El documento explica el concepto y aplicación de la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. También cubre la derivación implícita, que se usa para derivar funciones definidas implícitamente por una ecuación en lugar de explícitamente. Incluye ejemplos de aplicar estas técnicas para calcular derivadas.

2. DERIVADAS
Cristian Camilo Penagos Torres
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. DERIVADAS REGLA DE CADENA
REGLA DE LA CADENA
Si y = f(u) es una funci´on derivable de u y adem´as u = g(x) es una funci´on
derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una funci´on derivable de x y
dy
dx
=
dy
du
·
du
dx
o equivalentemente
d
dx
[f(g(x))] = f (g(x))g (x)

4. DERIVADAS REGLA DE CADENA
EJEMPLO: APLICACI ´ON REGLA DE LA CADENA
Encuentre la derivada de f(x) =
x
3
√
x2 + 4
Reescribimos la funci´on de la siguiente forma:
f(x) =
x
(x2 + 4)1/3
Ahora, derivamos utilizando de regla de cociente y la regla de la cadena.
f (x) =
(x2 + 4)1/3(1) − x(1/3)(x2 + 4)−2/3(2x)
(x2 + 4)2/3
=
1
3
(x2
+ 4)−2/3 3(x2 + 4) − (2x2)(1)
(x2 + 4)2/3
=
x2 + 12
3(x2 + 4)4/3

5. DERIVADAS REGLA DE CADENA
EJEMPLO: APLICACI ´ON REGLA DE LA CADENA
Encuentre la derivada de g(t) = sin3
(4t)
Reescribimos la funci´on de la siguiente forma:
g(t) = (sin 4t)3
Ahora, derivamos utilizando la regla de cadena.
g (t) = 3(sin 4t)2 d
dt
[sin 4t]
= 3(sin 4t)2
(cos 4t)
d
dt
[4t]
= 3(sin 4t)2
(cos 4t)4
= 12(sin 4t)2
(cos 4t)
= 12 sin2
4t · cos 4t

6. DERIVADAS REGLA DE CADENA
EJEMPLO: APLICACI ´ON REGLA DE LA CADENA
Encuentre la derivada de g(t) = sin3
(4t)
Reescribimos la funci´on de la siguiente forma:
g(t) = (sin 4t)3
Ahora, derivamos utilizando la regla de cadena.
g (t) = 3(sin 4t)2 d
dt
[sin 4t]
= 3(sin 4t)2
(cos 4t)
d
dt
[4t]
= 3(sin 4t)2
(cos 4t)4
= 12(sin 4t)2
(cos 4t)
= 12 sin2
4t · cos 4t

7. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
Hasta ahora, hemos considerado funciones que pueden expresarse mediante la
ecuaci´on y = f(x), que expresa y expl´ıcitamente en t´erminos de la variable x.
Sin embargo, algunas funciones se definen impl´ıcitamente por medio de una
relaci´on entre x y y, como pueden ver en la gr´afica, donde no es posible
despejar la variable y en t´erminos de x, a´un as´ı nuestro objetivo es encontrar
dy/dx mediante la derivaci´on impl´ıcita.

8. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
¿C ´OMO DERIVAR IMPLICITAMENTE?
Supongamos que la variable y es una funci´on derivable de x. Para c´alcular
dy/dx haga:
1. Derivar, con respecto a x, ambos lados de la ecuaci´on tratando a y como
una funci´on derivable de x (aplicamos las reglas usuales de derivaci´on)
2. Agrupar los t´erminos con dy/dx en un lado de la ecuaci´on y despejar
dy/dx.

9. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
EJEMPLO
Encuentre la recta tangente a la curva x4 + x2y3 − y5 = 2x + 1 en el punto
(0, −1).

10. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
EJEMPLO
d
dx
(x4
+ x2
y3
− y5
) =
d
dx
(2x + 1)
4x3
+ 2xy3
+ 3x2
y2 dy
dx
− 5y4 dy
dx
= 2
3x2
y2 dy
dx
− 5y4 dy
dx
= 2 − 4x3
− 2xy3
y2 dy
dx
3x2
− 5y2
= 2 − 4x3
− 2xy3
dy
dx
=
2 − 4x3 − 2xy3
y2(3x2 − 5y2)
As´ı, dy
dx x=0
= −2
5, y la recta tangente es:
y = −
2
5
x − 1

11. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
DERIVACI ´ON DE FUNCIONES LOGAR´ITMICAS
Si y = loga x, se quiere encontrar
dy
dx
y = loga x ⇐⇒ ay = x. Utilizando derivaci´on impl´ıcita se tiene:
d
dx
(ay
) =
d
dx
(x)
ay
ln (a)
dy
dx
= 1
dy
dx
=
1
ay ln a
dy
dx
=
1
x ln a

12. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
EJEMPLO
Calcule
d
dx
ln
x1/2(2x + 7)4
(3x2 + 1)2
d
dx
ln
x1/2(2x + 7)4
(3x2 + 1)2
= ln x1/2
(2x + 7)4
− ln (3x2
+ 1)2
= ln x1/2
+ ln (2x + 7)4
− ln (3x2
+ 1)2
dy
dx
=
1
ay ln a
dy
dx
=
1
x ln a
DERIVACI ´ON LOGAR´ITMICA
A menudo, el c´alculo de derivadas que involucran productos, cocientes y
potencias suelen ser algo complicadas, pero pueden simplificarse utilizando
logar´ıtmos, a este proceso se le llama derivaci´on logar´ıtmica.

13. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
PASOS DE LA DERIVACI ´ON LOGAR´ITMICA
Utilizaremos la derivaci´on logar´ıtmica para calcular y = f(x) = xx
1. Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la ecuaci´on y = f(x), utilizar
las leyes de los logaritmos para simplificar.
ln y = ln (xx
)
= x ln (x)
2. Derive impl´ıcitamente respecto a x.
1
y
dy
dx
= 1 ln (x) + x
1
x
3. Resolver la ecuaci´on resultante para dy
dx
dy
dx
= y (ln (x) + 1)
dy
dx
= xx
(ln (x) + 1)