El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Define una ecuación diferencial como una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Explica que resolver una ecuación diferencial significa encontrar la función analítica que satisface la ecuación. También clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden, grado y linealidad. Finalmente, presenta algunos métodos comunes para resolver ecuaciones diferenciales y propone ejercicios de práctica.

1. Clase no. 1

2. “Las matemáticas son uno de los descubrimientos de la humanidad.
Por lo tanto no pueden ser más complicadas de lo que los hombres
son capaces de comprender.”
Richard Phillips Feynman
“Lo que oyes, lo olvidas; lo que vez, lo recuerdas; lo que haces, lo
entiendes”.
Proverbio popular
“Las matemáticas son una ciencia exacta salvo cuando te equivocas.”
Jaume Perich

3. Base cognoscitiva para la resolución de
ecuaciones diferenciales
 Derivadas
 Diferenciales
 Integrales
 Operaciones algebraicas
 Factores comunes
 Comunes denominadores
 Derivación compuesta
 Propiedades de los logaritmos

4. ¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad en la cual hay
términos conocidos y términos desconocidos. El
término desconocido se llama incógnita y se
representa generalmente por las últimas letras del
abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse
cualquiera otra letra..
¿Para qué se pretende resolver una ecuación?
Para encontrar el valor de la o las incógnitas tal
que reemplazada(s) en dicha ecuación verifiquen
la igualdad planteada.

5. ¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?
Es una ecuación que contiene las derivadas de una o
más variables dependientes, con respecto a una o más
variables independientes.
Una ecuación diferencial fundamentalmente está
formada por una variable, una función y las derivadas
de dicha función.
F (x, y, y’, y’’, y’’’...) = 0

6. ¿Qué es resolver una ecuación diferencial?
En la ecuación diferencial la incógnita es la expresión
analítica de una función.
y= (…………..)
Es dar respuesta a la interrogante ¿a qué función es
igual y=(….)?
Si esa expresión analítica de la función se reemplaza en
la ecuación diferencial original se verificará la igualdad.

7. Ejemplo solución
dy/ dx = 2x ó y’ = 2x
¿Es una ecuación diferencial?¿Por qué?
¿Cómo la resolvemos?
¿Qué tenemos que buscar?
¿Cómo obtengo la función y?
¿La integración y la diferenciación son operaciones inversas?
¿Cuándo integramos indefinidamente se suma una constante
de integración?
¿Una ecuación diferencial depende de tantas constantes como
el orden que tenga esa ecuación diferencial?
¿Cómo representar el resultado obtenido en una ecuación
diferencial?
y = f(x)
dy = f’(x) dx
dy = y’ dx
dy/dx = y’

8. ¿Dónde se utilizan?

9. ¿Dónde se utilizan?(Continuación)
Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones
cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas.

10. Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación primada: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
Notaciones
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la
variable dependiente y la independiente:

11. Las ecuaciones diferenciales se clasifican por:
•Tipo
•Orden
•Linealidad

12. Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más
variables dependientes de una sola variable independiente.
Ejemplo de EDO:
Una EDO puede contener más de una variable dependiente:
Clasificación por tipo:

13. Ecuación diferencial parcial (EDP):
Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o
más variables dependientes de dos o más variables
independientes.
Ejemplos:

14. Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP)
es el orden mayor de la derivadas involucradas en la
ecuación.
Ejemplo:
Luego, es una EDO de segundo orden.

15. Clasificación según el orden (continuación)

16. Clasificación según el grado:
El grado de una ecuación diferencial es el grado
algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el
grado de una ecuación diferencial es la potencia a la
que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la
ecuación diferencial.
Ejemplo
La siguiente ecuación diferencial:
Es de tercer grado, dado que la primera derivada,
que nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.

17. Clasificación según el grado (continuación)

18. Clasificación según la linealidad:
Se dice que una EDO de orden n es lineal si F
(en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).
Una ecuación diferencial es lineal si todos sus
términos son lineales con respecto a la variable
dependiente y sus derivadas, en caso contrario es no
lineal.
Ecuación lineal

19. Clasificación según la linealidad (continuación)
Lineal homogénea:
El término independiente g(x) es cero.
Lineal con coeficientes constantes:
Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables:
Enfatiza el hecho de que al menos uno de los
coeficientes a0(x),...,an(x) No es constante.

20. Clasificación según la linealidad (continuación)

21. Clasificación según la linealidad (continuación)

22. Interpretación geométrica de la diferencial
Geométricamente la diferencial representa el incremento de la variable
dependiente, pero no hasta la curva si no hasta la tangente.

23. Métodos para la resolución de ecuaciones diferenciales
1-Método de ecuaciones diferenciales de variables
separables.
2-Método de ecuaciones diferenciales de 1er orden por
factor integrante.
3-Método de ecuaciones diferenciales exactas.
4- Método de ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
5- Método de ecuación diferencial homogénea

24. Ejercicios
1-Diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no
lineales. Indique el orden y grado de cada ecuación:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)

25. Ejercicios
2- Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales
a) y’ = x2 / y
b) y’ = y / y (1+x3)
c) –x2dy = xydx