Este documento presenta 7 ejemplos de derivadas e integrales de funciones. En los ejemplos 1-4 se muestran derivadas de funciones logarítmicas y raíces cuadradas utilizando propiedades básicas. Los ejemplos 5-6 evalúan integrales mediante sustituciones de variables. El último ejemplo desarrolla una integral trigonométrica mediante un cambio de variable.

1. Ejemplo II-1:
Obtener la derivada de
y = (4x
ln 5)
+
1 4
y′ = 4 =
4x +5 4x +5
Ejemplo II-2
3x
Derivar la expresión y =ln
x 2 +4 para facilitar los cálculos , aplicamos las propiedades de la
2
función ln quedándonos y = ln 3x − ln x + 4
1 1 3 2x 3x 2 +12 −6x 2 3(4 −x 2 ) 4 −x 2
y′ = 3- 2x = − = = =
3x 2 3x 2
x +4 3
3x + 12x 3x(x 2
+4) x(x 2 +4)
x +4
Ejemplo II-3
2 2
Derivar la expresión: y = ln x
2. 2
y = ln x lnx = 2 lnx 2ln x= 4lnxlnx entonces
 x
ln ln x  ln x
y′= 
4 + ⇒′ =
y 8
 x x  x
Ejemplo II-4
x +1
Derivar la siguiente expresión: y = ln
, para simplificar los cálculos, apliquemos las
3
2
x +1
propiedades de la función logaritmo:
y =
1
3
[
ln x +1 −ln x
2
+1 ]
1 1  1  1  1 2x  1  x 2 +1 −(2x 2 + 2x) 
y′ =  − 2x  =
 − =  
3 x +1  x 2 +1  3 x +1 x 2 +1  3  (x +1)(x 2 +1) 
   

2. 1  - x 2 −2x +1)

 1  1 - 2x - x 2
= 


y′ =
3 (x +1)(x 2 +1)  3 (x +1)(x 2 +1) 
   
∫
1
De lo visto anteriormente, u
du =ln u +c
Ejemplo II-5
∫
2y dy
Evaluar: 2
y −25 aquí observamos que la derivada del denominador esta contenida en el
2
numerador, por lo tanto conviene hacer un cambio de variable: u= y - 25, du = 2ydy.
∫
du 2
Sustituyendo nos queda: = ln u +c devolviendo el cambio = lny - 25+c
u
Ejemplo II-6
∫
2
2ln x 1
Evaluar: 1 x
dx
hacemos: u = ln x entonces du =
x
dx
reemplazando:
22
∫ ∫
2 2 2
2ln x
dx = 2u du =
2u 2 2 2
(
 = ln x  (ln2) − (ln1) = (ln2)
2
)
1 x 1
2 
1 1
Ejemplo II-7
Desarrollar:
∫ ∫
2 2
3sec t sec t
dt = dt hacemos u = 2 + tan t entonces du = sec t dt
2
6 + 3 tan t 2 + tan t

3. sustituyendo:
∫
du
du =ln u c
+ =ln 2 +tan t +c
u