1. N umerosReales
´
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Halle el conjunto de soluciones en cada caso:
(a) Dado a ∈
x+5 x−5
<
x+a x−a
(b)
|x| − 1
1
x −1
Soluci´n
o
1. (a) De la ecuaci´n notamos x = a, −a
o
x−5 x+5 2x(a − 5)
0< − = 2
x−a x+a x − a2
0 < 2x(a − 5)(x − a)(x + a) , a = 5
Si a > 5
⇒ 2(a − 5) > 0 ⇒ x(x − a)(x + a) > 0 ⇒ x ∈ (−a, 0) ∪ (a, ∞).
Si a < 5
⇒ 2(a − 5) < 0 ⇒ x(x − a)(x + a) < 0 ⇒ x ∈ (−∞, −a) ∪ (0, a)
Luego los valores ser´n:
a
(−a, 0) ∪ (a, ∞) si a > 5
x∈
(−∞, −a) ∪ (0, a) si a < 5
(b) De la ecuaci´n notamos x = 1 ⇒ x ∈ (0, 1]
o /
|x| − 1
Como x = n ∈ Z ⇒ n x < n + 1 ⇒ 1
n−1
Si n > 1
⇒ |x| − 1 n − 1 ⇒ |x| n ⇒ x ∈ pero x ∈ (0, 1] as´
/ ı
⇒ x ∈ (−∞, 0] ∪ (1, ∞).
Si n < 1
⇒ |x| − 1 n − 1 ⇒ x ∈ [−n, n] pero x ∈ [n, n + 1) ⇒ x = n < 1
⇒ x ∈ Z − ∪ {0} pero Z − ∪ {0} ∩ (0, 1] = ∅ as´ x ∈ Z − ∪ {0}.
ı
Luego los valores ser´n la uni´n de los obtenidos en cada caso:
a o
∴ x ∈ (−∞, 0] ∪ (1, ∞)
1