Las ecuaciones diferenciales lineales son aquellas donde la variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado y cada coeficiente depende solo de la variable independiente. Se clasifican como homogéneas si el término r(x) es igual a cero, y no homogéneas si r(x) es distinto de cero. Los métodos para resolver ecuaciones lineales no homogéneas son el método del factor integrante y el método de variación de parámetros. El método del factor integrante implica encontrar un factor que convierta la ecuación

1. EcuacionesDiferenciales Lineales

2. Las condiciones para que una ecuación diferencial fuese lineal son : a) la variable dependiente y ytodas sus derivadas son de primer grado, b) cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x (o constante). Definición La forma general de una ecuación lineal de 1er orden es: y' + f(x)y = r(x). Si l'(x) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación se llama lineal homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino como el nombre que da el álgebra lineal a las ecuaciones igualadas acero); si r(x) =1=- O, entonces es lineal no homogénea.

3. Métodos de solución: Si l'(x) = O ~ Es de variables separables. Si r(x) =1=- a) Método Del factor integrante. b) Método de variación de parámetros. y la forma de la solución es: Vamos a obtener la solución para r(x) =1=- O, usando el método del factor integrante y el de variación de parámetros. Método del factor integrante. Buscaremos un factor que nos convierta la ecuación diferencial y' + f(x)y = r(x) en exacta y la resolveremos por el método de las exactas.

4. El hecho de que la solución general de la ecuación diferencial homogénea correspondiente es , sugiere la posibilidad de que un factor para la no homogénea sea de la forma Vamos a probarlo. Multiplicando la ecuación por este factor, tenemos: Observando el primer miembro de la ecuación, vemos que está y en un término, su derivada y' en otro y la exponencial que acompaña a la y es la derivada de la exponencial que acompaña a y', realmente Se puede expresar como la derivada de un producto de funciones:

5. Integrando con respecto a x: Despejando y que es la solución general ya indicada y satisface a la ecuación lineal. Como nos llevó a la solución propuesta, es el factor de integración que convierte en exacta a la ecuación diferencial lineal no homogénea. Por ello, no es necesario memorizar la fórmula de la solución, basta buscar el factor, multiplicar la ecuación por él y resolver por exactas.

8. Referencia Isabel Carmona Jover libro: Ecuaciones Diferenciales