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                    Helmuth villavicencio fern´ndez
                                              a


  1. Halle el conjunto de soluciones en cada caso:
     (a) Dado a ∈
                                     x+5   x−5
                                         <
                                     x+a   x−a
     (b)
                                      |x| − 1
                                                 1
                                       x −1

Soluci´n
      o
  1. (a) De la ecuaci´n notamos x = a, −a
                     o

                                 x−5 x+5  2x(a − 5)
                            0<      −    = 2
                                 x−a x+a   x − a2
                          0 < 2x(a − 5)(x − a)(x + a) , a = 5
           Si a > 5
           ⇒ 2(a − 5) > 0 ⇒ x(x − a)(x + a) > 0 ⇒ x ∈ (−a, 0) ∪ (a, ∞).
           Si a < 5
           ⇒ 2(a − 5) < 0 ⇒ x(x − a)(x + a) < 0 ⇒ x ∈ (−∞, −a) ∪ (0, a)
           Luego los valores ser´n:
                                a

                                  (−a, 0) ∪ (a, ∞)   si a > 5
                          x∈
                                 (−∞, −a) ∪ (0, a)   si a < 5

     (b) De la ecuaci´n notamos x = 1 ⇒ x ∈ (0, 1]
                     o                    /
                                             |x| − 1
         Como x = n ∈ Z ⇒ n x < n + 1 ⇒                     1
                                              n−1
           Si n > 1
           ⇒ |x| − 1     n − 1 ⇒ |x|       n ⇒ x ∈        pero x ∈ (0, 1] as´
                                                                 /          ı
           ⇒ x ∈ (−∞, 0] ∪ (1, ∞).

           Si n < 1
           ⇒ |x| − 1 n − 1 ⇒ x ∈ [−n, n] pero x ∈ [n, n + 1) ⇒ x = n < 1
           ⇒ x ∈ Z − ∪ {0} pero Z − ∪ {0} ∩ (0, 1] = ∅ as´ x ∈ Z − ∪ {0}.
                                                           ı
           Luego los valores ser´n la uni´n de los obtenidos en cada caso:
                                a        o

           ∴ x ∈ (−∞, 0] ∪ (1, ∞)




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Numero2

  • 1. N umerosReales ´ Helmuth villavicencio fern´ndez a 1. Halle el conjunto de soluciones en cada caso: (a) Dado a ∈ x+5 x−5 < x+a x−a (b) |x| − 1 1 x −1 Soluci´n o 1. (a) De la ecuaci´n notamos x = a, −a o x−5 x+5 2x(a − 5) 0< − = 2 x−a x+a x − a2 0 < 2x(a − 5)(x − a)(x + a) , a = 5 Si a > 5 ⇒ 2(a − 5) > 0 ⇒ x(x − a)(x + a) > 0 ⇒ x ∈ (−a, 0) ∪ (a, ∞). Si a < 5 ⇒ 2(a − 5) < 0 ⇒ x(x − a)(x + a) < 0 ⇒ x ∈ (−∞, −a) ∪ (0, a) Luego los valores ser´n: a (−a, 0) ∪ (a, ∞) si a > 5 x∈ (−∞, −a) ∪ (0, a) si a < 5 (b) De la ecuaci´n notamos x = 1 ⇒ x ∈ (0, 1] o / |x| − 1 Como x = n ∈ Z ⇒ n x < n + 1 ⇒ 1 n−1 Si n > 1 ⇒ |x| − 1 n − 1 ⇒ |x| n ⇒ x ∈ pero x ∈ (0, 1] as´ / ı ⇒ x ∈ (−∞, 0] ∪ (1, ∞). Si n < 1 ⇒ |x| − 1 n − 1 ⇒ x ∈ [−n, n] pero x ∈ [n, n + 1) ⇒ x = n < 1 ⇒ x ∈ Z − ∪ {0} pero Z − ∪ {0} ∩ (0, 1] = ∅ as´ x ∈ Z − ∪ {0}. ı Luego los valores ser´n la uni´n de los obtenidos en cada caso: a o ∴ x ∈ (−∞, 0] ∪ (1, ∞) 1