El documento presenta los pasos resueltos de varios ejercicios de mecánica de rocas. El Ejercicio 13 involucra el cálculo de ángulos de fricción y tensiones para una probeta de roca sometida a compresión. El Ejercicio 14 calcula el ángulo de fricción pico, coeficiente de seguridad y tensión requerida de un anclaje para estabilizar una trinchera en una junta de roca.

1. EJERCICIOS 13-20
(excepto 19)
MECÁNICA DE ROCAS
Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Alberto Ruiz-Cabello López
22 de Enero de 2010

2. MECÁNICA DE ROCAS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES
Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
EJERCICIO 13
1º. El ángulo de dilatancia, ߭, y el ángulo de rotura de la probeta respecto de su base, ߚజ, tienen la
siguiente relación:
ߚ߭
= 45˚ +
߭
2
= 52.5˚ ⟹ ߭ = 15˚
Conociendo la ley de fluencia de la roca, se puede determinar el ángulo de rozamiento interno:
sin ߥ =
sin ߩ
2
⟹ sin 15˚ =
sin ߩ
2
⟹ ߩ = 31.17˚
Por último, conocido el ángulo de rozamiento interno y el ángulo de dilatancia, se puede deducir, por
trigonometría, el ángulo de rozamiento instantáneo durante la rotura de la probeta mediante la
expresión:
sin ϕ =
sin ρ
cosሺρ − νሻ
⟹ sin ϕ =
sin 31.17
cosሺ31.17 − 15ሻ
⟹ ϕ = 32.61˚
2º. La rotura de la probeta se produce con ߪଵ = 240 ‫;ܽܲܯ‬ a la vez se verifica que:
ߪଵ
ߪଷ
= 6 ⟹ ߪଷ = 40 ‫ܽܲܯ‬
Calcularemos ahora el valor de las tensiones para ϕ = 32.61˚ mediante la expresión del círculo de Mohr
en el estado tensional de la probeta. Los valores de la posición del centro ‫݌‬ y el radio ‫ݍ‬ del círculo de
Mohr resultan:
‫݌‬ =
ߪଵ + ߪଷ
2
=
240 + 40
2
= 140 ‫ܽܲܯ‬
‫ݍ‬ =
ߪଵ − ߪଷ
2
=
240 − 40
2
= 100 ‫ܽܲܯ‬
Por tanto, el valor de las tensiones será:
߬ = ‫݌‬ cos ϕ = 140 cos 32.61 ˚ = 84.24 ‫ܽܲܯ‬
ߪ = ‫ݍ‬ − ‫݌‬ cos ϕ = 100 − 140 sin 32.61 ˚ = 86.11 MPa
Para determinar los parámetros ߚ y ߞ emplearemos la expresión paramétrica de la envolvente de Mohr
para el criterio de rotura de Hoek & Brown; por una parte:
߬
ߚ
=
1 − sin ߶
tan ߶
⟹ ߚ =
߬
1 − sin ߶
tan ߶
=
84.24
1 − sin 32.61˚
tan 32.61˚
= 116.88 ‫ܽܲܯ‬
Por otro lado:
ߞ =
ሺ1 − sin ߶ሻଶ
2 sinଶ ߶
ሺ1 + 2 sin ߶ሻ −
ߪ
ߚ
=
ሺ1 − sin 32.61˚ሻଶ
2 sinଶ 32.61˚
ሺ1 + 2 sin 32.61˚ሻ −
86.11
116.88
= 0.024

3. MECÁNICA DE ROCAS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES
Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Conociendo el RMR del macizo se puede determinar el valor de ݉଴ mediante la expresión:
ߞ =
8
݉଴
ଶ ݁
ோெோିଵ଴଴
ଶହ.ଶ ⟹ ݉଴ = ඨ
8
ߞ
݁
ோெோିଵ଴଴
ଶହ.ଶ = ඨ
8
0.024
݁
଺଴ିଵ଴଴
ଶହ.ଶ = 8.26
Finalmente, el valor de la resistencia a compresión simple ߪ௖ se determinará por medio de la relación:
ߚ =
݉଴ߪ௖
8
݁
ோெோିଵ଴଴
ଶ଼ ⟹ ߪ௖ =
8ߚ
݉଴݁
ோெோିଵ଴଴
ଶ଼
=
8 · 116.88
8.26݁
଺଴ିଵ଴଴
ଶ଼
= 473.9 ‫ܽܲܯ‬
3º. Valor de ݉଴:
݉଴ = 8.26

