Este documento presenta una serie de ejercicios sobre conjuntos parcialmente ordenados y reticulados. En el primer ejercicio, se pide encontrar cotas, elementos maximales y minimales, máximo y mínimo para dos conjuntos dados. En el segundo ejercicio, se pide construir el dígrafo asociado a un diagrama de Hasse. En el tercer ejercicio, se analiza si un conjunto dado es un reticulado distributivo y se encuentran complementarios para dos vértices, analizando también si una figura dada es subreticulado.

1. Universidad Fermín Toro
Vice-Rectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Cabudare, Edo. Lara
EJERCICIOS 2
Alumno: Nelson Ramón Rodríguez Vargas
C.I: 21.725.009
Sección: SAIAA
Cabudare, Estado Lara

2. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} el conjunto representado por el siguiente diagrama de Hasse y
Sea E = {2, 3, 4} encontrar:
a) Cotas superiores e inferiores de E
Cota superior=1,2 (Estossonlos puntosque se encuentranpor encimade E a loscualesse
puede llegar a cada elemento de E)
Cota inferior= 5, 6, 7, 8, 9 (Estos son los puntos que se encuentran por debajo de E a los
cuales se puede llegar a cada elemento de E)
b) Elementos maximales y minimales de E
Maxilales= 2
Minimales= 3,4
c) Máximo y mínimo de E
Máximo= 2
Mínimo= No posee ya que no existe un elemento único que lleve a todos los demás
elementos de E.
d) Cotas superiores minimales y cotas inferiores maximales de E
Cota superior minimal= 2
Cota inferior maximal= No posee ya que 5 y 6 no son comparables.
e) Supremo e infimo de E
Supremo= 2
Infimo= No posee ya que 5 y 6 no son comparables.
Sea F = {5, 6, 7}, encontrar:
f) Cotas superiores e inferiores de F
Cotasuperior=1, 2,3, 4 (Estossonlospuntosque seencuentranporencimadeEaloscuales
se puede llegar a cada elemento de E)
Cota inferior=7,8,9 (Estossonlospuntosque se encuentranpordebajode Ea loscualesse
puede llegar a cada elemento de E)
g) Supremo e infimo de F
Supremo= En la cota superior 3 y 4 no con comparables por lo tanto no posee supremo.
Infimo= 7

3. 2. Dado el diagrama de Hasse anterior encontrar el dígrafo asociado al mismo utilizando el
algoritmo.

4. 3. Para el siguiente CPO:
Demostrar si es un reticulado. En caso afirmativo, demostrar además, si es distributivo, encontrar
los complementarios para los vértices f y h y demostrar si la figura B es subreticulado de este.
Es reticuladoyaque el conjuntoposee unsupremo(L) y un infimo(A) para cada elemento
del conjunto.
Comprobamos si es distributivo:
Para {A,B,C}
A+(B.C) = (A.B) + (A.C)
A+A=A+A
A=A
Se cumple para {A,B,C}
Para {B,C,D}
B+(C.D)= (B.C) + (B.D)
B+A=A+A
D=A
No se cumple para {B,C,D}
Con lo que concluimosque noes distributivayaque para que se cumplaesto cada conjunto{x,y,z}
que pertenezca a L (L={A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L}) se debe cumplir que x+(y.z) = (x.y) + (x.z).

5. Completos de F son I,J.
Demostrandolo:
F+J= L; F+I=L
F.J=B; F.I=B
Usando las leyes distributivas se tiene:
J = J +B = J + (F.I) = (F + J)( J + I)
= (F + J)( J + I)
= L (J + I)
= L .L
=L
I = I + B = I + (F. J) = (I + F)( I + J)
= (F + J)( J + I)
= L .L
= L
Se concluye entonces que J = I y el complemento de F es único.
Completos de H son J,K.
Demostrandolo:
H+J= L; H+K=L
H.J=E; H.K=E
Usando las leyes distributivas se tiene:
J = J +E = J + (H.K) = (H + J)( J + K)
= (H + J)( J + K)
= L (J + K)
= L .L
=L
K = K + E = K + (H. J) = (K + H)( K + J)
= (H + J)( J + K)
= L .L
= L

6. Se concluye entonces que J = K y el complemento de H es único.
FIGURA B
Para ser un subreticuladode debe poseerunsupremoy un infimoparacada elementodel
conjunto.El subrecituladodelaFIGURA Bposee uninfimo(A)paratodosperonoposee unsupremo
para {F,G}, con lo cual podemos concluir que no es un subrecticulado.