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Sistemas Planos de
Alma Llena
Trazado de Diagramas de Características
El presente trabajo es un sumario de repaso de conceptos teóricos de la materia Estabilidad Ib (64.11)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Carlos Giacoia
Año de edición 2016

Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
TRAZADO DE DIAGRAMAS DE CARACTERÍSTICAS 3
CONCEPTOS E IDEAS QUE DEBEMOS RECORDAR: 3
EJERCICIO DE APLICACIÓN N° 1 9

Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

Trazado de diagramas de características
Conceptos e ideas que debemos recordar:
a. Los esfuerzos característicos son las solicitaciones producidas por las cargas que actúan sobre la
estructura que se analiza y que habrán de ser las causas condicionantes (al margen de otras
variables) del dimensionamiento de las secciones transversales de las distintas partes que la
componen.
b. Las acciones exteriores (cargas) han sido expresadas por medio de funciones (carga concentrada
–incluyendo pares– y fuerzas distribuidas). Por lo tanto los esfuerzos característicos (que de ellas
derivan) serán también funciones y el trazado de los diagramas de características se reduce, en
definitiva, a graficar como varía un esfuerzo determinado (variable dependiente) a lo largo del eje
de la barra para la cual se dibuja (variable independiente):
c. Relaciones diferenciales: son expresiones matemáticas que se deducen estudiando el equilibrio
de un elemento de barra, sometido a la acción de las fuerzas exteriores y de los esfuerzos
característicos, que facilitan el análisis de las funciones que se quiere graficar (M, Q, N) y el
mismo trazado.

Terna Izquierda Terna Derecha
 
     
1
0
0
)
1
z
q
dz
z
dN
dz
q
dN
N
dz
q
dN
N
P
z
z
z
z
z













  
     
4
0
0
)
1
x
q
dx
x
dN
dx
q
dN
N
dx
q
dN
N
P
x
x
x
x
x














 
 
   
2
0
0
)
2
z
q
dz
z
dQ
dz
q
dQ
N
dz
q
dQ
Q
P
y
y
y
y
y













  
 
   
5
0
0
)
2
x
q
dx
z
dQ
dx
q
dQ
N
dx
q
dQ
Q
P
y
y
y
y
y














   
     
3
0
:
superior
orden
de
mos
infinitési
do
desprecian
0
2
0
)
3
1
1
z
Q
dz
z
dM
dz
Q
dM
dz
dz
q
M
dz
dQ
Q
dM
M
M
M
y
x
y
G
G


















   
     
6
0
:
superior
orden
de
mos
infinitési
do
desprecian
0
2
0
)
3
2
2
x
Q
dx
x
dM
dx
Q
dM
dx
dx
q
M
dx
dQ
Q
dM
M
M
M
y
z
y
G
G



















d. Concepto de esfuerzo característico: Partimos de la idea de un cuerpo (chapa en nuestro caso)
en estado de equilibrio:
0

  i
P
R
Ahora seleccionamos una sección trasversal cualquiera, con lo cual el cuerpo queda dividido en dos
partes (izquierda y derecha) que admitirán sendas resultantes parciales Ri y Rd, que deben ser fuerzas
opuestas: Ri = - Rd, de modo que se cumpla que Ri y Rd = R = 0

1
Si Rd es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la parte derecha, Ri puede interpretarse como la
“colaboración” que le suministra la parte izquierda para que se mantenga en equilibrio y viceversa.
Si analizamos ahora el equilibrio de la parte derecha tendremos:
Dado que Ri = - Rd, sobre la cara izquierda de la sección 1-1 se obtendrán fuerzas opuestas a las
anteriores con lo cual será:
1
Nota: dado que Ri y Rd constituyen un sistema equivalente para las fuerzas actuantes sobre cada parte, no deben coexistir
con ellas; aquí se lo ha hecho a sólo efecto de recordar ideas.









1
1
1
1
Q
N
R
e
R
M
i
i
i

Las fuerzas Q1, N1, y M1, corresponden a la descomposición
de Rd en la dirección de los ejes coordenados x, y, z y son las
que se grafican cuando se usa la terna DERECHA.
Las fuerzas Q1, N1, y M1, corresponden a la descomposición
de Ri en la dirección de los ejes coordenados x, y, z y son las
que se grafican cuando se usa la terna IZQUIERDA.
e. Ternas de referencia global y Locales
i. Terna Global: se emplea para referir a ella la geometría de la estructura y para
determinar R y las reacciones de vínculo externas (RVE).
ii. Ternas Locales: a ellas se refieren los esfuerzos característicos.
iii. Ejemplos:
2
2
Nota: en principio, las ternas Global y Locales no tiene por qué ser del mismo tipo (derecha o izquierda), pero todas las
locales sí deben serlo (derecha o izquierda).

f. Ternas locales / Los cuatro casos posibles: la disposición de una barra en la composición de una
estructura admite que se la asocie con alguno de los cuatro casos posibles que se muestran a
continuación, tanto para terna izquierda como para derecha:
i. Terna local izquierda:
3
i. Terna local derecha:
3
Nota: ver que de los casos 1 a 4 se pasa mediante un giro continuo de la barra en el sentido horario.

4
g. Caras Positivas: son aquellas que, de acuerdo con la terna local adoptada, nos da el signo de los
esfuerzos que van a graficarse:
4
Nota: ver que de los casos 1 a 4 se pasa mediante un giro continuo de la barra en el sentido anti horario.

Ejercicio de aplicación N° 1
Trazar los diagramas de características de la siguiente estructura plana, empleando terna izquierda:
a. Diagramas:

b. Comentarios
i. Análisis Cualitativo en base a las Relaciones Diferenciales
La integración miembro a miembro de las relaciones diferenciales (3 o (4 a 6)) nos muestra
que la función que figura en el primer miembro es de un grado superior a la que lo hace en el
segundo:
       
 
     
       




















2
1
2
1
2
1
z
z
y
x
y
x
z
z
y
y
y
y
z
z
z
z
z
z
dz
z
Q
z
M
z
Q
dz
z
dM
dz
z
q
z
Q
z
q
dz
z
dQ
dz
z
q
z
N
z
q
dz
z
dN
Por lo tanto en nuestro caso se tiene lo siguiente:
Entre las secciones 1 y 21:
   
   
    grado
2
de
parabólica
función
lineal
función
)
lineal
función
constante
)
constante
0
)










z
M
z
Q
c
z
Q
z
q
b
z
N
z
q
a
x
y
y
y
z
z
   
   
    lineal
función
constante
)
constante
0
)
n/caso)
en
(cero
constante
0
)









z
M
z
Q
c
z
Q
z
q
b
z
N
z
q
a
x
y
y
y
z
z
   
   
    lineal
función
constante
)
constante
0
)
constante
0
)









z
M
z
Q
c
z
Q
z
q
b
z
N
z
q
a
x
y
y
y
z
z
c. Cálculo de los esfuerzos característicos en cada sección clave

Por lo tanto, H1 y V1 componen Ri, mientras que todo el resto de las fuerzas (q.3m; H4 = 10 t;
VA = 30 t; M3 = 10 t.m y V3 = 22,08 t) componen Rd = -Ri .
Pregunta 1: ¿En qué consiste la mecánica del cálculo de los esfuerzos característicos en
cualquier sección?
Rta: en reducir al baricentro de la sección que se analiza la resultante Ri (da el signo de las
características con terna izquierda) o Rd.
Pregunta 2: ¿Es necesario determinar Ri o (Rd) previamente?
Rta: no, porque según vimos oportunamente, la proyección de la resultante de un sistema de
fuerzas sobre un eje (“z” para hallar Nz e “y” para hallar Qy) es igual a la suma de las
proyecciones de las fuerzas componentes sobre el mismo eje y, además, el momento de la
resultante de un sistema de fuerzas con respecto a un punto (el baricentro G de la sección en
este caso) es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes con respecto al
mismo punto. Se tiene entonces: Ri1 = H1 + V1.

 











3
3
4
4
1
1
y
;
;
de
n
composició
3
izquierda
la
desde
21
21
M
V
V
H
R
m
q
V
H
R
d
i
En consecuencia, al reducir las fuerzas que actúan sobre la parte izquierda al baricentro de la sección 21,
se tiene:
 
     
         











































m
t
m
m
m
t
m
t
M
M
t
m
m
t
t
Q
P
t
H
P
x
x
y
y
z
z
26
,
46
50
,
1
3
5
3
92
,
22
92
,
7
3
5
92
,
22
10
izquierda
la
desde
21
21
21

 













3
3
4
4
1
1
y
de
n
composició
3
izquierda
la
desde
23
23
M
V
R
V
H
m
q
V
H
R
d
i
En G23 se tiene:
   
       
     


































m
t
m
t
M
M
M
t
t
m
m
t
t
Q
P
t
t
N
P
x
x
x
y
y
z
z
26
,
56
1
10
08
,
22
30
3
5
92
,
22
0
10
10
izquierda
la
desde
21
23
23
23

 













3
3
4
4
1
1
y
de
n
composició
3
izquierda
la
desde
3
3
M
V
R
V
H
m
q
V
H
R
d
i
En G3 se tiene:
   
       
   



































m
t
m
Q
M
M
M
t
t
m
m
t
t
Q
P
N
t
t
P
y
x
x
x
y
y
z
z
10
3
08
,
22
30
3
5
92
,
22
0
10
10
izquierda
la
desde
23
23
3
3
3

 
 













4
4
3
3
1
1 con
comp.
3
izquierda
la
desde
24
24
V
H
R
M
V
m
q
V
H
R
d
i
En G24 se tiene:
       
 
         
       
































































m
t
m
t
m
t
m
t
m
m
m
t
m
t
M
M
t
H
Q
P
t
t
m
m
t
t
N
P
x
x
y
y
z
z
10
98
,
9
3
92
,
22
10
5
,
1
3
5
3
92
,
22
10
30
08
,
22
3
5
92
,
22
izquierda
la
desde
24
24
24
1

Para la Sección 4, en este único caso se procede a determinar los esfuerzos característicos a partir de Rd
(debemos cambiar su signo para dibujarlas).
En G4 (izquierda) se tiene:
   
   



























0
10
10
n)
(compresió
30
30
derecha
la
desde
4
4
4
4
4
4
z
x
x
y
y
y
z
z
z
d
H
M
M
t
Q
t
Q
P
t
N
t
N
P
Vemos ahora, rápidamente, que sucede si planteamos terna derecha (recordemos que el signo de los
esfuerzos que deben graficarse son los que se obtienen descomponiendo la resultante derecha Rd en la
dirección de los 3 ejes coordenados de referencia):

a. Diagrama de características (terna derecha)

b. Algunas consideraciones finales
Haremos algunas consideraciones finales sobre el signo de las pendientes de las tangentes de los
diagramas de esfuerzos de corte y momento flexor, así como acerca de las concavidades de éste
último cunado la función es parabólica (aunque formalmente está relacionado íntimamente con el primer
tema).
Lo haremos para el caso de terna izquierda analizando los
diagramas de Qy y Mx de la barra 1-2. Para ello debemos
recordar que:
 
   
     
3
2






z
Q
dz
z
dM
z
q
dz
z
dQ
y
x
y
y
La expresión (2) nos dice que la pendiente de la recta tangente a la función Qy en cualquier punto
(posicionado mediante la abscisa “z”) viene dada por la ordenada de carga qy (que corresponde a ese
mismo punto) cambiada de signo.
Del mismo modo la expresión (3) nos dice que la pendiente de la recta tangente a la función Mx en un
punto cualquiera viene dada por el valor del esfuerzo de corte en ese mismo punto.
En el primer caso qy debe medirse en la escala de fuerzas empleada para graficar los esfuerzos de corte;
en el segundo caso, Qy debe medirse en la escala adoptada para el diagrama de momentos flexores.
En resumen, los diagramas de qy(z); Qy(z) y Mx(z) están íntimamente relacionados:

Por último podemos dar la siguiente regla práctica para verificar si la concavidad de la curva
representativa del diagrama de momentos flexores (de cargas distribuidas) es correcta:
“Se supone que la línea de cierre del diagrama de momentos es la vela de una embarcación y que la
carga distribuida representa la acción del viento, la concavidad correspondiente a la deformación de la
vela coincidirá con la del diagrama de momentos flexores.”

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