4. MECÁNICA DE ROCAS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES
Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
EJERCICIO 14
1º. Ángulo de rozamiento de pico de la junta más desfavorable.
La junta más desfavorable, por el tamaño de la posible cuña inestable que genera, es la que arranca
desde la base de la trinchera. Vista en perfil, estaría representada por una recta trazada desde la base
formando 45˚ con el plano horizontal. El peso de la cuña por metro de longitud de trinchera es el
siguiente:
ܲ௖௨ñ௔ =
1
2
ሺ8 · 8ሻߛ௥௢௖௔ = 32ߛ௥௢௖௔
La longitud real de la junta, ‫ܮ‬ே, y la tensión normal sobre la junta quedan:
‫ܮ‬ே =
8
cos 45˚
= 11.31 ݉
ߪ௡ =
ܲ௖௨ñ௔ cos 45˚
‫ܮ‬ே
= 2.0ߛ௥௢௖௔
Calculamos los valores de JRC y JCS para la longitud real de la junta:
‫ܵܥܬ‬ = ߪ௖ = 20 ‫ܽܲܯ‬
‫ܥܴܬ‬ே = ‫ܥܴܬ‬ ൬
‫ܮ‬ே
0.1
൰
ି଴.଴ଶ௃ோ஼
= 10 ൬
11.31
0.1
൰
ି଴.଴ଶ·ଵ଴
= 3.88
‫ܵܥܬ‬ே = 20 ൬
‫ܮ‬ே
0.1
൰
ି଴.଴ଷ௃ோ஼
= 20 ൬
11.31
0.1
൰
ି଴.଴ଷ·ଵ଴
= 4.84 ‫ܽܲܯ‬
Dado que las juntas están sanas ߮௥ = ߮௕ = 30˚. Cuando ‫ܥܴܬ‬ே ߪ௖⁄ > 50, el ángulo de rozamiento de
pico viene dado por la expresión:
߮௣ = ߮௥ + 1.7‫ܥܴܬ‬ே
La desigualdad antes formulada supone que:
ߪ௖ <
‫ܵܥܬ‬ே
50
=
4.84
50
= 0.0968 ‫ܽܲܯ‬
Y dado que:
ߪ௖ = 2.0ߛ௥௢௖௔ ⟹ 2.0ߛ௥௢௖௔ < 0.0968 ‫ܽܲܯ‬ ⟹ ߛ௥௢௖௔ < 0.0484 ‫ܽܲܯ‬ = 48.4
݇ܰ
݉ଷ
Esta límite superior de densidad de la roca se verifica de forma casi general; luego se puede asumir el
valor constante de ߮௣:
߮௣ = ߮௥ + 1.7‫ܥܴܬ‬ே = 30 + 1.77 · 3.88 = 36.6˚

5. MECÁNICA DE ROCAS
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2º. Coeficiente de seguridad de la trinchera. La capacidad resistente de la junta a esfuerzo rasante,
según el criterio de Barton, es la siguiente:
߬‫ܮ‬ே = ߪ௡ tan ߮௣ ‫ܮ‬ே = 2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே tan 36.6˚
Por otra parte, la componente tangencial del peso de la cuña a lo largo de la junta:
ሺܲ௧ሻ௖௨ñ௔ = ܲ௖௨ñ௔ sin 45˚ =
32ߛ௥௢௖௔ cos 45˚
‫ܮ‬ே
‫ܮ‬ே = ߪ௡‫ܮ‬ே = 2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே
Tendremos pues que el coeficiente de seguridad de la junta será:
‫ܵܥ‬ =
߬‫ܮ‬ே
ሺܲ௧ሻ௖௨ñ௔
=
2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே tan 36.6˚
2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே
= tan 36.6˚ = 0.743
3º. Supondremos que el anclaje forma un ángulo ߙ con la normal al plano de la junta. El tal caso, el valor
de la resultante de las fuerzas normales a la junta, llamando ܶ a la tensión del anclaje, queda:
‫ܨ‬௡ = ߪ௡‫ܮ‬ே + ܶ cos ߙ = 2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே + ܶ cos ߙ
Y por otra parte, la resultante de las fuerzas actuantes según la dirección de la junta queda (con
resultante desestabilizadora):
‫ܨ‬ௗ = ሺܲ௧ሻ௖௨ñ௔ − ܶ sin ߙ = 2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே − ܶ sin ߙ
Imponemos la condición del enunciado sobre el valor del coeficiente de seguridad:
‫ܵܥ‬ =
‫ܨ‬௡
‫ܨ‬ௗ
tan ߮௣ =
2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே + ܶ cos ߙ
2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே − ܶ sin ߙ
tan 36.6˚ = 1.5 ⟹
1.5ሺ2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே − ܶ sin ߙሻ = ሺ2.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே + ܶ cos ߙሻ tan 36.6˚ ⟹
−ܶሺ1.5 sin ߙ + tan 36.6˚ cos ߙሻ + 3.0ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே − 2.0 tan 36.6˚ ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ே = 0 ⟹
ܶ =
ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ேሺ3.0 − 2.0 tan 36.6˚ሻ
ሺ1.5 sin ߙ + tan 36.6˚ cos ߙሻ
Queremos obtener el valor mínimo de ܶ para un determinado valor de ߙ; derivamos por tanto la
expresión de ܶ en función de ߙ:
߲ܶ
߲ߙ
= −
ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ேሺ3.0 − 2.0 tan 36.6˚ሻ
ሺsin ߙ + tan 36.6˚ cos ߙሻଶ
ሺ1.5 cos ߙ − tan 36.6˚ sin ߙሻ
Igualando a 0 la derivada se obtiene:
߲ܶ
߲ߙ
= 0 ⟹ ሺ1.5 cos ߙ − tan 36.6˚ sin ߙሻ = 0 ⟹ tan ߙ =
1.5
tan 36.6˚
= 2.02 ⟹
ߙ = 63.66˚
que es independiente del valor de ߛ௥௢௖௔.

