Breve presentación de una introducción a las Ecuaciones Diferenciales.

1. Ecuaciones Diferenciales Definiciones y Términos Básicos Lcdo. Alexis J. Mendoza C. Coordinación de Matemática P.N.F. en Sistemas de Calidad y Ambiente Universidad Politécnica Territorial de Lara “Andrés Eloy Blanco”

2. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Definición: Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos Variados Una variable independiente (x) y una variable dependiente (y) Aparece la primera derivada de y con respecto a x y una función de x. Aparece la segunda y la primera derivada de y con respecto a x, además la variable y sin derivar. Aparece la segunda derivada de y con respecto a x y además la variable y sin derivar. Aparece la segunda derivada de y con respecto a x y además la variable y sin derivar. Viene dada en forma de diferenciales; se observan las variables x e y.

3. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Definición: Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos Variados Una variable independientes(x) y dos variables dependientes (u, v) Aparecen las primeras derivadas de u y v con respecto a x.

4. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Definición: Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos Variados Dos variable independientes (x, y) y una variable dependiente (u) Aparece la segunda derivada parcial mixta de u con respecto a x e y.

5. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Definición: Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos Variados Dos variables independientes (x, y) y dos variables dependientes (u, v) Aparecen la primera derivada parcial de u con respecto a y y la primera derivada parcial de v con respecto a x.

6. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. Según el Tipo: Se clasifican, en Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) y en Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales (EDP) . Ecuación Diferencial Ordinaria: La función desconocida depende de una sola variable. Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales: La función desconocida depende de más de una variable.

7. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Según el Orden: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el orden de la derivada más alta que aparece en dicha ecuación. Son de orden 1: Son de orden 2:

9. Son Lineales: Son No Lineales:

10. Definición: Se dice que una función f con dominio en un intervalo I es solución a una E.D. en el intervalo I, si la función satisface la E.D. en el intervalo I. Teorema (Picard): Sea R una región rectangular en el plano XY definida por a<= x <=b; c<= y <=d que contiene al punto (x 0 ,y 0 ) en su interior. Si f(x, y) y f’ son continuas en R, entonces existe un intervalo I con centro en x 0 y una única función y(x) definida en I que satisface el problema de valor inicial y’ = f(x, y); y(x 0 ) = y 0 La próxima clase presencial la comenzaremos con la siguiente definición, teorema y observación

11. Observación: Si todas las soluciones de la E.D. F(x, y, y 0 , …)=0 en un intervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C 1 ,…, C n ) mediante valores apropiados de C i , entonces a G se le llama la solución general; una solución que no contenga los parámetros Ci se le llama la solución particular; una solución que no pueda obtenerse a partir de la solución general se le llama solución singular. Veremos mas adelante que la solución general a una E.D. lineal de orden “n” tiene “n” parámetros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener explícitamente una solución general.