1) El límite de f(x) cuando x se acerca a -2 por la izquierda y derecha es -4, por lo que el límite cuando x se acerca a -2 es -4. El límite de f(x) cuando x se acerca a 2 no existe. 2) El límite de la función cuando x se acerca a π/6 es -2/3. 3) El límite de 1 - cos2x cuando x se acerca a 0 dividido por 4x2 es 1/2.

1. 1) Si 𝑓(𝑥) = {
−4 𝑠𝑖 𝑥 < −2
𝑥3
2
𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 2
𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
Hallar
a)
lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→−2−
−4 = −4
lim
𝑥→−2+
𝑥3
2
=
(−2)3
2
= −4
lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = − 4
b)
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→2−
𝑥3
2
=
(2)3
2
= 4
lim
𝑥→2+
𝑥 − 1 = 2 − 1 = 1
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = ∄
2)
lim
𝑥→ 𝜋
6
𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋
6
)
𝐶𝑜𝑠 𝑥 − √3
2
=
𝑆𝑒𝑛 (
𝜋
6
− 𝜋
6
)
𝐶𝑜𝑠
𝜋
6
− √3
2
=
𝑆𝑒𝑛(0)
√3
2
−
√3
2
0
0
Hacemos cambio de variable
𝑦 = 𝑥 −
𝜋
6
=> 𝑥 = 𝑦 +
𝜋
6
Luego si
𝑥 →
𝜋
6
=> 𝑦 → 0
Asi
lim
𝑥→ 𝜋
6
𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋
6
)
𝐶𝑜𝑠 𝑥 − √3
2
= lim
𝑦→0
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
𝐶𝑜𝑠 (𝑦 + 𝜋
6
) − √3
2
Por propiedad de Cos (α+β)=cos α cos β – sen α sen β

2. lim
𝑦→0
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
𝐶𝑜𝑠(𝑦)𝐶𝑜𝑠
𝜋
6
− 𝑆𝑒𝑛(𝑦)𝑆𝑒𝑛
𝜋
6
− √3
2
lim
𝑦→0
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
√3
2
𝐶𝑜𝑠(𝑦) −
1
2
𝑆𝑒𝑛(𝑦) − √3
2
lim
𝑦→0
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
√3
2
(𝐶𝑜𝑠(𝑦) − 1) −
1
2
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
lim
𝑦→0
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
√3
2
(𝐶𝑜𝑠(𝑦) − 1) −
1
2
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
.
1
𝑦
1
𝑦
lim
𝑦→0
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
𝑦
√3
2
(
𝐶𝑜𝑠(𝑦) − 1
𝑦
) −
1
2
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
𝑦
lim
𝑦→0
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
𝑦
lim
𝑦→0
√3
2
(
𝐶𝑜𝑠(𝑦) − 1
𝑦
) − lim
𝑦→0
1
2
𝑆𝑒𝑛(𝑦)
𝑦
=
1
√3
2
(0) −
1
2
(1)
= −2
3)
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
4𝑥2
=
1 − 𝑐𝑜𝑠2(0)
4(0)2
0
0
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
4𝑥2
= lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
(2𝑥)2
lim
𝑥→0
[
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
(2𝑥)2
.
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
]
lim
𝑥→0
12
− 𝑐𝑜𝑠2
2𝑥
(2𝑥)2(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2
2𝑥
(2𝑥)2(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2
2𝑥
(2𝑥)2
lim
𝑥→0
1
(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
= (lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2𝑥
)
2
lim
𝑥→0
1
(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
Si
𝑥 → 0 => 2𝑥 → 2.0

3. 2𝑥 → 0
( lim
2𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2𝑥
)
2
lim
2𝑥→0
1
(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
= (1)2
.
1
1 + 1
= 1.
1
2
=
1
2
4) Hallar K sabiendo que la función es continua en -2
𝑓(𝑥) = { 𝑥3
𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
𝑘𝑥2
− 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > −2
Para ser continua estas tres condiciones deben ser iguales
𝐼) 𝑓(−2) = −8
𝐼𝐼) lim
𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2−
𝑥3
= (−2)3
= −8
lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2+
𝑘𝑥2
− 2𝑥 = 𝑘(−2)2
− 2(−2) = 4𝑘 + 4
𝐼𝐼𝐼) lim
𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = 𝑓(−2)
4𝑘 + 4 = −8
4𝑘 = −8 − 4
4𝑘 = −12
𝑘 = −
12
4
= −3
5) hallar las asíntotas verticales y horizontales de la grafica de la ecuación
𝑥𝑦2
− 𝑦2
− 4𝑥 − 8 = 0
𝑥𝑦2
− 𝑦2
= 4𝑥 + 8
𝑦2(𝑥 − 1) = 4𝑥 + 8
𝑦2
=
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
𝑦 = ±√
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
Dominio
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
≥ 0 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑥 − 1 = 0 𝑡𝑎𝑙 𝑥 ≠ 1
4(𝑥 + 2)
𝑥 − 1
≥ 0 =>
𝑥 + 2
𝑥 − 1
≥ 0

4. -∞ -2 1 + ∞
-3 0 0
X+2 - + +
x-1 - - +
+ - -
decrece crece Decrece
Dominio
𝑥 ∈ (−∞, −2] ∪ (1, +∞)
Como tenemos una restricción de denominador tenemos un punto de
Asintota vertical en x=1
lim
𝑥→1+
√
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
=
4(1+) + 8
1+ − 1
= +∞
lim
𝑥→1−
√
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
=
4(1−) + 8
1− − 1
= −∞
Para la asíntota horizontal
lim
𝑥→∞
√
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
= √lim
𝑥→∞
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
= √lim
𝑥→∞
4𝑥
𝑥
+
8
𝑥
𝑥
𝑥
−
1
𝑥
= √lim
𝑥→∞
4 +
8
𝑥
1 −
1
𝑥
= √
4 + 0
1 − 0
= 2
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = −2
Por tanto y= 2 y y=-2 son asíntotas horizontales
6) sea g(x)=2x2+x calcular g´(x) por definición
𝑔(𝑥) = 2𝑥2
+ 𝑥
𝑔´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ

5. = lim
ℎ→0
2(𝑥 + ℎ)2
+ (𝑥 + ℎ) − 2𝑥2
− 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥2
+ 4𝑥ℎ + 2ℎ2
+ 𝑥 + ℎ − 2𝑥2
− 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
4𝑥ℎ + 2ℎ2
+ ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(4𝑥 + 2ℎ + 1)
ℎ
= lim
ℎ→0
4𝑥 + 2ℎ + 1 = 4𝑥 + 2(0) + 1 = 4𝑥 + 1
7) hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio
𝑓(𝑥) = {
−2 𝑠𝑖 𝑥 < −1
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 3
2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→−1−
−2 = −2
lim
𝑥→−1+
𝑎𝑥 + 𝑏 = −𝑎 + 𝑏
lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥)
−2 = −𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏 = 2
lim
𝑥→3
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→3−
𝑎𝑥 + 𝑏 = 3𝑎 + 𝑏
lim
𝑥→3+
2 = 2
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥)
3𝑎 + 𝑏 = 2
Entonces
{
3𝑎 + 𝑏 = 2
𝑎 − 𝑏 = 2
4𝑎 = 4
𝑎 = 1
Sustituyendo

6. 1 − 𝑏 = 2
−𝑏 = 2 − 1
−𝑏 = 1
𝑏 = −1