6. MECÁNICA DE ROCAS
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Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Calculamos ahora el valor de la tensión en el anclaje, que sí depende del valor de la densidad, por lo que
supondremos ߛ௥௢௖௔ = 25 ݇ܰ/݉ଷ
:
ܶ =
ߛ௥௢௖௔‫ܮ‬ேሺ3.0 − 2.0 tan 36.6˚ሻ
ሺ1.5 sin ߙ + tan 36.6˚ cos ߙሻ
= 255.87
݇ܰ
݈݉
4º. Si la zanja se inunda, el peso efectivo de la cuña será:
ܲ௖௨ñ௔ = 32ሺߛ௥௢௖௔ − 10ሻ = 32ሺ25 − 10ሻ = 480 ݇ܰ
La resultante de las fuerzas normales a la junta:
‫ܨ‬௡ = ܲ௖௨ñ௔ cos 45˚ + ܶ cos ߙ = 480 cos 45˚ + 255.87 cos 63.66˚ = 452.94 ݇ܰ
Y por otra parte, la resultante de las fuerzas actuantes según la dirección de la junta queda (con
resultante desestabilizadora):
‫ܨ‬ௗ = ܲ௖௨ñ௔ sin 45˚ − ܶ sin ߙ = 480 sin 45˚ − 255.87 sin 63.66˚ = 110.11 ݇ܰ
Por tanto, el nuevo coeficiente de seguridad resulta:
‫ܵܥ‬ =
‫ܨ‬௡
‫ܨ‬ௗ
tan ߮௣ =
452.94
110.11
tan 36.6˚ = 3.05
5º. Si el agua desciende forma súbita y no se produce drenaje a través de la junta, tendremos una
subpresión en la misma que no estará compensada por el empuje hidrostrático en la cara vertical de la
cuña. Esta subpresión no compensada es claramente desfavorable, pues reduce el valor de la tensión
normal en la junta. Se rige por una ley de tipo triangular y tiene un valor máximo en el arranque de la
trinchera, igual a:
‫݌‬௔௥௥௔௡௤௨௘ = 8 ݉ · 10
݇ܰ
݉ଷ
= 80
݇ܰ
݉ଶ
En el borde superior de la junta la subpresión es nula, y por tanto la resultante de la ley triangular será:
ܵ =
1
2
‫݌‬௔௥௥௔௡௤௨௘‫ܮ‬ே =
1
2
80 · 11.31 = 452.4 ݇ܰ
La resultante de las fuerzas normales a la junta (considerando como densidad para la roca ߛ௥௢௖௔ se tiene
ܲ௖௨ñ௔ = 800 ݇ܰ):
‫ܨ‬௡ = ܲ௖௨ñ௔ cos 45˚ + ܶ cos ߙ − ܵ = 800 cos 45˚ + 255.87 cos 63.66˚ − 452.4 ⟹
‫ܨ‬௡ = 226.81 ݇ܰ
Y por otra parte, la resultante de las fuerzas actuantes según la dirección de la junta queda (con
resultante desestabilizadora):
‫ܨ‬ௗ = ܲ௖௨ñ௔ sin 45˚ − ܶ sin ߙ = 800 sin 45˚ − 255.87 sin 63.66˚ = 336.38 ݇ܰ

7. MECÁNICA DE ROCAS
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Por tanto, el nuevo coeficiente de seguridad resulta:
‫ܵܥ‬ =
‫ܨ‬௡
‫ܨ‬ௗ
tan ߮௣ =
226.81
336.38
tan 36.6˚ = 0.5

8. MECÁNICA DE ROCAS
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EJERCICIO 15
1º. La rugosidad de la junta se puede relacionar con el valor del parámetro JRC. Para una junta tipo
ondulante rugosa, clasificada como R4, se estima un valor de JRC de 20, que se con corresponde una
longitud de la junta de 10 cm. El valor para la probeta, donde ‫ܮ‬ே = 0.5 ݉, será:
‫ܥܴܬ‬ே = ‫ܥܴܬ‬ ൬
‫ܮ‬ே
0.1
൰
ି଴.଴ଶ௃ோ஼
= 20 ൬
0.5
0.1
൰
ି଴.଴ଶ·ଶ଴
= 10.51
La dilatancia de pico, ݀௡, se relaciona con el parámetro JRC de la roca, con su resistencia a compresión
simple, ߪ௖, y con la tensión normal actuante sobre la junta, ߪ௡, por medio de la expresión:
݀௡ =
‫ܥܴܬ‬ே
2
logଵ଴
ߪ௖
ߪ௡
=
10.51
2
logଵ଴
50
0.3
= 11.67
2º. La junta crítica forma un ángulo de 25˚ con la horizontal, y su proyección sobre ésta es de 40 m; por
tanto, la longitud ‫ܮ‬ே de la junta será:
‫ܮ‬ே =
40
cos 25˚
= 44.19 ݉
Aplicando el factor de escala para JRC, obtenemos:
‫ܥܴܬ‬ே = ‫ܥܴܬ‬ ൬
‫ܮ‬ே
0.1
൰
ି଴.଴ଶ௃ோ஼
= 20 ൬
44.19
0.1
൰
ି଴.଴ଶ·ଶ଴
= 1.75
Dado que la junta no presenta alteración, se tiene:
‫ܵܥܬ‬ = ߪ௖ = 50 ‫ܽܲܯ‬
߮௥ = ߮௕ = 30˚
Y para el tamaño real de la junta:
‫ܵܥܬ‬ே = ‫ܵܥܬ‬ ൬
‫ܮ‬ே
0.1
൰
ି଴.଴ଷ௃ோ஼
= 50 ൬
44.19
0.1
൰
ି଴.଴ଷ·ଶ଴
= 1.29 ‫ܽܲܯ‬
Para determinar el valor de la tensión normal actuante sobre la junta real, ߪ௡, es preciso calcular el peso
de la posible cuña inestable, que tiene forma triangular. Esta cuña se representa sombreada en la
siguiente imagen:

