Este documento presenta las resoluciones de varios ejercicios de cálculo de límites aplicando la definición formal de límite. Se calcula el valor de δ para diferentes valores de ε dados, de modo que se cumpla la desigualdad que define un límite. Se calculan 10 límites diferentes encontrando en cada caso el valor apropiado de δ.

1. 5715-76835“AÑO DE LA UNIÓN NACIONAL FRENTE A LA CRISIS EXTERNA “UNIVERSIDAD NACIONALTECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMACURSO: MATEMATICA ITEMA:LIMITES INTEGRANTES:CASTRO LAZO PATRICIA INÉSLÓPEZ CORTES YUDIT MABELHUAMANCHA ESPILLCO, IRIS INÉSHUAMANI CÓRDOVA, NATHALY NANCYSURICHAQUI GUTIÉRREZ KARIM PAMELAVÁSQUEZ ROBLES MIRIAM:PROFESOR TASAYCOCICLO: IIEJERCICIOS DE MATEMÁTICA Iaplicando la definición de limite, demostrar los siguientes limites, hallado el valor de δ, (δ>0), para los valores de ε dados.limx→35x-3=12, є = 0.03RESOLUCION: a=3, L=12, δ=?fx-L 5x-3-12 5x-15 5x-3 x-3 x-3 ∴ δ = 0.006 limx→-23x+5=-1, є = 0.012RESOLUCION: a=-2, L=-1, δ=?fx-L 3x+5+1 3x+6 3x+2 x+2 x+2 ∴ δ = 0.004 limx→2x2-4x-2=4, є = 0.004RESOLUCION: a=2, L=4, δ=?fx-L x+2-4 x-2 ∴ δ = 0.004 limx→37x2-20x+2=5, є = 0.001RESOLUCION: a=3, L=5, δ=?fx-L 7x2-20x+2 7x2-20x-3 x-3(7x+1) x-3 I (2; 4)X=2x-3 x-3 x-3 ∴ δ = 0.00006X=4x-3 x-3 x-3 ∴ δ = 0.00003∴ δ = 0.00003 limx→13x2-2x-1x-1=4, є = 0.015RESOLUCION: a=1, L=4, δ=?fx-L 3x+1-4 3x-3 3(x-1) x-1 ∴ δ = 0.005limx→124x2-12x-1=2, є = 0.07RESOLUCION:a=12, L=2, δ=?fx-L 2x+1-2 2x-1 2(x-12) x-12 ∴ δ = 0.035 limx→1x-1x-1= ½, є = 0.013RESOLUCION: a=1, L=½, δ=?fx-L 2x-2-x+12x-2 2x-x-12x-2 2x-x-12x-1 -(x+1-2x)x-1 (x+1)²x-1 (x+1)²x-1²x-1 x-1 I (0; 2)X=0x-1 x-1 x-1 ∴ δ = 0.026X=2x-1 x-1 x-1 x-1 ∴ δ = 0.00446∴ δ = 0.00446limx→-33x-13x2-25=-5, є = 0.001RESOLUCION: a=-3, L=-5, δ=?fx-L 3x-1+15x2-1253x2-25 5x-14(3x+9) 3x+3 x+3 I (2; 4)X=2x+3 x+3 x+3 ∴ δ = 0.00008X=4x+3 x+3 x+3 ∴ δ = 0.00005∴ δ = 0.00005limx→2x27x-13=4, ε = 0.01RESOLUCION: a=2, L=4, δ=?fx-L x2-28x+527x-13 x-26(x-2)7x-13 x+3 I (1; 3)X=1x+3 x+3 x+3 ∴ δ = 0.002X=3x+3 x+3 x+3 ∴ δ = 0.003∴ δ = 0.002 limx→4x³-14x10x-4 = -8, ε= 0.1RESOLUCION:a= 4 L: -8, δ,=?fx-L x³-14x10x-4+8x3-14x+80x-32810x-41x-4(x2+4x+82)10x-4x-4x2+4x+82110x-4x-4I (3;5)X= 3x-4x-4∴ δ = 0.02524X=5x-4x-4 ∴ δ = 0.03622∴ δ = 0.02524II. Aplicando la definición de límite, demostrar los siguientes límites limx→23x²-x-2 = 8limx→23x²-x-2 = 8 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, si 03x²-x-2-8 3x²-x-10 3x+5x-2 3x+5 tomamos δ₁ =1x-2 -1 1 3 8 |3x+5| Reemplazando (2) en (1):x-23x+5 x-2 δ₂ = ε14Luego se elige δ = min. 1; ε14Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min. 1; ε14Se tiene: si 0∴limx→23x²-x-2 = 8limx→-2x2+3x+2=0limx→-2x2+3x+2=0⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0x2+3x+2x+1 x+2tomamos δ1=12X+2-12- 32 |x+1|Reemplazamos (2) en (1):|X+2 | |x+1 | Luego se elige δ=min12,εPor lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min12,ε. Se