El documento describe los pasos para determinar la expresión de la ley inversa para la función f(x)=4-√5-3Logx/6-√5-Logx3. Los pasos incluyen igualar f(x) a Y, despejar x en términos de Y, e intercambiar x e Y para obtener la expresión de la ley inversa f-1(x).

1. Encada caso determinar la expresión de la ley inversa.
d) 𝑓(𝑥) =
4−√5−3𝐿𝑜𝑔𝑥
6−√5−𝐿𝑜𝑔𝑥3
Paso 1: Hacer 𝑓(𝑥) = 𝑌
𝑌 =
4 − √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥
6 − √5 − 𝐿𝑜𝑔𝑥3
Paso 2: Despejar X
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el término:
6 − √5 − 𝐿𝑜𝑔𝑥3
(6 − √5 − 𝐿𝑜𝑔𝑥3) ∗ 𝑌 =
4 − √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥
6 − √5 − 𝐿𝑜𝑔𝑥3
∗ (6 − √5 − 𝐿𝑜𝑔𝑥3)
(6 − √5 − 𝐿𝑜𝑔𝑥3) ∗ 𝑌 = 4 − √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥
Efectuemos la operación distributiva.
6𝑌 − 𝑌√5 − 𝐿𝑜𝑔𝑥3 = 4 − √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥
Agrupemos las X de un solo lado de la igualdad. Para esto sumaremos de
ambos lados el término √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥
6𝑌 − 𝑌√5 − 𝐿𝑜𝑔𝑥3 + √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 = 4 − √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 + √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥
6𝑌 − 𝑌√5 − 𝐿𝑜𝑔𝑥3 + √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 = 4
Apliquemos la propiedad logarítmica 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑏
= 𝑏𝐿𝑜𝑔𝑎
6𝑌 − 𝑌√5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 + √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 = 4
Sacando Factor común √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥, nuestra ecuación queda como:
6𝑌 + √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 ∗ (1 − 𝑌) = 4
Sumando −6𝑌 de ambos lados.
6𝑌 + √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 ∗ (𝑌 + 1) − 6𝑌 = 4 − 6𝑌

2. √5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 ∗ (𝑌 + 1) = 4 − 6𝑌
Dividiendo la igualdad entre (𝑌 + 1)
√5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 ∗ (𝑌 + 1)
(𝑌 + 1)
=
4 − 6𝑌
(𝑌 + 1)
√5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 =
4 − 6𝑌
(𝑌 + 1)
Al elevar ambos lados de la igualdad al cuadrado nos queda:
(√5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥)
2
= (
4 − 6𝑌
(𝑌 + 1)
)
2
5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 = (
4 − 6𝑌
(𝑌 + 1)
)
2
Todos los términos que no sean X deen estar de un solo lado de la
ecuación, para ello sumamos -5 de ambos lados.
5 − 3𝐿𝑜𝑔𝑥 − 5 = (
4 − 6𝑌
(𝑌 + 1)
)
2
− 5
−3𝐿𝑜𝑔𝑥 = (
4 − 6𝑌
(𝑌 + 1)
)
2
− 5
Multiplicando por -1
3𝐿𝑜𝑔𝑥 = 5 − (
4 − 6𝑌
(𝑌 + 1)
)
2
Dividamos entre 3.
3𝐿𝑜𝑔𝑥
3
=
5 − (
4 − 6𝑌
(𝑌 + 1)
)
2
3
𝐿𝑜𝑔𝑥 =
5 − (
4 − 6𝑌
(𝑌 + 1)
)
2
3
Finalmente aplicando logaritmo de base 10 obtenemos el valor de X

3. 10 𝐿𝑜𝑔𝑥
= 10
5−(
4−6𝑌
(𝑌+1)
)
2
3
𝑥 = 10
5−(
4−6𝑌
(𝑌+1)
)
2
3
Paso 3: Cambiar X por Y, y viceversa.
𝑌 = 10
5−(
4−6𝑥
(𝑥+1)
)
2
3
Y para finalizar, devolvamos el cambio de variable 𝑓(𝑥) = 𝑌
𝑓(𝑥) = 10
5−(
4−6𝑥
(𝑥+1)
)
2
3