9. MECÁNICA DE ROCAS
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Se puede deducir calcular el área de la cuña como diferencia de las áreas de los triángulos rectángulos
mayor y menor que contiene la representación:
‫ܣ‬௖௨ñ௔ =
1
2
40 · 40 −
1
2
40 · 40 · tan 25˚ = 426.95 ݉ଶ
El peso de la cuña y el valor de la tensión normal en la junta debida al peso, ሺߪ௡ሻ௉, resultan entonces:
ܲ௖௨ñ௔ = ‫ܣ‬௖௨ñ௔ߛ௥௢௖௔ = 426.95 · 25 = 10679 ݇ܰ
ሺߪ௡ሻ௉ =
10679 cos 25˚
44.19
= 0.219 ‫ܽܲܯ‬
A lo largo de la junta, en una longitud ‫ܮ‬ே, actúa una presión hidrostática (subpresión) que sigue una ley
triangular, máxima en el borde en contacto con el agua, de valor 5 ݉ · 10
௞ே
௠మ = 50
௞ே
௠௟
, y mínima en el
borde opuesto, en el que se hace nula. Para estimar la tensión normal sobre la junta, supondremos que
la presión hidrostática sobre la misma actúa con un valor medio, ሺߪ௡ሻ௛௦:
ሺߪ௡ሻ௛௦ =
1
2
50 · 44.19
44.19
= 0.025 ‫ܽܲܯ‬
Aun se tiene una tercera fuerza actuando sobre la cuña que es el empuje hidrostático en la pared
vertical de la misma, de valor total:
‫ܧ‬ =
1
2
5 · 5 · 10 = 125
݇ܰ
݈݉
De la misma forma, supondremos que su componente normal a la junta, ሺߪ௡ሻ௛௘, reparte su efecto
tensional uniformemente: ሺߪ௡ሻ௛௘
ሺߪ௡ሻ௛௘ =
125 sin 25˚
44.19
= 0.00119 ‫ܽܲܯ‬
La tensión normal sobre la junta queda:
ߪ௡ = ሺߪ௡ሻ௉ − ሺߪ௡ሻ௛௦ − ሺߪ௡ሻ௛௘ = 0.219 − 0.025 − 0.00119 = 0.192 ‫ܽܲܯ‬
Se puede calcular ahora el ángulo de rozamiento de pico para junta:
߮௣ = ߮௥ + ‫ܥܴܬ‬ே logଵ଴
‫ܵܥܬ‬ே
ߪ௡
= 30 + 1.75 logଵ଴
1.29
0.192
= 31.44˚

10. MECÁNICA DE ROCAS
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3º. Descomponiendo todas las fuerzas que actúan sobre la cuña según el plano de deslizamiento de la
misma, se puede obtener el coeficiente de seguridad resultante de la acción de las fuerzas
estabilizadoras y desestabilizadoras. Fuerzas estabilizadoras (rozamiento):
‫ܨ‬௘௦௧௔௕௜௟௜௭௔ௗ௢௥௔௦ = ‫ܨ‬௥௢௭௔௠௜௘௡௧௢ = ߪ௡‫ܮ‬ே tan ߮௣ = 0.192 · 44.19 tan 31.44˚ ·= 5.17 ‫ܰܯ‬ = 5170 ݇ܰ
Fuerzas desestabilizadoras (empuje y peso):
‫ܨ‬ௗ௘௦௘௦௧௔௕௜௟௜௭௔ௗ௢௥௔௦ = ‫ܧ‬ cos 25˚ + ܲ௖௨ñ௔ sin 25˚ = 125 cos 25˚ + 10679 sin 25˚ = 4626.43 ݇ܰ
El coeficiente se seguridad queda:
‫ܵܥ‬ =
‫ܨ‬௘௦௧௔௕௜௟௜௭௔ௗ௢௥௔௦
‫ܨ‬ௗ௘௦௘௦௧௔௕௜௟௜௭௔ௗ௢௥௔௦
=
5170
4626.43
= 1.12
4º. Cuando se coloca un dren a una distancia ‫ݔ‬ del pie del bloque, la subpresión en la junta mantiene la
forma triangular y el valor máximo, 50
௞ே
௠௟
, sigue estando en el borde en contacto con el agua. Ahora
bien, en este caso la subpresión se hace nula en el contacto del dren con la junta, de tal manera que la
longitud de la junta afectada por la misma deja de ser ‫ܮ‬ே, y resulta ahora:
‫ܮ‬ௌ =
40 − ‫ݔ‬
cos 25˚
que genera el siguiente empuje:
ܵ =
1
2
50
40 − ‫ݔ‬
cos 25˚
y una tensión normal sobre la junta:
ሺߪ௡ሻ௛௦ =
25ሺ40 − ‫ݔ‬ሻ
cos 25˚
44.19
= 0.625ሺ40 − ‫ݔ‬ሻ · 10ିଷ
‫ܽܲܯ‬
La tensión normal sobre la junta es ahora:
ߪ௡ = ሺߪ௡ሻ௉ − ሺߪ௡ሻ௛௦ − ሺߪ௡ሻ௛௘ = 0.219 − 0.625 · 10ିଷሺ40 − ‫ݔ‬ሻ − 0.00119 =
0.192 + 0.000625‫ݔ‬ ‫ܽܲܯ‬
Por tanto, el ángulo de rozamiento de pico queda:
߮௣ = ߮௥ + ‫ܥܴܬ‬ே logଵ଴
‫ܵܥܬ‬ே
ߪ௡
= 30 + 1.75 logଵ଴
1.29
0.192 + 0.000625‫ݔ‬
y las fuerzas estabilizadoras (las desestabilizadoras no varían):
‫ܨ‬௘௦௧௔௕௜௟௜௭௔ௗ௢௥௔௦ = ‫ܨ‬௥௢௭௔௠௜௘௡௧௢ = ߪ௡‫ܮ‬ே tan ߮௣ =
ሺ0.192 + 0.000625‫ݔ‬ሻ44.19 tan ൬30 + 1.75 logଵ଴
1.29
0.192 + 0.000625‫ݔ‬
൰ 10ଷ
݇ܰ

