El documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como orden, grado y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Luego, cubre temas como ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables, homogéneas, exactas y lineales. También aborda ecuaciones de segundo orden lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes. Por último, introduce ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

1. Universidad
politécnica salesiana
TEMA: Ecuaciones diferenciales
NOMBRE: Jaime Andrango
CURSO: 3°
GRUPO: 1

2. ECUACIONES DIFERNCIALES
1.-Introducción
2.-Solución de ecuaciones diferenciales
3.-Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
4.-Ecuaciones diferenciales de segundo orden
5.-Ecuaciones diferenciales de orden superior

3. 1.- INTRODUCCIÓN
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o
diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la
función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama
una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida
depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación
diferencial parcial.
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

4. • La variable independiente (v. i) es x
• La variable dependiente (v. d) es y
Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:
• La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
• La variable dependiente (v. d) es V

5. Orden de una ecuación
diferencial
• El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden
mayor de su derivada.
Ejemplo

6. Grado de una ecuación
diferencial
• El grado de una ecuación diferencial está dado por el
exponente del mayor orden de su derivada.
Ejemplos

7. 2.-SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
• Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da
una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por
lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función
desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se
obtiene una igualdad.

8. Función primitiva de una
ecuación diferencial
• Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que
carece de derivadas.
Ejemplo:

9. • La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.
Verificación

10. Problema de valor inicial
• Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar
una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la
función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la
variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones
iniciales.
• Un problema de valor de frontera es un problema que busca
determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a
condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o
más valores de la variable independiente. Tales condiciones se
llaman condiciones de frontera.

11. Ejemplo ilustrativo
• Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier
punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta
pasa por el punto (2,5)
Solución:

13. 3.-ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Ecuaciones con variables separables
La solución general de la ecuación diferencial.
Resolución:

15. Soluciones Particulares
Comprobación

16. Ecuaciones homogéneas
• Es homogénea si no contiene términos que dependen
únicamente de su variable independiente, en caso contrario es
No Homogénea.
Ejemplos:

18. Ejemplo ilustrativo
• Resolver la ecuación:
Resolución:
• En una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio

20. Integrando

21. Ecuaciones exactas
Resolución
• Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la
condición

22. Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta

24. Se Iguala las dos derivadas con respecto a y.

25. Ecuaciones con factores integrantes

26. • Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación
mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas
• Para obtener los factores de integración se pueden emplear las
siguientes reglas:

27. Ejemplo ilustrativo
Solución
• Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta. Las funciones
definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son:

28. Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es
exacta.
Como la diferencias entre las 2 derivadas cruzadas dividida para N es una función de
"x" se aplica:

30. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración "x" se tiene una
ecuación diferencial equivalente

31. • Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la nueva
ecuación diferencial es exacta.
• Como la nueva ecuación diferencial es exacta se procede a
resolverla como en casos anteriores. Esta solución queda como
tarea para el lector

32. Ecuaciones lineales
Solución
Es una ecuación lineal en "y"
Como la solución es

34. Es una ecuación lineal en "x"
Como la solución es:

35. Propiedad conmutativa en los exponentes

36. 4.-ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma

37. La solucióngeneral como combinaciónlineal
de solucioneslinealmente independientes
Definición de independencia lineal
Ejemplos:

39. Proceso de solución

40. Ejemplo ilustrativo
Resolver la ecuación diferencial
Solución:
Que son las soluciones particulares de la
ecuación diferencial

41. Además, como estas dos soluciones son linealmente
independientes la solución general es

42. Ecuaciones lineales homogéneas con
coeficientes constantes
Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con
coeficientes constantes es de la forma:
Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas
raíces se las puede determinar empleando la fórmula general

43. Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática
donde se pueden presentar tres casos.
1) Primer caso: raíces reales y diferentes

44. Ejemplo 1
Resolver la ecuación diferencial
Solución

45. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes,
la solución general es

46. Remplazando los valores encontrados en la solución general, se
obtiene la solución particular
2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales

47. Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial
Solución:

48. 3) Tercer caso: raíces complejas

49. Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial
Solución:

50. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y
término F(x) variable es de la forma

51. Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes
mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes
Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de
los coeficientes indeterminados.

52. Ejemplos:

53. Ejemplos ilustrativos
Hallar la solución general de
Solución:

54. Resolviendo la ecuación auxiliar

55. La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,

56. Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces

57. 5.-ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la
forma:
Principio de Superposición o linealidad
También es solución de dicha ecuación diferencial

58. Dependencia e Independencia lineal
En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no
es nula, las funciones son linealmente dependientes.

59. Wronskiano
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski,
especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

60. Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales
es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.

61. Ejemplo ilustrativo

62. ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:

63. Ejemplos ilustrativos

64. 2) Comprobar que

65. Remplazando valores en

66. Como se quería comprobar
3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es
Solución:
Se observa que
Entonces

67. ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

68. Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados
para la ecuación homogénea de coeficientes constantes

69. Ejemplos