Ejercicios, gràficas y problemas Tarea 3 B (1).docx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS
A continuación, sepresentanlos ejercicios gráficas y problemasde la tarea 3 asignadosen este grupode trabajo.
1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
Ejercicio
Estudiante 1 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙
𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2
− 2(𝑥 + ℎ)
𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2
− 2𝑥 − 2ℎ
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
(𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2
− 2𝑥 − 2ℎ) − (𝑥2
− 2𝑥)
ℎ
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
(𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2
− 2𝑥 − 2ℎ) − 𝑥2
+ 2𝑥
ℎ
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
− 2ℎ
ℎ
Factor común h
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ − 2)
ℎ

𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
(2𝑥 + ℎ − 2) = 2𝑥 + 0 − 2
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 − 2
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙𝟐
𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)3
+ 2(𝑥 + ℎ)2
𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑥3
+ 3𝑥2
ℎ + 3𝑥ℎ2
+ ℎ3
+ 2(𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2 )
𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑥3
+ 3𝑥2
ℎ + 3𝑥ℎ2
+ ℎ3
+ 2𝑥2
+ 4𝑥ℎ + 2ℎ2
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑥3
+ 3𝑥2
ℎ + 3𝑥ℎ2
+ ℎ3
+ 2𝑥2
+ 4𝑥ℎ + 2ℎ2
− (𝑥3
+ 2𝑥2)
ℎ
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑥3
+ 3𝑥2
ℎ + 3𝑥ℎ2
+ ℎ3
+ 2𝑥2
+ 4𝑥ℎ + 2ℎ2
− 𝑥3
− 2𝑥2
ℎ
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
3𝑥2
ℎ + 3𝑥ℎ2
+ ℎ3
+ 4𝑥ℎ + 2ℎ2
ℎ
Factor común h
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
ℎ(3𝑥2
+ 3𝑥ℎ + ℎ2
+ 4𝑥 + 2ℎ)
ℎ
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
3𝑥2
+ 3𝑥ℎ + ℎ2
+ 4𝑥 + 2ℎ = 3𝑥2
+ (3𝑥 ∗ 0) + 02
+ 4𝑥 + 2 ∗ 0
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2
+ 4𝑥

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.
2.
Ejercicio
Estudiante 1 𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 3)(√𝑥 + 2)
𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 𝑥)(2𝑥2
− 2)
𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐
− 𝟑)(√𝒙 + 𝟐)
Por la regla del producto
𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) + ℎ(𝑥)𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 3
𝒈′(𝒙) = 𝟐𝒙
ℎ(𝑥) = √𝑥 + 2
ℎ′(𝑥) =
1
2√𝑥
𝑓′ (𝑥) = 2𝑥(√𝒙 + 𝟐) +
1
2√𝑥
(𝒙𝟐
− 𝟑)

𝒇(𝒙) = (√𝒙 − 𝒙)(𝟐𝒙𝟐
− 𝟐)
𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) + ℎ(𝑥)𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥) = √𝑥 − 𝑥
𝒈′(𝒙) =
𝟏
𝟐√𝒙
− 𝟏
ℎ(𝑥) = 2𝑥2
− 2
ℎ′ (𝑥) = 4𝑥
𝑓(𝑥) = (
1
2√𝑥
− 1) ∗ (2𝑥2
− 2) + (4𝑥 ∗ √𝑥 − 𝑥)
Ejercicio
Estudiante 1
𝑓(𝑥) =
√𝑥 − 2
2𝑥2 + 3
𝑓(𝑥) =
√𝑥 + 1
2𝑥2 − 4
𝑓(𝑥) =
√𝑥 − 2
2𝑥2 + 3
Aplicandolaregladel cociente

𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
𝑓′(𝑥) =
𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) − ℎ′(𝑥)𝑔(𝑥)
(ℎ(𝑥))
2
𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2
𝑔′(𝑥) =
1
2√𝑥
ℎ(𝑥) = 2𝑥2
+ 3
ℎ′ (𝑥) = 4𝑥
𝑓′ (𝑥) =
(
1
2√𝑥
) ∗ 2𝑥2
+ 3 − (4𝑥 ∗ √𝑥 − 2)
(2𝑥2 + 3)2
𝑓(𝑥) =
√𝑥 + 1
2𝑥2 − 4
𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
𝑓′(𝑥) =
𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) − ℎ′(𝑥)𝑔(𝑥)
(ℎ(𝑥))
2
𝑔(𝑥) = √𝑥 + 1

