Ejercicios de Criterio de Falla & Kirsch

Fundamentos de Geomecánica Ingeniería Civil de Minas
Preparado por Ivo Fritzler Universidad de Santiago de Chile
Clase de Ejercicios N°2
Prosecución de Estudios
Profesor : Cristián Orrego
Ayudantes : Ivo Fritzler, Víctor Yelicich
Fecha : Sábado 22 de octubre de 2016
1. Ejercicios
1.1. Soluciones Elásticas de Kirsch
a. Se está evaluando la construcción de dos acueductos emplazados 150 m bajo la superficie, con
la finalidad de transportar petróleo desde el sector de explotación a una planta de refinamiento,
las labores presentan un diámetro de 4 y 2 metros respectivamente, están paralelas entre sí,
son horizontales en dirección NS y a una distancia desde sus centros de 18 metros (H), a través
de estas se presenta una falla como se aprecia en la siguiente ilustración.
Ilustración 1 – Vista frontal acueductos de petróleo
Estimaciones preliminares del macizo rocoso indican que presenta una densidad de 2.65 t/m3
y un estado tensional hidrostático (asuma una gravedad de 10 m/s2
), además para la falla se
ha determinado una cohesión de 4.6 MPa y un ángulo de fricción de 35°.
Se solicita determinar:
- Nuevo estado tensional en el punto P debido a excavaciones. (Puede apoyarse en la razón
de esfuerzos principales secundarios)
- Nuevo estado tensional en la falla y además determinar si esta se activará o no debido a
las labores realizadas.

b. Mediante el sistema de medición triaxial de esfuerzos Hollow Inclusion se ha determinado el
siguiente estado tensional, que representa los esfuerzos principales del sector estudiado:
Tabla 1 – Estado tensional a partir de medición HI
σx [MPa] σy [MPa] σz [MPa] τxy [MPa] τyz [MPa] τxz [MPa]
40 28 33 12 -8 6
En dicho sector, se requiere analizar la construcción de dos piques de traspaso, los cuales están
perpendiculares al plano horizontal, los centros de los piques se encuentran distanciados a 20
metros (H) alineados por un azimut de 115°, presentan diámetros de 5 metros y se emplazan a
300 m bajo la superficie, como se aprecia a continuación.
Ilustración 2 – Vista superior piques de traspaso
Referente al macizo rocoso, se estimó un peso unitario de 28.3 kN/m3
(asuma gravedad de 9.8
m/s2
), además se determinó sus propiedades según Hoek & Brown, obteniendo los siguientes
valores mi=12, σci=40 MPa y se determinó un GSI de 75 para el macizo rocoso.
- Esfuerzos por excavaciones en pilar P según HI, ¿Cómo se comportan los esfuerzos?
- Si las razones de esfuerzo fuesen KNS=1.3, KEW=1.5, ¿Cuáles serían los nuevos esfuerzos in-
situ?, realice el mismo análisis para el pilar P, ¿Qué método es más conservador por HI o
el clásico?
- Estabilidad en el punto P.

1.2. Criterio de Falla
a. Para la realización de una nueva línea de metro, se está evaluando el estado tensional del sector,
para ello se tomaron muestras de testigos de roca del sector de interés los cuales se sometieron
a ensayos de Compresión Simple, Triaxiales y de Tracción indirecta como se aprecia en la Tabla
2, la excavación se emplaza a 200 metros bajo la superficie y el macizo presenta una densidad
de 2.7 t/m3
, además se ha estimado un GSI de 60 a 80, el cual no presenta daños por voladura.
(asuma una gravedad de 10 m/s2
).
Tabla 2 – Resultados Ensayos de Laboratorio
Ensayos de Tracción
Indirecta
Ensayos de
Compresión Simple
Ensayos Triaxiales
σ3 [MPa] σ1 [Mpa] Ruptura
TI Ruptura UCS Ruptura 7 160 M
12 M 154 M 7 162 M
10 M 132 E 10 184 M
13 M 160 M 12 92 M
8 E 158 M 16 250 M
*M: Ruptura por Matriz, E: Ruptura por Estructura
- Envolvente de Hoek & Brown y Mohr-Coulomb para roca intacta.
- Determine las propiedades de Hoek & Brown para macizo rocoso.
- Envolvente de Hoek & Brown para macizo rocoso.
- Módulo de deformación para macizo rocoso.

b. Se ha realizado un estudio para determinar el comportamiento tensional de un talud, es por
esto que se han realizado una serie de ensayos como se aprecia en la tabla 3, dicho talud tiene
una altura de 150 metros, referente al macizo rocoso, densidad de 2.7 t/m3
, presenta
estructuras rugosas y 4 familias estructurales, además de pequeños daños por tronadura.
(considere una gravedad de 9.8 m/s2
)
Tabla 3 – Resultados de Ensayos a Talud
Ensayos de Tracción
Indirecta
Ensayos de Compresión
Simple
Ensayos Triaxiales
TI Ruptura UCS Ruptura σ3 [MPa] σ1 [Mpa] Ruptura
6 M 40 M 2 72 M
3 E 69 M 4 98 M
5 M 60 E 8 116 M
4 M 70 M 8 93 E
6 M 48 M 16 162 M
7 M 80 E 4 88 M
7 M 83 M 7 76 E
5 E 54 M 8 117 M
8 M 55 M 16 179 M
*M: Ruptura por Matriz, E: Ruptura por Estructura
- Envolvente de Hoek & Brown y Mohr-Coulomb para roca intacta y macizo rocoso.
- Para la envolvente de Mohr-Coulomb de macizo rocoso determinar parámetros de
Cohesión y Fricción, además de la expresión en función de esfuerzos combinados (normal
y cortante).
- Módulo de deformación del macizo rocoso.
- Resistencia a la Tracción y Compresión Uniaxial del macizo rocoso.

2. Expresiones
2.1. Soluciones Elásticas de Kirsch
Esfuerzos in-situ
- Vertical o Litostático
σV = ρ ∙ g ∙ h
- Horizontal
σH = K ∙ σV
- Condición hidrostática
K = 1
Esfuerzos inducidos
- Por distancia “r”
σrr=
(σx+σy)
2
(1 −
a2
r2) +
(σx−σy)
2
(1 + 3
a4
r4 − 4
a2
r2) cos 2θ
- Por ángulo “θ”
σθθ=
(σx+σy)
2
(1 +
a2
r2) −
(σx−σy)
2
(1 + 3
a4
r4) cos 2θ
- Por cortante “rθ”
σrθ= −
(σx−σy)
2
(1 − 3
a4
r4 + 2
a2
r2) sin 2θ
Esfuerzos inducidos para condición hidrostática
- Por distancia “r”
σrr = σV (
1+K
2
) (1 −
a2
r2) − σV (
1−K
2
) (1 + 3
a4
r4 − 4
a2
r2) cos 2θ
- Por ángulo “θ”
σθθ = σV (
1+K
2
) (1 +
a2
r2) + σV (
1−K
2
) (1 + 3
a4
r4) cos2θ
- Por cortante “rθ”
σrθ = σV (
1−K
2
) (1 + 3
a4
r4 − 4
a2
r2) sin2θ
Rotación de esfuerzos
- Rotación “r”
σrr´=
(σrr+σθθ)
2
(1 −
a2
r2) +
(σrr−σθθ)
2
(1 + 3
a4
r4 − 4
a2
r2) cos(2θ′)

- Rotación “θ”
σθθ´=
(σrr+σθθ)
2
(1 +
a2
r2) −
(σrr−σθθ)
2
(1 + 3
a4
r4) cos(2θ′)
- Rotación “rθ”
σrθ´= −
(σrr−σθθ)
2
(1 − 3
a4
r4 + 2
a2
r2) sin(2θ′)
Principio de Superposición de esfuerzos
- Para esfuerzos normales
σind = σin situ + ∑(σindexc i
− σin situ)
n
i=1
- Para cortantes
τind = τin situ + ∑(τindexc i
− τin situ)
n
i=1
Esfuerzos principales
σP,Q =
σx + σy
2
± √((
σx − σy
2
)
2
+ τxy
2)
Razón de Anisotropía
σP
σQ
Factor de seguridad
FS =
Fresistido
Faplicado
=
σresistido ∙ A
σaplicado ∙ A
- Estabilidad en Fallas
FS =
C + tan ϕ ∙ σn
τaplicado
- Estabilidad en Macizo Rocoso
FS =
σ3 + σci (mb
σ3
σci
+ s)
a
σ1aplicado

Ensayos
Los ensayos que presenten ruptura por estructura deben ser descartados.
Deben presentar una correlación aceptable al momento de visualizarlo (graficar), los que se escapen de
la tendencia general deben ser descartados, si son demasiados y siguen una tendencia distinta, puede
significar que existe otra unidad geotécnica, se deberá realizar un estudio por separado en ese caso.
- Tracción Indirecta (TI)
Corrección
−0.77 ∙ TI
Equivale
σ3
- Compresión Simple o Uniaxial (UCS)
Equivale
σ1
- Triaxial
Equivale
σ1, σ3
Roca Intacta
- Criterio de Hoek & Brown
σ1′ = σ3′ + σci (mi
σ3
′
σci
+ 1)
0.5
Regresión lineal
(σ1 − σ3)2
= miσci ∙ σ3 + σci
2
Correlación de datos
𝑟2
=
[∑ 𝑥𝑦 − (
∑ 𝑥 ∑ 𝑦
𝑛 )]
2
[
∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)2
𝑛 ] [
∑ 𝑦2 − (∑ 𝑦)2
𝑛 ]
- Envolvente de Mohr-Coulomb
En función de esfuerzos combinados (normal y cortante)
τ = c + tanϕ ∙ σN

En función de esfuerzos principales
σ′1 =
2 ∙ c ∙ cosϕ
1 − senϕ
+
1 + senϕ
1 − senϕ
∙ σ′3
Regresión lineal
σ1 = σcm + K ∙ σ3
σcm =
2 ∙ c ∙ cosϕ
1 − senϕ
, K =
1 + senϕ
1 − senϕ
Correlación de datos
𝑟2
=
[∑ 𝑥𝑦 − (
∑ 𝑥 ∑ 𝑦
𝑛 )]
2
[
∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)2
𝑛 ] [
∑ 𝑦2 − (∑ 𝑦)2
𝑛 ]
Ángulo de fricción
ϕ = sin−1
(
K − 1
K + 1
)
Cohesión de partículas
c =
σc𝑚
2√𝐾
Macizo Rocoso
- Criterio de Hoek & Brown
σ1
′
= σ3
′
+ σci (mb
σ3
′
σci
+ s)
a
Parámetros
mb = mi ∙ e
(
GSI−100
28−14D
)
, s = e
(
GSI−100
9−3D
)
, a =
1
2
+
1
6
(e
(
−GSI
15
)
− e
(
−20
3
)
)
- Envolvente de Mohr-Coulomb
En función de esfuerzos combinados (normal y cortante)
τ = c′ + tanϕ′ ∙ σN
En función de esfuerzos principales
σ1′ =
2 ∙ c′
∙ cosϕ′
1 − senϕ′
+
1 + senϕ′
1 − senϕ′
∙ σ3′

σ′cm =
2 ∙ c′
∙ cosϕ′
1 − senϕ′
, K´ =
1 + senϕ′
1 − senϕ′
σ′cm = σci ∙
(mb + 4 ∙ s − a ∙ (mb − 8 ∙ s)) ∙ (
mb
4 + s)
a−1
2 ∙ (1 + a) ∙ (2 + a)
Cohesión de partículas
c′ =
σ′cm
2√K′
Ángulo de fricción
ϕ′
= sin−1
[
6 ∙ a ∙ mb ∙ (s + mb ∙ 𝛔′ 𝟑𝐧)a−1
2 ∙ (1 + a) ∙ (2 + a) + 6 ∙ a ∙ mb ∙ (s + mb ∙ 𝛔′ 𝟑𝐧)a−1
]
σ′3n =
σ′3máx
σci
σ′3máx
=
σci
4
…...[Caso general]
σ′3máx
= 0.47 ∙ σ′cm ∙ (
σ′cm
γH
)
−0.94
[Túneles]
σ′3máx
= 0.72 ∙ σ′cm ∙ (
σ′cm
γH
)
−0.91
[Taludes]
***Para Túneles, si 𝜎 𝐻 > 𝛾 ∙ 𝐻 ⇒ reemplazar 𝛾 ∙ 𝐻 por 𝜎 𝐻 en 𝜎′3 𝑚á𝑥
***
- Módulo de deformación
Em[GPa] = (1 −
D
2
) √
σci
100
10
(
GSI−10
40
)
, si σci ≤ 100 MPa
Em[GPa] = (1 −
D
2
) 10
(
GSI−10
40
)
, si σci > 100 MPa
- Resistencia a la tracción
σt = −
sσci
mb
- Resistencia a la Compresión Simple o Uniaxial
σc = σcisa

Tablas
Geological Strength Index (GSI), Hoek & Marinos

Blast Damage Factor D, Evert Hoek

3. Terminología
3.1. Soluciones elásticas de Kirsch
σV: Esfuerzo vertical o Litostático [MPa]
σH: Esfuerzo horizontal [MPa]
K: Razón esfuerzos horizontal-vertical [Adim.]
g: Gravedad [m/s2
]
𝝆: Densidad de la roca [t/m3
]
σx,y: Esfuerzos in situ [MPa]
σrr,θθ,rθ: Esfuerzos inducidos por distancia r, ángulo θ y
cortante rθ respectivamente [MPa]
σrr,θθ,rθ′: Esfuerzos inducidos rotados [MPa]
a: Radio de la excavación [m]
r: Distancia “r” desde centro de excavación a punto de
interés [m]
σ, τind: Esfuerzo normal y cortante inducidos por excavación
respectivamente [MPa]
σ, τin situ: Esfuerzos in situ, naturales o pre minería [MPa]
σP,Q: Esfuerzos principales máximo y mínimo
respectivamente [MPa]
FS: Factor de seguridad, permite determinar qué tan
estable es un sector [1<inestable, 1=incertidumbre,
1>estable]
TI: Ensayo de Tracción Indirecta [MPa]
UCS: Ensayo de Compresión Simple o Uniaxial [MPa]
σ1,3: Esfuerzos Principales [MPa]
σ1,3′: Esfuerzos Principales en función de una envolvente
(variables) [MPa]
σci: Resistencia a la compresión uniaxial para roca intacta
[MPa]
mi: Constante del tipo de material [Adim.]
a, s: Constantes del macizo rocoso [Adim.]
σN: Esfuerzo normal [MPa]
τ: Esfuerzo de corte [MPa]
c: Cohesión de Partículas [MPa]
c′: Cohesión de Partículas a nivel de macizo rocoso
[MPa]
ϕ: Ángulo de fricción a escala roca intacta [°]
ϕ′
: Ángulo de fricción a escala macizo rocoso [°]
σcm: Resistencia a la compresión uniaxial global para roca
intacta [MPa]
σ′cm: Resistencia del macizo rocoso global [MPa]
mb: Valor reducido de la constante mi [Adim.]
K: Constante en función de ángulos de fricción para roca
intacta [Adim.]
K′: Constante en función de ángulos de fricción para
macizo rocoso [Adim.]
GSI: Índice que califica calidad de macizo rocoso
D: Factor que depende de calidad de macizo rocoso y
tronadura
σ′3n: Constante que varía según tipo de excavación [Adim.]
σ′3máx
: Límite superior del esfuerzo de confinamiento [MPa]
γ: Peso unitario de la roca [kN/m3
]
H: Altura o profundidad de talud o excavación
respectivamente [m]
σt: Resistencia a la tracción para macizo rocoso [MPa]
σc: Resistencia a la compresión uniaxial para macizo
rocoso [MPa]
Em: Módulo de deformación para macizo rocoso [GPa]

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