11. MECÁNICA DE ROCAS
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El coeficiente de rozamiento ha de valer un 10% más que el anterior, por tanto:
‫ܵܥ‬ = 1.12 ∗ 1.10 = 1.232 =
‫ܨ‬௘௦௧௔௕௜௟௜௭௔ௗ௢௥௔௦
‫ܨ‬ௗ௘௦௘௦௧௔௕௜௟௜௭௔ௗ௢௥௔௦
=
ሺ192 + 0.625‫ݔ‬ሻ9.55 · 10ିଷ
tan ൬30 + 1.75 logଵ଴
1.29
0.192 + 0.000625‫ݔ‬
൰
Realizando tanteos se llega al siguiente valor de ‫:ݔ‬
‫ݔ‬ = 31.3 ݉

12. MECÁNICA DE ROCAS
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EJERCICIO 16
El valor del índice RMR del macizo rocoso se obtiene a partir de la evaluación de 6 parámetros; 5 de
ellos son intrínsecos al macizo: resistencia a compresión simple de la roca intacta, RQD, espaciamiento
de las discontinuidades, características de las discontinuidades y condiciones hidráulicas. El sexto
parámetro depende de la orientación de las discontinuidades y del tipo de obra que se considere
(túneles, minas…); no disponemos de datos para evaluar este último parámetro. Para cada parámetro
de evaluación se define una puntuación; la suma de todos los puntos es el valor RMR. La siguiente tabla
resume la evaluación de los diferentes parámetros:
PARÁMETROS PUNTUACIÓN
Resistencia a compresión simple
ߪ௖ = 100 ‫ܽܲܯ‬
10
RQD
20%
3
Separación de diaclasas
‫ݏ‬ଵ =
ଵ
ହ
= 0.2 ݉, ‫ݏ‬ଶ =
ଵ
ଷ
= 0.33 ݉, ‫ݏ‬ଷ =
ଵ
ଷ
= 0.5 ݉
‫ݏ‬௠ entre 0.2 y 0.6 m
10
Estado de las discontinuidades
Longitud
Gran persistencia
0
Apertura
Valor entre 0.2 mm y 0.5 mm
3
Rugosidad
Muy rugosas
6
Relleno
No existe relleno
6
Alteración
No están alteradas
6
Condiciones hidráulicas
Ligeramente húmedas
10
RMR 54

13. MECÁNICA DE ROCAS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES
Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
EJERCICIO 17
Datos:
• Número de expediente: 0085.
• Profundidad del techo del medio rocoso: ‫ݖ‬ = ‫ܪ‬௦ = 5 + 5 = 10 ݉.
• Resistencia a compresión simple de la roca: ܴ = ߪ௖ = 8 + 1 = 9 ‫.ܽܲܯ‬
• ‫ܫܵܩ‬ ≈ ܴ‫ܴܯ‬ = 5‫01ݔ‬ + 5 = 55% (se adopta el 5 como centena),
• Peso específico sumergido del medio aluvial arenoso y limoso muy suelto: ߛ௦
ᇱ
= 15 ݇ܰ/݉ଷ
.
• Peso específico sumergido del medio rocoso de tipo argilítico: ߛ௥
ᇱ
= 20 ݇ܰ/݉ଷ
.
• Diámetro de la maquinaria de ejecución de los pilotes: ‫ܦ‬ = 1 ݉.
1º. La carga de hundimiento por punta de un pilote sobre roca tiene la expresión:
‫ݍ‬௉௉ = ߚሺܰఉ − ߞሻ‫ݏ‬ఉ
donde:
• ‫ݏ‬ఉ es el factor de forma, que oscila habitualmente entre 1.3 y 1.5 y satisface que ‫ݏ‬ఉ ≥ 1.
Adoptaremos ‫ݏ‬ఉ = 1 (criterio conservador).
• ܰఉ es el factor de carga, que depende de ߞ, del factor de empotramiento ݊, de valor ‫ܪ‬ோ/‫ܦ‬ y
del factor adimensional ℎ௠
∗
= ℎ௠/ߚ, donde ℎ௠ es la presión del terreno a la cota del punto
medio del tramo empotrado del pilote.
Los parámetros adimensionales ߚ y ߞ no dependen de la profundidad de empotramiento en roca del
pilote; se determinan con carácter general:
ߚ =
݉଴ߪ௖
8
݁
ோெோିଵ଴଴
ଶ଼ =
4 · 9
8
݁
ହହିଵ଴଴
ଶ଼ = 0.902 ‫ܽܲܯ‬
ߞ =
8
݉଴
ଶ ݁
ோெோିଵ଴଴
ଶହ.ଶ =
8
4ଶ
݁
ହହିଵ଴଴
ଶହ.ଶ = 0.0838
Donde se ha adoptado ݉଴ = 4 para argilitas (véase tabla).
PROFUNDIDAD DE EMPOTRAMIENTO DE 0 m:
Valor de ℎ௠:
ℎ௠ = ߛ௦
ᇱ
‫ܪ‬௦ = 15 · 10 = 150
݇ܰ
݉ଶ
= 0.15 ‫ܽܲܯ‬
Valor de ℎ௠
∗
:
ℎ௠
∗
=
ℎ௠
ߚ
=
0.15
0.902
= 0.166