𝑔′(𝑥) =
1
2√𝑥
ℎ(𝑥) = 2𝑥2
− 4
ℎ′ (𝑥) = 4𝑥
𝑓′ (𝑥) =
(
1
2√𝑥
) ∗ (2𝑥2
− 4) − (4𝑥 ∗ √𝑥 + 1)
(2𝑥2 − 4)2
Ejercicio
Estudiante 1 𝑓(𝑥) = (2𝑥2
+ 3)3
. (3𝑥)2𝑥
𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 5)𝑥
. 𝑥3
𝑓(𝑥) = (2𝑥2
+ 3)3
. (3𝑥)2𝑥
𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥) + ℎ(𝑥)𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥) = (2𝑥2
+ 3)3
𝒈′(𝒙) = 𝟑(𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑)𝟐
∗ 𝟒𝒙
ℎ(𝑥) = 3𝑥2𝑥
Aplicamos la regla de los exponentes
ℎ′(𝑥) = 2𝑥2𝑥
(ln(𝑥) + 1)
𝑓(𝑥) = 2𝑥2𝑥
(ln(𝑥) + 1) ∗ (2𝑥2
+ 3)3
+ 𝟑(𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑)𝟐
∗ 𝟒𝒙. (3𝑥)2𝑥

𝒇(𝒙) = (𝟐𝒙 − 𝟓)𝒙
. 𝒙𝟑
𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 5)𝑥
𝒈′(𝒙) = ( ln(2𝑥 − 5) +
2𝑥
2𝑥 + 5
) ∗ (2𝑥 − 5)𝑥
ℎ(𝑥) = 𝑥3
ℎ′ (𝑥) = 3𝑥2
Por lo cual la derivada nos queda
𝑓′ (𝑥) = ( ln(2𝑥 − 5) +
2𝑥
2𝑥 + 5
) ∗ (2𝑥 − 5)𝑥
𝑥3
+ 3𝑥2(𝟐𝒙 − 𝟓)𝒙
3. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.
Ejercicio
Estudiante 1 𝑥𝑦 + √1 − 𝑥2 = 20
𝑦2
− 2𝑥2
+ 6𝑥𝑦 − 4𝑥 = 5
𝑥𝑦 + √1 − 𝑥2 = 20
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑦) +
𝑑
𝑑𝑥
(√1 − 𝑥2) = 20

𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
𝑥
√1 − 𝑥2
= 0
Despejando dy/dx
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(
𝑥
√1 − 𝑥2
− 𝑦)
𝑥
𝑦2
− 2𝑥2
+ 6𝑥𝑦 − 4𝑥 = 5
Derivando la expresión con respecto a x
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2
− 2𝑥2
+ 6𝑥𝑦 − 4𝑥 ) =
𝑑
𝑑𝑥
(5)
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦2) −
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑥2) +
𝑑
𝑑𝑥
(6𝑥𝑦) −
𝑑
𝑑𝑥
(4𝑥) = 0
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 4𝑥 + 6𝑦 + 6𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 4 = 0
Sacamos factor común dy/dx
(2𝑦 + 6𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥 − 6𝑦 − 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑥 − 6𝑦 − 4
(2𝑦 + 6𝑥)
Podemos sacar factor común 2

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2(2𝑥 − 3𝑦 − 2)
2(𝑦 + 3𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(2𝑥 − 3𝑦 − 2)
(𝑦 + 3𝑥)
4. Calcule las siguientes derivadas de orden superior.
Ejercicio Derivada de orden superior
Estudiante 1
𝑓(𝑥) = 𝑥5
+
3
5
𝑥4
− 3𝑥3
+ 6𝑥2
𝑓(𝑥) = 𝑒−5𝑥
+ 2𝑥2
𝑓′′
(𝑥) =?
𝑓′′′
(𝑥) =?
𝑓(𝑥) = 𝑥5
+
3
5
𝑥4
− 3𝑥3
+ 6𝑥2
𝑓′ (𝑥) = 5𝑥4
+
12
5
𝑥3
− 9𝑥2
+ 12𝑥
𝑓′′ (𝑥) = 20𝑥3
+
36
5
𝑥2
− 18𝑥 + 12

𝑓(𝑥) = 𝑒−5𝑥
+ 2𝑥2
𝑓(𝑥) = 𝑒−5𝑥
+ 2𝑥2
𝑓′ (𝑥) = −5𝑒−5𝑥
+ 4𝑥
𝑓′′ (𝑥) = 25𝑒−5𝑥
+ 4
𝑓′′′ (𝑥) = −125𝑒−5𝑥
Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que, graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función
original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).
Estudiante 1 a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 3𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 4𝑥
c. 𝑓(𝑥) = √𝑥
d. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 3𝑥

𝑓′ (𝑥) = 2𝑥 + 3
𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 4𝑥
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 4

𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑓′ (𝑥) =
1
2√𝑥

𝑓(𝑥) = ln(𝑥)
𝑓′ (𝑥) =
1
𝑥

PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Asignación Problemas
Estudiante 1
A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) =
1
6
𝑥3
− 3𝑥 + 2
B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) =
1
6
𝑥3
− 3𝑥 + 3
C Una partícula se mueve en línea recta describiendo un recorrido dado por:
𝑠(𝑡) = 𝑡3
+ 4𝑡 + 4 , donde s está dado en m y t en segundos. Encuentre la velocidad para los tiempos t=2s y t=4s
D El costo de producción de 𝑥 cantidad de producto en una fábrica está determinado por la expresión:
𝐶(𝑥) = 0.05𝑥3
+ 0.03𝑥2
+ 60
a. Encuentre la función de costo marginal 𝐶´(𝑥)
b. Encuentre el costo marginal cuando 2000 unidades son producidas.
Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) =
1
6
𝑥3
− 3𝑥 + 2
Para hallar lo puntos máximos, mínimo y de inflexión lo primero que hacemos es derivar la funcion
𝑓′ (𝑥) =
1
2
𝑥2
− 3
Igualamos la ecuacion a cero
1
2
𝑥2
− 3 = 0
𝑥2
= 6
𝑥 = ±√6
Graficamos la ecuacion

Evaluandoel comportamientoen este intervalo
−∞ < 𝑥 < −√6 𝑥 = −√6 −√6 < 𝑥 < √6 𝑥 = √6 √6 < 𝑥 < ∞
Signo + 0 - 0 +
Comportamiento Creciente Máximo decreciente Mínimo Creciente
Sustituimosel extremo
𝑥 = −√6
𝑓 (𝑥) =
1
6
(−√6)
3
− 3 ∗ (−√6) + 2 = 2√6 + 2
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = (−√6, 2√6 + 2)
𝑥 = √6
𝑓 (𝑥) =
1
6
(√6)
3
− 3 ∗ (√6) + 2 = −2√6 + 2
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 = (√6, −2√6 + 2)
Tenemos un punto de inflexión en
𝐼𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 (0,2)
Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝒇 (𝒙) =
𝟏
𝟔
𝒙𝟑
− 𝟑𝒙 + 𝟑
Para hallar lo puntos máximos, mínimo y de inflexión lo primero que hacemos es derivar la funcion
𝑓′ (𝑥) =
1
2
𝑥2
− 3
Igualamos la ecuacion a cero

1
2
𝑥2
− 3 = 0
𝑥2
= 6
𝑥 = ±√6
Evaluandoel comportamientoen este intervalo

−∞ < 𝑥 < −√6 𝑥 = −√6 −√6 < 𝑥 < √6 𝑥 = √6 √6 < 𝑥 < ∞
Signo + 0 - 0 +
Comportamiento Creciente Máximo decreciente Mínimo Creciente
Sustituimosel extremo
𝑥 = −√6
𝑓 (𝑥) =
1
6
(−√6)
3
− 3 ∗ (−√6) + 3 = 2√6 + 3
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = (−√6, 2√6 + 3)
𝑥 = √6
𝑓 (𝑥) =
1
6
(√6)
3
− 3 ∗ (√6) + 2 = −2√6 + 3
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 = (√6, −2√6 + 3)
Tenemos un punto de inflexión en
𝐼𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 (0,3)
Una partícula se mueve en línea recta describiendo un recorrido dado por:
𝒔(𝒕) = 𝒕𝟑
+ 𝟒𝒕 + 𝟒 , donde s está dado en m y t en segundos. Encuentre la velocidad para los tiempos t=2s y t=4s
Para encontrar la velocidad necesitamos derivar la ecuacion
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 3𝑡2
+ 4
Ahora evaluamos en lo puntos 2s y 4s

𝑣(2𝑠) = 3 ∗ (2𝑠)2
+ 4 = 16
𝑚
𝑠
𝑣(3𝑠) = 3 ∗ (4 𝑠)2
+ 4 = 52
𝑚
𝑠
El costo de producción de 𝑥 cantidad de producto en una fábrica está determinado por la expresión:
𝐶(𝑥) = 0.05𝑥3
+ 0.03𝑥2
+ 60
c. Encuentre la función de costo marginal 𝐶´(𝑥)
Derivamos la ecuacion
𝐶 ′(𝑥) = 0.15𝑥2
+ 0.06𝑥
d. Encuentre el costo marginal cuando 2000 unidades son producidas.
𝐶 ′(2000) = 0.15(2000)2
+ 0.06 ∗ 2000
𝐶′(2000) = 600120

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