tiene: si 0∴limx→-2x2+3x+2=0 limx→34x-2= 4 limx→34x-2= 4⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0|4x-2 - 4||4+4x+8x-2||-4(x-3)x-2||-4||x-3||1x-2|Acotando la función |1x-2| y para esto calculamos δ₁= ½|3-2|= ½|x-3|52122|1x-2|Reemplazando (2) en (1):|-4||x-3||2||x-3|Luego se elige δmin= {½, ε8 }Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min½, ε8 . Se tiene: si 0∴limx→34x-2= 4limx→½3+2x5-x= 8/9limx→½3+2x5-x= 8/9 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0|3+2x5-x- 89| |93+2x- 8(5-x)9(5-x)||27+18x-40+8x9(5-x)||26(x-½)9(5-x)||269||15-x||x-½|Acotando la función |15-x| y para esto calculamos δ₁= ½|½-5|=9/40-7/4-27/4-4/27>1x-5>-4/9|1x-5|Reemplazando (2) en (1):|269||15-x||x-½||10418||x-½||x-½|δ₂= ε(52)9Luego se elige δmin{ 94 , ε529 }Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min { 94 , ε529 } Se tiene: si 0∴limx→½3+2x5-x= 8/9limx→56-x = 1limx→56-x = 1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 06-x-1 6-x-1(6-x+1)(6-x+1) 6-x-16-x+1 x-56-x+1 16-x+1 x-5 Acotando la función 16-x+1 y para esto calculamos δ₁= ½5-6= ½6-x ≥ 06-x +1 ≥ 116-x +1 ≤ 1………..(2)Reemplazando (2) en (1):16-x+1 x-5 1 x-5 δ₂=εLuego se elige δmin { 12 , ε }Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min { 192 , ε } Se tiene: si 0∴limx→56-x = 1limx→7 x+19x-60=83limx→7 x+19x-60=83⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0X+133x-20-85X+1-24x+16033x-20-23X+16133x-2023(x-7)33x-20233 13x-20x-7Acotando la función 13x-20 y para esto calculamos δ1=127-203=16X-7- 16122Reemplazando (2) en (1) :23313x-20x-7x-7Luego se elige δmin16,9E46Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min { 16,9E46} Se tiene: si 0∴limx→7 x+19x-60=83limx→-42x-45x+23=-4 limx→-42x-45x+23=-4 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0∣2x-45x+23+4∣2x-4+20x+925x+23 22x+885x+23 22∣15x+23∣∣x+4∣ Acotando la función (15x+23) y para esto calculamos δ₁=12∣-4+235∣=310 0 -310 - 4310 - 4323229 ∣ 15x+23∣Reemplazando (2) en (1)22∣15x+23∣∣x+4∣∣x+4∣δ₂=3ε44Luego se elige S=min310;3δ44Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {310;3δ44} Se tiene: si 0∴limx→-42x-45x+23=-4limx→1x-1x²+3-2 = 2limx→1x-1x²+3-2 = 2 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0|x-1x²+3-2 -2||x+3-2x²+3x²+3-2||[x+3- 2x²+3][x+3+2x²+3)x²+3-2[x+3+ 2x²+3]||x+32- (2x²+3)²x+3x2+3-2+2x2+3(x²+3-2)||x²+9+6x-4x²-12x2+3-2(x+3-2x²+3)||3x²+6x+3x2+3-2(x+3-2x²+3)||3(x-1)²x2+3-2(x+3-2x²+3)||3x+3-2x²+3||(x-1)²||1x²+3-2|Por propiedad:|x²+3|≥0|x²+3-2|≥-2|1x²+3-2|≥ -½Concluimos:|3x+3-2x²+3||(x-1)²| |1x²+3-2||(x-1)²|δ= ε2(x+3-2x²+3)3limx→23x2-113 = 13 limx→23x2-113 = 13 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 033x2-113-13 33x2-11-1(33x2-112+33x2-11+1)3(33x2-112+33x2-11+1) 3x²-11-13 (33x2-112+33x2-11+1) 3 x-2(x+2)3(33x2-11+14)2+34 (33x2+11+14 )² ≥ 0(33x2+11+14 )²+ 34 ≥ 34 1(33x2+11+14 )²+ 34 ≤ 43 x-2x+233x2+11+14 2+ 34 ≤ 43 x-2x+2 x-2 ∴ δ = 3ε4x+2limx→1x+1x=2limx→1x+1x = 2⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0X+1X-2X+1-2XX(X+1)211XAcotando la función 1X y para esto calculamos δ1=121-0=12X-1- 122 31XReemplazando (2) en (1) :(X+1)211XX-1Luego se elige δ=min12,E42Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {12,E42} Se tiene: si 0∴limx→1x+1x=2 limx→0x-22x+3=-23 limx→0x-22x+3=-23 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0 ∣x-22x+3+23∣3 x- 6 +22+63(2x+ 3) x(3 +223∣2x+3∣ ∣(3 +22 )∣x∣3∣2x+3∣∣ Acotando la función (13∣2x+3∣) y para esto calculamos δ₁12∣-32∣=-34∣x∣-34 -32 32 332 |12x+3|Reemplazando (2) en (1): 3+22∣x∣3 ∣12x+3∣∣x∣Luego se elige δ=min34,3ε2(3+22)Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {34,3ε2(3+22)} Se tiene:si 0∴limx→0x-22x+3=-23limx→08x64x-1= 0limx→08x64x-1= 0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0|8x64x-1||8x8(8x- 18)||x(8x-18)||18x-18||x|Acotando la función 18x-18| y para esto calculamos δ= ½|0-164|=1128|x|- 1128-8128-316-16/3>18x-18>-16|18x-18|Reemplazando (2) en (1):|18x-18||x||x|Luego se elige δ= min { 1128 , ε16 }Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {1128 , ε16 } Se tiene: si 0∴limx→08x64x-1= 0limx→-73xx+8 = -21limx→-73xx+8 = -21 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 03xx+8+21 3x+21x+168x+8 24x+71x+8 Acotado la función 1x+8 x+7 -12 -152 12 2 > 1x+8 > 23 23 1x+8 Reemplazando (2) en (1):24x+71x+8 x+7 Luego se elige δ = min 12 ; ε48 Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {12 ; ε48 } Se tiene: si 0∴limx→-73xx+8 = -21limx→0x2+2x+2x2-2x+1=2limx→0x2+2x+2x2-2x+1=2 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0x2+2X+2x2-2X+1-2X(X-6)(X-1)2XX-6(X-1)2|x||x-6||1(x-1)²|Acotando la función |1(x-1)²| se puede caldular δ1=12=121X- 12-3 29 4 49>1X-12>4X-6X-12Reemplazando (2) en (1) :XX-6(X-1)2XLuego se elige δ=min12, 9E4X-6 Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {12, 9E4X-6 } Se tiene: si 0∴limx→0x2+2x+2x2-2x+1=2 limx→-1∣x∣x2+1=12 limx→-1∣x∣x2+1=12 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0∣∣x∣x2+1-12 ∣∣2∣x∣-x2-12(x2+1)∣∣-(x2-2∣x∣+12(x2+1)∣ 2∣x2+1∣2∣1x2+1∣Acotando la función ∣1x2+1∣ podemos calcular x2≥0 x2+1≥1 ∣1(x2+1)∣≤∣x2+1∣2 ∣x2+1∣ limx→1|2-x|3x-1 = ½limx→1|2-x|3x-1 = ½ ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0||2-x|3x-1- 12||4-2x-3x+16x-2||-5x+56x-2||-5(x-1)2(3x-1)||-52||13x-1||x-1|Acotando la función |13x-1| podemos calcular δ= ½|1 – 1/3|= 1/3|x-1|-1/32/3211|13x-4|Reemplazando (2) en (1):|52||13x-1||x-1||x-1|δ= ε2/5Luego se elige δmin ={1/3 , ε2/5}Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {1/3, ε2/5} se tiene: si 0∴limx→1|2-x|3x-1 = ½ limx→-64x-13x+3 =1limx→-64x-13x+3 =1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0x-13x+3-1 x-1-3x-33x+3 x-3x-43x+3 (3x³+4³) = (3x +4) (3x² -43x+16)x3x+3-3x+43x+3 x3x+3-3x+4(3x2-43x+16)3x+3(3x2-43x+16) x3x+3-x+643x-22+12 x+643x-22+12-x3x+3 x+643x-22+12 – x3x+3 x+643x-22+12 (3x-2)² ≥ 03x-22+12 ≥ 1213x-22+12 ≤ 112 x+643x-22+12 ≤ x+6412 x+64 x+64 δ = 12ε+12x3x+3limx→54+xx2-9=34limx→54+xx2-9=34 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 04+xx2-9-3444+x-3x2-94x2-9(44+x-3x2-9)(44+x+3x2-9)4x2-9(44+x+3x2-9)X-5(9X+29)4x2-9(44+x+3x2-9)|x-5||9x-29|14x2-9(44+x+3x2-9)Acotando la función 14x2-9(44+x+3x2-9) podemos calcular δ1=125-3=1X-5-147 47(44+x+3x2-9)1427(44+x+3x2-9) 14x2-9(44+x+3x2-9)Reemplazando (2) en (1):9X+29 427 (44+x+3x2-9) X-5(9X+29)4x2-9(44+x+3x2-9)X-5Luego se elige δ=min1, E 47 (44+x+3x2-9)(9X+29) Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {1, E 47 (44+x+3x2-9)(9X+29)} se tiene: si 0∴limx→54+xx2-9=34limx→12xx+1 =0limx→12xx+1 =0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0x1x+1Acotando la función 1x+1y para esto calculamos δ₁= ½ 12-1= ¼x-12x-12-141454471x+1reemplazado 2en 1:x1x+1x45δ₂= 5ε4Luego se elige δ₂= {¼ ,5ε4}Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {¼ ,5ε4} se tiene: si 0∴limx→12xx+1 =0limx→π3x6x-5π =3limx→π3x6x-5π =3 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0|3x6x-5π- 3||3x-18x+15π6x-5π||-15(x-π)6x-5π||-15||16x-5π||x-π|Acotando la función 16x-5π y para esto calculamos δ=|π- 5π6|= π/12-π /12-11π12-11π2-21π2-221π|16x-5π|Reemplazando (2) en (1):|15||16x-5π||x-π|10π|x-π|δ= ε/10πLuego se elige δmin= { π12 , ε10π }Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min { π12 , ε10π } se tiene: si 0∴limx→π3x6x-5π =3limx→23x²+1x4+1 =75limx→54+xx2-9=34 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 03x²+1x4+1-75 15x²+5-7x4-75(x4+1) -(7x4-15x2+2)5(x4+1) x2-2(7x2-1)5(x4-1) 15 x-2x+2(7x2-1)x4+1 15x-2x+2(7x2-1)1x4+1 Acotando la función 1x4+1 y para esto calculamos X⁴ ≥ 0X⁴+1 ≥ 11X⁴+1 ≤ 1=δ₁Reemplazando (2) en (1):x-2x+2(7x2-1)5x4+1 ≤ x-2x+2(7x2-1)5 x-2 δ ₂= 5εx+2(7x2-1) Luego se elige δmin= {1, 5εx+2(7x2-1) }Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {1, 5εx+2(7x2-1) } se tiene: si 0∴limx→23x²+1x4+1 =75limx→04x2+1=1limx→04x2+1=1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 04x2+11-1(4x2+1 -1)(4x2+1 +1)(4x2+1 +1)4x2(4x2+1 +1)41(4x2+1 +1)x2Acotando la función 1(4x2+1 +1)y para esto calculamos4x2+1 ≥04x2+1 +1≥114x2+1+1≤1=δ₁………….(2)reemplazano 2en 1:41(4x2+1 +1)x2≤4x2 X,δ₂=1ε2Luego se elige δmin= {1, 1ε2}Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min { 1, 1ε2 } se tiene: si 0∴limx→04x2+1=1limx→02x63x-1 = 0limx→02x63x-1 = 0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 02x63x-12x163x-1Acotando la función 163x-1 y para esto calculamos δ₁= ½ 0-163=1126|x|-1126-12-32-2163x-1Reemplazando (2) en (1):2x2xδ₂= ε/4Luego se elige δmin={1126 , ε/4}Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {1126 , ε/4 } se tiene: si 0∴limx→02x63x-1 = 0limx→52x+2x² =1625limx→52x+2x² =1625⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 02+2x²+1625 16x-52(x+52)(5x)²125x²16x-52x +52 Acotando la función 125x² y para eso calculamos δ₁= ½52-15=2320x-52-232027202720²2720²2517320²251x²25Reemplazando (2) en (1):17320²2516x-52x +52 x-52δ₂=7320²25x +52 εLuego se elige δmin= {2320 , 7320²25x +52 }Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min { 2320 , 7320²25x +52 } se tiene: si 0∴limx→52x+2x² =1625 limx→-14x²+13x+2 = -5limx→-14x²+13x+2 = -5⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 04x²+13x+2+5 4x²+1+15x+103x+2 4x²+15x+113x+2 4x+11(x+1)3x+2 x+14x+113x+2 Acotando la función:4x+113x+2 y para esto calculamos δ₁ = 12-1-23 = 56 3x+2 ≥ 013x+2 ≤ 0x+14x+113x+2 ≤ 0x+1 ≤ 0δ₂ =0El cual se elige δ = min. 56 ;0Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min { 56 ;0} se tiene: si 0∴limx→-14x²+13x+2 = -5limx→3sgn(x2-1)x+4=15limx→3sgn(x2-1)x+4=15 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 01X+4-15,X-37(X+4)17X-31(X+4)Acotando la función 1(X+4) y para esto calculamos δ1=12=121X-3- 122151(X+4)Reemplazando (2) en (1):17X-31(X+4)El cual se elige δ=min12,91ε2 Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {12,91ε2 } se tiene: si 0∴limx→3sgn(x2-1)x+4=15limx→4x³-15x-4x-3 =0limx→4x³-15x-4x-3 =0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0x³-15x-4x-3 x-4x²+4x+11x-3Acotando la función 1x-3 y para esto calculamos δ₁=½4-3=½x-4-½7/21/2231x-3Reemplazando (2) en (1):x-4x²+4x+12x-4δ₂= εx2+4x+12 Luego se elige δmin= {½, εx2+4x+12}Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {½, εx2+4x+12 } se tiene: si 0∴limx→4x³-15x-4x-3 =0limx→2x+x3+x-x² = 1limx→2x+x3+x-x² = 1 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0|1+x3+x-x² - 1||1+x-3-x+x²x²-x-3||x²-2x²-x-2-1||x-2(x+2)x-2x+1-1||1x-2(x+1)||x-2||x+2|Acotando la función |1x-2(x+1)| y para esto calculamos δ=½|2-2|= 2-22|x-2|- 2-222+222-222+42(a) *(b)22-6422-10422-104> 1( x-2)(x+1) – 1 >181-2-44|1( x-2)(x+1) – 1 |Reemplazando (2) en (1):|181-2-44||x-2||x+2||x-2||x+2|δ= 4ε[181-2-4](x+2)δmin={ 2-22 , 4ε[181-2-4](x+2)}Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {2-22 , 4ε[181-2-4](x+2) } se tiene: si 0∴limx→2x+x3+x-x² = 1limx→-22+x+x²2x+5 = 4limx→-22+x+x²2x+5 = 4 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0x²+x+22x+5-4 x²-7x-182x+5 x-9x+22x+5 x-9x+212x+5 Acotando la función 12x+5 y para esto calculamos δ₁= ½|-2+5/2|=1/4|x+2|-1/4-9/2-9-4-1212x+5Reemplazando (2) en (1):x-9x+212,x+2δ₂= 2εx-9luego se elige δmin= {14, 2εx-9}Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {14, 2εx-9 } se tiene: si 0∴limx→-22+x+x²2x+5 = 4limx→-3-4x-3x+2=-3limx→-3-4x-3x+2=-3⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0-4X-3X+2+3(-4X-3+3X+6)(-4X-3-3X+6)X+2(-4X-3-3X+6)9X+13(X+3)(X+2)(-4X-3-3X+6)9x+13x+31(X+2)(-4X-3-3X+6)Acotando la función 1(X+2)(-4X-3-3X+6)y para esto calculamos δ1=12X+3- 12 - 72- 32- 23>1x+2>- 21- 21x+29X+13x+2(-4X-3-3X+6)Reemplazando (2) en (1) :9X+13(X+3)(X+2)(-4X-3-3X+6)X+3Luego se elige δ=min12, 3(-4X-3-3X+6)ε29X+13 Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {12, 3(-4X-3-3X+6)ε29X+13} se tiene: si 0∴limx→-3-4x-3x+2=-3