14. MECÁNICA DE ROCAS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES
Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Para ℎ௠
∗
≤ 1 (carga pequeña) y ݊ = 0, se puede obtener el valor de ܰఉ mediante gráficos. Tenemos:
ߞ = 0.01 ⟹ ܰఉ = 12
ߞ = 0.1 ⟹ ܰఉ = 13
Interpolando para ߞ = 0.0838:
ܰఉ = 12 +
13 − 12
0.1 − 0.01
ሺ0.0838 − 0.01ሻ = 12.82
La carga de rotura queda por tanto:
‫ݍ‬௉௉ = ߚ൫ܰఉ − ߞ൯‫ݏ‬ఉ = 0.902ሺ12.82 − 0.0838ሻ1 = 11.49 ‫ܽܲܯ‬
PROFUNDIDAD DE EMPOTRAMIENTO DE 2 m:
Valor de ℎ௠:
ℎ௠ = ߛ௦
ᇱ
‫ܪ‬௦ + ߛ௥
ᇱ
‫ܪ‬ோ
2
= 15 · 10 + 20
2
2
= 170
݇ܰ
݉ଶ
= 0.17 ‫ܽܲܯ‬
Valor de ℎ௠
∗
:
ℎ௠
∗
=
ℎ௠
ߚ
=
0.17
0.902
= 0.188
Para ℎ௠
∗
≤ 1 (carga pequeña) y ݊ = 2, se puede obtener el valor de ܰఉ mediante gráficos. Tenemos:
ߞ = 0.01 ⟹ ܰఉ = 17
ߞ = 0.1 ⟹ ܰఉ = 19
Interpolando para ߞ = 0.0838:
ܰఉ = 17 +
19 − 17
0.1 − 0.01
ሺ0.0838 − 0.01ሻ = 18.64
La carga de rotura queda por tanto:
‫ݍ‬௉௉ = ߚ൫ܰఉ − ߞ൯‫ݏ‬ఉ = 0.902ሺ18.64 − 0.0838ሻ1 = 16.74 ‫ܽܲܯ‬
PROFUNDIDAD DE EMPOTRAMIENTO DE 4 m:
Valor de ℎ௠
∗
:
ℎ௠ = ߛ௦
ᇱ
‫ܪ‬௦ + ߛ௥
ᇱ
‫ܪ‬ோ
2
= 15 · 10 + 20
4
2
= 190
݇ܰ
݉ଶ
= 0.19 ‫ܽܲܯ‬

15. MECÁNICA DE ROCAS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES
Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Valor de
ℎ௠
∗
=
ℎ௠
ߚ
=
0.19
0.902
= 0.211
Para ℎ௠
∗
≤ 1 (carga pequeña) y ݊ = 4, se puede obtener el valor de ܰఉ mediante gráficos. Tenemos:
ߞ = 0.01 ⟹ ܰఉ = 19.5
ߞ = 0.1 ⟹ ܰఉ = 23.5
Interpolando para ߞ = 0.0838:
ܰఉ = 19.5 +
23.5 − 19.5
0.1 − 0.01
ሺ0.0838 − 0.01ሻ = 22.78
La carga de rotura queda por tanto:
‫ݍ‬௉௉ = ߚ൫ܰఉ − ߞ൯‫ݏ‬ఉ = 0.902ሺ22.78 − 0.0838ሻ1 = 20.47 ‫ܽܲܯ‬
2º.
Porcentaje de beneficio obtenido al pasar de 0 a 2 m la profundidad de empotramiento:
16.74 − 11.49
11.49
100 = 45.69%
Porcentaje de beneficio obtenido al pasar de 0 a 4 m la profundidad de empotramiento:
22.78 − 11.49
11.49
100 = 98.3%
Porcentaje de beneficio obtenido al pasar de 2 a 4 m la profundidad de empotramiento:
22.78 − 16.74
16.74
100 = 36.08%
3º. Adoptamos el nuevo RMR:
ܴ‫ܴܯ‬ =
55
2
= 27.5
Los nuevos parámetros ߚ y ߞ serán ahora:
ߚ =
݉଴ߪ௖
8
݁
ோெோିଵ଴଴
ଶ଼ =
4 · 9
8
݁
ଶ଻.ହିଵ଴଴
ଶ଼ = 0.338 ‫ܽܲܯ‬
ߞ =
8
݉଴
ଶ ݁
ோெோିଵ଴଴
ଶହ.ଶ =
8
4ଶ
݁
ଶ଻.ହିଵ଴଴
ଶହ.ଶ = 0.0282

16. MECÁNICA DE ROCAS
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Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Y el valor de ℎ௠
∗
para ‫ܪ‬ோ = 0 ݉:
ℎ௠
∗
=
ℎ௠ሺ‫ܪ‬ோ = 0 ሻ
ߚ
=
0.15
0.338
= 0.444
Para ℎ௠
∗
≤ 1 (carga pequeña) y ݊ = 0, se puede obtener el valor de ܰఉ mediante gráficos. Tenemos:
ߞ = 0.01 ⟹ ܰఉ = 15
ߞ = 0.1 ⟹ ܰఉ = 18
Interpolando para ߞ = 0.0838:
ܰఉ = 15 +
18 − 15
0.1 − 0.01
ሺ0.0282 − 0.01ሻ = 15.61
La carga de rotura queda por tanto:
‫ݍ‬௉௉ = ߚ൫ܰఉ − ߞ൯‫ݏ‬ఉ = 0.902ሺ15.61 − 0.0838ሻ1 = 14.0 ‫ܽܲܯ‬
4º.
Porcentaje de la carga a compresión simple que corresponde a la carga de hundimiento para ݊ = 0:
11.49
9
100 = 128%
Porcentaje de la carga a compresión simple que corresponde a la carga de hundimiento para ݊ = 2:
16.74
9
100 = 186%
Porcentaje de la carga a compresión simple que corresponde a la carga de hundimiento para ݊ = 4:
22.78
9
100 = 253%

17. MECÁNICA DE ROCAS
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Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
EJERCICIO 18
Datos:
• Número de expediente: 0085.
• Profundidad del techo del medio rocoso: ‫ݖ‬ = ‫ܪ‬ௌ = 5 + 5 = 10 ݉.
• Resistencia a compresión simple de la roca: ܴ = ߪ௖ = 8 + 1 = 9 ‫.ܽܲܯ‬
• ‫ܫܵܩ‬ ≈ ܴ‫ܴܯ‬ = 5‫01ݔ‬ + 5 = 55% (se adopta el 5 como centena),
• Peso específico sumergido del medio aluvial arenoso y limoso muy suelto: ߛ௦
ᇱ
= 15 ݇ܰ/݉ଷ
.
• Peso específico sumergido del medio rocoso de tipo argilítico: ߛ௥
ᇱ
= 20 ݇ܰ/݉ଷ
.
• Diámetro de la maquinaria de ejecución de los pilotes: ‫ܦ‬ = 1 ݉.
5º. Carga de hundimiento por fuste para profundidades de 10, 15 y 30 m en el tramo argilítico.
Expresión de la resistencia por fuste de un pilote empotrado en toca:
ܳி = ߨ‫ܪܦ‬ோߚ߬௙௠
∗
donde:
• ‫ܪ‬ோ: longitud de empotramiento en roca.
• ߚ =
௠ఙ೎
଼
; ݉ = ݉௜݁
ೃಾೃషభబబ
మఴ .
• ߬௙௠
∗
: resistencia media al corte a lo largo de la longitud de empotramiento.
El valor de ߬௙௠
∗
se puede expresar a partir del ángulo de rozamiento interno de la roca al inicio (ρ୧) y al
final (ρ୤) de la longitud de empotramiento (véase el artículo Shaft resistence of a pile embedded in rock;
I.J. Rock Mechanics and Mining Sciences; Serrano & Olalla). La expresión es la siguiente:
߬௙௠
∗
=
Tሺρ୤ሻ − Tሺρ୧ሻ
Sሺρ୤ሻ − Sሺρ୧ሻ
donde:
ܵሺߩሻ =
1
2
൬
1 − sin ߩ
sin ߩ
൰
ଶ
ሺ1 + 2 sin ߩሻ
ܶሺߩሻ =
cotanଷ
ߩ
3
−
cotanଶ
ߩ
2
cos ߩ + ൬
1 − sin ߩ
2
൰ cos ߩ +
1
2
ln ቀtan
ߩ
2
ቁ −
ߩ
2
Para determinar ρ୧ y ρ୤ se ha de aplicar el criterio de resistencia de Hoek & Brown a partir del valor de la
presión horizontal ߪ௛
∗
al inicio y al final de la longitud de empotramiento. Se tiene que:
ߪ௛
∗
= ‫ܭ‬଴ߪ௩
∗
donde ‫ܭ‬଴ representa el coeficiente de proporcionalidad (coeficiente de empuje) entre ߪ௛
∗
y ߪ௛
∗
. ‫ܭ‬଴
verifica la desigualdad:
‫ܭ‬଴ ≤ 1

18. MECÁNICA DE ROCAS
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Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Adoptaremos ‫ܭ‬଴ = 1 con criterio conservador. Por otra parte, a lo largo de la longitud de
empotramiento (ℎ) se cumple que:
ߪ௩
∗
=
ߛ௦
ᇱ
‫ݖ‬
ߚ
+
ߛ௥
ᇱ
ℎ
ߚ
siendo:
ℎ௜ = 0
ℎ௙ = ‫ܪ‬ோ
En el siguiente extracto de una hoja de cálculo se resumen los cálculos de la resistencia por fuste
relativos a cada una de las tres longitudes de empotramiento propuestas.
Es decir:
ܳிሺ‫ܪ‬ோ = 10 ݉ሻ = 12209 ݇ܰ
ܳிሺ‫ܪ‬ோ = 15 ݉ሻ = 20165 ݇ܰ
ܳிሺ‫ܪ‬ோ = 30 ݉ሻ = 50425 ݇ܰ

19. MECÁNICA DE ROCAS
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6º. El porcentaje de beneficio obtenido al incrementar la profundidad de empotramiento se calculará
respecto de la menor longitud de empotramiento, esto es, ‫ܪ‬ோ = 10 ݉. Se obtiene:
• Para 15 m de profundidad:
∆்ܳ =
ଶ଴ଵ଺ହିଵଶଶ଴ଽ
ଵଶଶ଴ଽ
= 65.16%
• Para 30 m de profundidad:
∆்ܳ =
ହ଴ସଶହିଵଶଶ଴ଽ
ଵଶଶ଴ଽ
= 313%
7º. Para ‫ܫܵܩ‬ ≈ ܴ‫ܴܯ‬ =
ହହ
ଶ
= 27.5 % se tiene:
Es decir:
ܳிሺ‫ܪ‬ோ = 10 ݉ሻ = 7653 ݇ܰ
ܳிሺ‫ܪ‬ோ = 15 ݉ሻ = 12871 ݇ܰ
ܳிሺ‫ܪ‬ோ = 30 ݉ሻ = 33132 ݇ܰ

20. MECÁNICA DE ROCAS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES
Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
8º. Para comparar la carga de hundimiento con el valor de la resistencia a compresión simple,
calculamos previamente el valor de unitario de aquella. A partir de los valores de ߬௙௠
∗
de la hoja de
cálculo , resulta:
‫ݍ‬ி = β߬௙௠
∗
‫ݍ‬ிሺ‫ܪ‬ோ = 10 ݉ሻ = 0.9021 · 0.4308 = 0.3889‫ܽܲܯ‬
‫ݍ‬ிሺ‫ܪ‬ோ = 15 ݉ሻ = 0.9021 · 0.4744 = 0.4280 ‫ܽܲܯ‬
‫ݍ‬ிሺ‫ܪ‬ோ = 30 ݉ሻ = 0.9021 · 0.5931 = 0.5350 ‫ܽܲܯ‬
Se obtienen pues los siguientes porcentajes:
‫ݍ‬ி
ߪ௖
ሺ‫ܪ‬ோ = 10 ݉ሻ =
0.3889
9
= 4.32%
‫ݍ‬ி
ߪ௖
ሺ‫ܪ‬ோ = 15 ݉ሻ =
0.4280
9
= 4.75%
‫ݍ‬ி
ߪ௖
ሺ‫ܪ‬ோ = 30 ݉ሻ =
0.5350
9
= 5.94%
9º. Porcentajes de la carga de hundimiento por fuste respecto de la raíz cuadrad de la resistencia a
compresión simple:
‫ݍ‬ி
ඥߪ௖
ሺ‫ܪ‬ோ = 10 ݉ሻ =
0.3889
√9
= 12.96%
‫ݍ‬ி
ඥߪ௖
ሺ‫ܪ‬ோ = 15 ݉ሻ =
0.4280
√9
= 14.27%
‫ݍ‬ி
ඥߪ௖
ሺ‫ܪ‬ோ = 30 ݉ሻ =
0.5350
√9
= 17.83%
Anejo. Tabla de valores de ݉௜:

21. MECÁNICA DE ROCAS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES
Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
EJERCICIO 20
1º.
La resistencia a compresión se puede correlacionar con la carga en punta PLT, ‫ܫ‬௦ሺହ଴ሻ, mediante la
expresión:
ߪ௖ = ‫ܫܭ‬௦ሺହ଴ሻ
Dado que ‫ܫ‬௦ሺହ଴ሻ es conocido, necesitamos determinar el valor de ‫.ܭ‬ Se exponen a continuación distintas
referencias para la estimación de dicho valor:
• Según la ISRM (1985), se puede adoptar un ‫ܭ‬ = 22 independientemente del tipo de roca.
• Romana (1996) establece una relación de ‫ܭ‬ con el tipo de roca. Para un granito, clasificable
como roca ígnea compacta, adopta ‫ܭ‬ = 20 − 25.
• Para un granito sano, Chang & Wong deducen ‫ܭ‬ = 12.62 − 16.08.
La horquilla de valores de ‫,ܭ‬ por tanto, va de 12.62 a 25; la correspondiente horquilla para el valor de la
resistencia a compresión simple resulta:
ߪ௖ = ‫ܫܭ‬௦ሺହ଴ሻ = ቄ
12.62 · 4.8 = 60.58 ‫ܽܲܯ‬
25 · 4.8 = 120 ‫ܽܲܯ‬
Los valores típicos de ߪ௖ para un granito sano son superiores a 300 ‫;ܽܲܯ‬ para un granito meteorizado
se oscila entre 10 y 150 ‫.ܽܲܯ‬ El valor obtenido en el ensayo PLT está pues por debajo del esperable
para un granito sano. No obstante, asumiendo este dato, adoptaremos un valor intermedio de ߪ௖:
ߪ௖ =
60.58 + 120
2
= 90.29 ‫ܽܲܯ‬
2º. El valor del índice ‫ܬ‬௩ para las dos familias de defectos del macizo es el siguiente:
‫ܬ‬௩ = ෍
1
‫ݏ‬௠௜
ଶ
௜ୀଵ
=
1
0.5
+
1
0.25
= 6
La ISRM propone la siguiente correlación empírica entre ‫ܬ‬௩ y RQD para ‫ܬ‬௩ ≥ 4.5:
ܴܳ‫ܦ‬ = 115 − 3.3‫ܬ‬௩ = 95.2%

22. MECÁNICA DE ROCAS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES
Y MATERIALES – UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
2º. El valor del índice RMR del macizo rocoso se obtiene a partir de la evaluación de 6 parámetros; 5 de
ellos son intrínsecos al macizo: resistencia a compresión simple de la roca intacta, RQD, espaciamiento
de las discontinuidades, características de las discontinuidades y condiciones hidráulicas. El sexto
parámetro depende de la orientación de las discontinuidades y del tipo de obra que se considere
(túneles, minas…); no disponemos de datos para evaluar este último parámetro. Para cada parámetro
de evaluación se define una puntuación; la suma de todos los puntos es el valor RMR. La siguiente tabla
resume la evaluación de los diferentes parámetros:
PARÁMETROS PUNTUACIÓN
Resistencia a compresión simple
A partir del ensayo de carga puntual: para ‫ܫ‬௦ሺହ଴ሻ entre 4 y 10
MPA
12
RQD
Valor entre 90 y 100%
20
Separación de diaclasas
Para ‫ݏ‬௠ entre 0.2 y 0.6 m.
10
Estado de las discontinuidades
Longitud
Valor de persistencia > 20
0
Apertura
Valor entre 0.2 mm y 0.5 mm
3
Rugosidad
Valor de ‫ܥܴܬ‬଴ = 20 se clasifica como muy rugosa
6
Relleno
No existe relleno
6
Alteración
No están alteradas
6
Condiciones hidráulicas
No existe agua freática
15
RMR 78

23. MECÁNICA DE ROCAS
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4º. De acuerdo con Hoek & Brown (1997), para un macizo:
݉଴ = 33
Los parámetros ݉, ‫,ݏ‬ ߚ y ߞ resultan (se adopta ‫ܦ‬ = 0 debido a la mínima alteración del macizo):
݉ = ݉଴݁
ோெோିଵ଴଴
ଶ଼ = ݁
଻଼ିଵ଴଴
ଶ଼ = 15.04
‫ݏ‬ = ݁
ோெோିଵ଴଴
ଶହ.ଶ = ݁
଻଼ିଵ଴଴
ଶହ.ଶ = 0.087
ߚ =
݉଴ߪ௖
8
=
33 · 90.29
8
= 169.75 ‫ܽܲܯ‬
ߞ =
8‫ݏ‬
݉଴
ଶ =
8 · 0.087
33ଶ
= 0.003068