Este documento presenta la solución de cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable. La primera ecuación se resuelve separando variables y realizando integración. La segunda ecuación también se resuelve separando variables e integrando. La tercera ecuación igualmente se resuelve separando variables y realizando sustituciones para integrar. La cuarta ecuación contiene una condición inicial y también se resuelve separando variables y realizando integración.

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de
variable separable
1. (4y + yx2 )dy − (2x + xy 2 )dx = 0
Soluci´n.
o
(4y + yx2 )dy − (2x + xy 2 )dx = 0
y(4 + x2 )dy − x(2 + y 2 )dx = 0
y(4 + x2 )dy = x(2 + y 2 )dx
Separando variables
ydy xdx
2
=
2+y 4 + x2
Integrando ∫ ∫
ydy xdx
=
2 + y2 4 + x2
hacemos
u = y2 + 2 v = x2 + 4
du = 2ydy dv = 2xdx
∫ ∫
1 2ydy 1 2xdx
2+2
=
2 y 2 4 + x2
∫ ∫
1 du 1 dv
=
2 u 2 v
ln u = ln v + C
ln u = ln v + ln K
ln u = ln(Kv)
u = Kv
y 2 + 2 = C(x2 + 4)
1

2. 2. y ′ + y 2 sen x = 0
Soluci´n.
o
dy
+ y 2 sen x = 0
dx
dy
= −y 2 sen x
dx
dy
= − sen xdx
y2
integrando
∫ ∫
−2
y dx = − sen xdx
−y −1 = cos x + C
1
cos x + = C
y
3. 3ex tan ydx + (2 − ex ) sec2 ydy = 0
3ex tan ydx = (ex − 2) sec2 ydy
3ex sec2 y
dx = dy
ex − 2 tan y
Integrando ∫ ∫
3ex sec2 y
dx = dy
ex − 2 tan y
Hacemos
u = ex − 2 v = tan y
du = ex dx dv = sec2 ydy
∫ ∫
du dv
3 =
u v
3 ln u = ln v + C
ln u3 = ln v + ln K
ln u3 = ln(Kv)
u3 = Kv
(ex − 2)3 = C tan y
2

3. (π)
4. y ′ sen x = y ln y si y 2
=e
dy
sen x = y ln y
dx
dy dx
=
y ln y sen x
∫ dy ∫
y dx
=
ln y sen x
hacemos
dy
u = ln y ⇒ du =
y
∫ ∫
du
= csc xdx
u
ln u = ln(csc x − cot x) + C
ln(ln y) − ln(csc x − cot x) = C
[ ]
ln y
ln = C
csc x − cot x
y( π ) = e entonces cuando x = π , y = e
2 2
[ ]
ln e
ln = C
csc π − cot π
2
[ 2
]
1
ln = C
1−0
ln 1 = C
0 = C
la soluci´n particular es
o
ln[ln y] = ln[csc x − cot x]
3