Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones donde la incógnita figura en el exponente. Se resuelven igualando los exponentes luego de expresar los términos como potencias de la misma base. Se presentan ejemplos como 3^2x+4=27 y 25x-3=8^x+4 resueltos mediante igualación de exponentes y propiedades de potencias.

1. Ecuaciones exponenciales
Prof. Viviana Lloret

2. Las ecuaciones exponenciales son aquellas en donde la incógnita figura en el exponente.
Veamos algunos ejemplos:
𝟑 𝟐𝒙+𝟒= 27
Podemos observar que 27 puede ser expresado como potencia de 3 (27 = 3 3), luego
3 𝟐𝒙+𝟒
= 3 3
Como las potencias tienen el mismo resultado y las bases son iguales concluimos que los
exponentes necesariamente deben ser iguales, por lo tanto igualamos 2x+4 a 3
2x + 4 = 3
Por último despejamos x
2x = 3 – 4
x = -1/2

3. Resolveremos ahora:
25𝑥 −3 = 8 𝑥+4
En este caso vemos que también 8 puede ser expresado como potencia de 2, luego
25𝑥 −3
= (23
) 𝑥+4
Aplicamos en el segundo miembro Potencia de otra Potencia
25𝑥 −3 =23.(𝑥+4)
Aplicamos distributiva en el exponente del segundo miembro
25𝑥 −3
=23𝑥+12
Igualamos exponente y despejamos x:
5x – 3 = 3x + 12
5x – 3x = 12 + 3
2x = 15
X = 15/2

4. A continuación resolveremos:
𝟐 𝟑𝒙+𝟏 = 𝟓 𝟐 𝒙+𝟒
Como 5 no puede ser expresado como potencia de 2, aplicamos logaritmo (en base 10) en cada
miembro:
log 23𝑥+1 = 𝑙𝑜𝑔 52 𝑥+4
Aplicamos, en ambos miembros la propiedad log a n = n. log a
(3x+1) log 2 = (2x + 4). log 5
Como log 2=0,3 y log 5= 0,7 nos queda:
(3x+1) . 0,3 = (2x + 4). 0,7
Aplicamos propiedad distributiva:
0,9 x + 0,3 = 1,4 x + 2,8
Despejamos x:
0,9 x – 1,4 x = 2,8 -0,3
-0,5 x = 2,5
X= - 2,5/0,5
X= 5

5. Resolveremos:
23𝑥+2. 82𝑥+1= 16 𝑥+1: 42𝑥+3
Como 8, 16 y 4 son potencias de 2 reemplazamos 8 = 2 3 , 16 = 2 4 y 4 = 2 2
23𝑥+2
. 23(2𝑥+1)
= 2 𝟒(𝑥+1)
: 22(2𝑥+3)
Aplicamos propiedad distributiva
23𝑥+2
. 2
6𝑥+3
= 2
𝟒𝑥+𝟒
: 2
4𝑥+6
Aplicamos a n . a m = a n+m y a n : am = a n -m
2
3𝑥+2+6𝑥+3
= 2
𝟒𝑥+𝟒−4𝑥 −6
Igualamos exponentes:
3𝑥 + 2 + 6𝑥 + 3= 4𝑥 + 𝟒 − 4𝑥 − 6
Despejamos x
9 x = 4 -6 - 2 – 3
9x = -7
x= -7/9

6. Resolveremos:
𝟓3𝑥+2
. 𝟑2𝑥+1
= 𝟐 𝑥+1
: 𝟔2𝑥+3
Como 5, 3, 2, 6 no pueden expresarse como potencias de un mismo número aplicamos logaritmo
en ambos miembros, para ello recordemos que:
log (a.c) = log a + log b y log (a : c) = log a - log b
𝐥𝐨𝐠 (𝟓3𝑥+2. 𝟑2𝑥+1)= log (𝟐 𝑥+1: 𝟔2𝑥+3
)
𝐥𝐨𝐠 𝟓3𝑥+2
+ 𝒍𝒐𝒈 𝟑2𝑥+1
= log 𝟐 𝑥+1
− 𝐥𝐨𝐠 𝟔2𝑥+3
(3x+2) log 5 + (2x +1) log 3 = (x+1) log 2 – (2x+3) log 6
(3x+2) . 0,7 + (2x +1) 0,5 = (x+1) 0,3 – (2x+3) . 0,8
Aplicamos propiedad distributiva y despejamos x.
2,1 x + 1,4 + 1 x + 0,5 = 0,3 x + 0,3 – 1,6 x + 2,4
2,1 x +1 x - 0,3 x + 1,6 x = 0,3 + 2,4 – 1,4 – 0,5
4,4 x =0,8
X = 0,8 / 4,4
X= 2/11

7. Resolveremos ahora la siguiente ecuación:
3 𝑥+2 + 3 𝑥+1 = 36
Sabemos que a n . a m = a n+m es decir que si tenemos a n+m lo podemos reemplazar
por a n . a m
Luego 3 𝑥+2 = 3 𝑥 . 32 y 3 𝑥+1 = 3 𝑥. 31
3 𝑥
. 32
+ 3 𝑥
. 31
= 36
Sacamos factor común 3 𝑥
3 𝑥
( 32
+ 31
) = 36
3 𝑥
. 12 = 36
3 𝑥 = 36 : 12
3 𝑥
= 3
x = 1

8. Función Exponencial (Repaso)
Recordaremos cómo graficar la función f(x)= 2 x – 4
En primer lugar trazamos la asíntota por y = -4

9. Calculamos la raíz (y=0)
0= 2 x – 4
4= 2 x
x= 2

10. Intersección con y (x=0)
y = 2 0 – 4
y= 1 – 4
y= -3

11. Hacemos una tabla para obtener más valores:
x y
1 -2
3 4
-1 -3,5