El documento explica cómo derivar funciones compuestas que involucran variables dependientes e independientes. Indica que para derivar parcialmente z con respecto a t o s, donde z depende de x e y, y x e y dependen de t y s, se aplica la regla de la cadena para derivadas parciales. También muestra cómo derivar parcialmente z con respecto a otra variable, r, cuando z depende de y, y y depende de u que a su vez depende de r y s.

1. 14.4
En los ejercicios dibuje un diagrama de árbol y escriba una fórmula
de la regla de la cadena para cada derivada.
19
𝝏𝒛
𝝏𝒕
𝒚
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) ; 𝒙 = 𝒈(𝒕, 𝒔) ; 𝒚 = 𝒉(𝒕, 𝒔)
Sea z=f(x, y) una función de dos variables. En primer lugar
consideramos el caso en el que cada una de sus variables x e y
so8fn a su vez funciones de las variables independientes t y s con
lo z=f(x (t, s), y (t, s))
 Será la función de t. las variables x e y denominan variables
intermediarios y la variable final.
𝜕𝑧
𝜕𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑡
 Será la función de s. las variables x e y denominan variables
intermediarios y la variable final.
𝜕𝑧
𝜕𝑠
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑠

2. 20.
𝝏𝒛
𝝏𝒓
𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒚 = 𝒇(𝒖) ; 𝒖 = 𝒈(𝒓, 𝒔)
𝜕𝑦
𝜕𝑢
=
𝜕𝑦
𝜕𝑢
.
𝜕𝑢
𝜕𝑟