Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta. Las funciones
definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son:
Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es
exacta.
Como la diferencias entre las 2 derivadas cruzadas dividida para N es una función de
"x" se aplica:
Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración "x" se tiene una
ecuación diferencial equivalente
• Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la nueva
ecuación diferencial es exacta.
• Como la nueva ecuación diferencial es exacta se procede a
resolverla como en casos anteriores. Esta solución queda como
tarea para el lector
Ecuaciones lineales
Solución
Es una ecuación lineal en "y"
Como la solución es
Es una ecuación lineal en "x"
Como la solución es:
Propiedad conmutativa en los exponentes
4.-ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma
La solucióngeneral como combinaciónlineal
de solucioneslinealmente independientes
Definición de independencia lineal
Ejemplos:
Proceso de solución
Ejemplo ilustrativo
Resolver la ecuación diferencial
Solución:
Que son las soluciones particulares de la
ecuación diferencial
Además, como estas dos soluciones son linealmente
independientes la solución general es
Ecuaciones lineales homogéneas con
coeficientes constantes
Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con
coeficientes constantes es de la forma:
Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas
raíces se las puede determinar empleando la fórmula general
Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática
donde se pueden presentar tres casos.
1) Primer caso: raíces reales y diferentes
Ejemplo 1
Resolver la ecuación diferencial
Solución
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes,
la solución general es
Remplazando los valores encontrados en la solución general, se
obtiene la solución particular
2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial
Solución:
3) Tercer caso: raíces complejas
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial
Solución:
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y
término F(x) variable es de la forma
Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes
mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes
Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de
los coeficientes indeterminados.
Ejemplos:
Ejemplos ilustrativos
Hallar la solución general de
Solución:
Resolviendo la ecuación auxiliar
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,
Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces
5.-ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la
forma:
Principio de Superposición o linealidad
También es solución de dicha ecuación diferencial
Dependencia e Independencia lineal
En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no
es nula, las funciones son linealmente dependientes.
Wronskiano
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski,
especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.
Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales
es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.
Ejemplo ilustrativo
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:
Ejemplos ilustrativos
2) Comprobar que
Remplazando valores en
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3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es
Solución:
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Entonces
ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
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Ecuaciones diferenciales-12

  • 1. Universidad politécnica salesiana TEMA: Ecuaciones diferenciales NOMBRE: Jaime Andrango CURSO: 3° GRUPO: 1
  • 2. ECUACIONES DIFERNCIALES 1.-Introducción 2.-Solución de ecuaciones diferenciales 3.-Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 4.-Ecuaciones diferenciales de segundo orden 5.-Ecuaciones diferenciales de orden superior
  • 3. 1.- INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial. Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:
  • 4. • La variable independiente (v. i) es x • La variable dependiente (v. d) es y Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es: • La variable independiente (v. i) es "x" y "y" • La variable dependiente (v. d) es V
  • 5. Orden de una ecuación diferencial • El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada. Ejemplo
  • 6. Grado de una ecuación diferencial • El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada. Ejemplos
  • 7. 2.-SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL • Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.
  • 8. Función primitiva de una ecuación diferencial • Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas. Ejemplo:
  • 9. • La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial. Verificación
  • 10. Problema de valor inicial • Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. • Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.
  • 11. Ejemplo ilustrativo • Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5) Solución:
  • 12.
  • 13. 3.-ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ecuaciones con variables separables La solución general de la ecuación diferencial. Resolución:
  • 14.
  • 16. Ecuaciones homogéneas • Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente, en caso contrario es No Homogénea. Ejemplos:
  • 17.
  • 18. Ejemplo ilustrativo • Resolver la ecuación: Resolución: • En una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio
  • 19.
  • 21. Ecuaciones exactas Resolución • Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la condición
  • 22. Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta
  • 23.
  • 24. Se Iguala las dos derivadas con respecto a y.
  • 25. Ecuaciones con factores integrantes
  • 26. • Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas • Para obtener los factores de integración se pueden emplear las siguientes reglas:
  • 27. Ejemplo ilustrativo Solución • Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son:
  • 28. Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta. Como la diferencias entre las 2 derivadas cruzadas dividida para N es una función de "x" se aplica:
  • 29.
  • 30. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración "x" se tiene una ecuación diferencial equivalente
  • 31. • Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la nueva ecuación diferencial es exacta. • Como la nueva ecuación diferencial es exacta se procede a resolverla como en casos anteriores. Esta solución queda como tarea para el lector
  • 32. Ecuaciones lineales Solución Es una ecuación lineal en "y" Como la solución es
  • 33.
  • 34. Es una ecuación lineal en "x" Como la solución es:
  • 35. Propiedad conmutativa en los exponentes
  • 36. 4.-ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma
  • 37. La solucióngeneral como combinaciónlineal de solucioneslinealmente independientes Definición de independencia lineal Ejemplos:
  • 38.
  • 40. Ejemplo ilustrativo Resolver la ecuación diferencial Solución: Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial
  • 41. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es
  • 42. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma: Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la fórmula general
  • 43. Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos. 1) Primer caso: raíces reales y diferentes
  • 44. Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial Solución
  • 45. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es
  • 46. Remplazando los valores encontrados en la solución general, se obtiene la solución particular 2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales
  • 47. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial Solución:
  • 48. 3) Tercer caso: raíces complejas
  • 49. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial Solución:
  • 50. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término F(x) variable es de la forma
  • 51. Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados.
  • 53. Ejemplos ilustrativos Hallar la solución general de Solución:
  • 55. La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,
  • 56. Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces
  • 57. 5.-ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma: Principio de Superposición o linealidad También es solución de dicha ecuación diferencial
  • 58. Dependencia e Independencia lineal En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.
  • 59. Wronskiano Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.
  • 60. Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.
  • 62. ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:
  • 66. Como se quería comprobar 3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es Solución: Se observa que Entonces
  • 67. ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
  • 68. Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes