El documento describe diferentes métodos de modelización, incluyendo el método analítico, inductivo y deductivo. Explica que el método implica dividir un problema en partes para comprenderlo mejor. Además, presenta ejemplos de cada método, como un modelo poblacional de abejas y un modelo de división bacteriana.

1. Modelización: Métodos
Patricio Álvarez Opazo
OPP. Taller Estudio de Casos
Talca. Septiembre 2014

2. ¿Qué significa Método?
La palabra método proviene del latín methodus y este de las palabras griegas, «Meta» y «Hodos»
Meta (휇휀휏훼) = Más allá
Hodos (οδος)= Camino
Es decir, juntando el significado de las dos palabras, significarían « Camino para llegar más allá»

3. El método y Descartes
Descartes presentó su método en una obra inacabada, y anterior al Discurso, llamada «Las Reglas para la dirección del espíritu» (1627-1628). Donde define:
«Por método entiendo reglas ciertas y fáciles, mediante la observación exacta de las cuales se estará seguro de no tomar un error por una verdad y, sin malgastar inútilmente las fuerzas del propio espíritu, sino acrecentándolas por un progreso constante llegará al conocimiento verdadero de todo aquello de que sea capaz. En concreto, el método implica la observación escrupulosa de un orden»

4. Descartes en su libro «El Discurso del Método» (1637) propone un método que ha de ser matemático y universal.
1. Regla (Evidencia)
Es necesario tener información evidente que muestre el comportamiento de la situación de estudio.
2.Análisis
Dividir cada una de las dificultades en tantas partes como fuera posible para resolverlas mejor.

5. 3. Síntesis
Teniendo ya los elementos simples de un problema hay que reconstruirlo en toda su complejidad, deduciendo todas las ideas y consecuencias que se derivan de aquellos principios primeros absolutamente ciertos.
4. Comprobación
Realizar una comprobación si lo realizado previamente muestra el comportamiento de la situación de estudio.

6. Método Analítico
Es aquel método que consiste en la desmembración de un todo, descomponiéndolo en sus partes o elementos para observar las causas, la naturaleza y los efectos.
Supone una aproximación a la realidad y tiene por función básica la de ayudar a comprender las teorías y leyes de los objetos de estudio.
Además tiene como objetivo generalizar situaciones.
Real Academia Española. (2001). Diccionario de la lengua española (22.aed.). Consultado en http://www.rae.es/rae.html

7. Ejemplo: Formación de una colmena
Una abeja reina puede llegar a poner 2000 huevos por día. Esta cantidad depende del área disponible para la postura de huevos, de la calidad genética de la reina y de las condiciones florales y climáticas.
Cuando una reina disminuye su postura, las operarias responsables de la manutención de las larvas, promueven el desarrollo de una nueva reina. La nueva reina, luego de ser fecundada, retorna a la colmena desalojando a la reina vieja, la cual partirá para formar una nueva colmena. Acompañando a la reina le sigue un sequito de 10000 operarias.

8. Problema: Se desea establecer un modelo que estudie el comportamiento poblacional hasta que nacen las abejas operarias en la nueva colmena.
1.- Evidencia (Exploración del problema):
Una abeja operaria tarda en nacer 21 días.
Una colmena se inicia con una cantidad inicial de 10000 operarias.
La tasa de mortalidad de las abejas operarias es de 140.

9. 2.- Análisis
Se desea establecer un modelo poblacional en cuanto al periodo de adaptación de la colmena a partir de la postura de huevos hasta el día de su nacimiento (21 días)
Se establece como variable independiente el numero de días transcurridos.
Hipótesis: Las abejas operarias tienen edades distintas y equidistribuidas, es decir, de las 10000 iniciales, en cada día morirán 250, lo que corresponde a 140 de 10000 abejas.

10. 3.- Síntesis
Sea 푎(푛) la cantidad de abejas que hay en el n-esimo día de existencia de la nueva colmena, 0≤푛<21, luego se tiene:
푎(0)=10000
푎(1)=푎(0)−250
푎(2)=푎(1)−250=푎(0)−500=푎(0)−2(250)
푎(3)=푎(2)−250=푎(0)−750= 푎(0)−3(250)
Y generalizando se puede escribir:
푎(푛)=푎(0)−푛(250)

11. Así obtenemos un modelo que nos da información acerca de la cantidad de abejas en el n-ésimo día de existencia de la colmena con 푛<21.
푎푛=10000−250푛, 0 ≤푛<21 , con 푛 un número natural. Sin embargo este es un modelo discreto
푎푡=10000−250푡, 0 ≤푡<21, con t un numero real, obtenemos un modelo continuo.

12. 4.- Comprobación
Se desea establecer cuantas abejas quedarán los días 9 y 21 respectivamente.
푎9=10000−250∗9 =7750 푎푏푒푗푎푠
푎21=10000−250∗21 =4750 푎푏푒푗푎푠
.

13. Método Inductivo
Es una modalidad del razonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares o individuales.
Por ejemplo, a partir de la observación repetida de objetos o eventos de la misma índole se establece una conclusión general para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza.
Real Academia Española. (2001). Diccionario de la lengua española (22.aed.). Consultado en http://www.rae.es/rae.html

14. Ejemplo
Una bacteria se divide en dos cada una hora, determinar un modelo que muestre la cantidad de bacterias pasadas t-horas.
a) Observación: B(t)=2푡
B(0)=1
B(1)=2
B(2)=4
B(3)=8
b) Conjetura:
1+2+4+8+⋯…+ 2푛=2푛+1−1

15. c) Demostración:
Luego el modelo que indica el numero de bacterias pasadas t-horas será:
N(t)=2푡+1−1, con t e IR

16. Método Deductivo
El razonamiento deductivo, también llamado demostración o prueba, es el razonar a partir de hechos demostrados, utilizando pasos lógicamente válidos para llegar a una conclusión.
Real Academia Española. (2001). Diccionario de la lengua española (22.aed.). Consultado en http://www.rae.es/rae.html

17. Ejemplo:
Encontrar 3 números impares positivos que sumen 20.

18. Bibliografía
Aravena, M., Caamaño, C. & Giménez, J. (2008). Modelos matemáticos a través de proyectos. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 11(1) 49-92. Recuperado de http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=33511103
Bassanezi, R. Biembengut, M. (1997): Modelación matemática: Una antigua forma de investigación – Una nuevo método de enseñanza, Revista Números, N° 32, 13-25.
Fernandez, S., Cárdenas, A. & Mesa, F. (2006). Rene Descartes, Un Nuevo Método y una Nueva Ciencia. Scientia Et Technica, XII(32) 401-406. Recuperado de http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=84911652071