Este documento describe el uso del método de la doble integración para calcular las reacciones en los apoyos de una viga de tres claros. Se establecen ecuaciones de equilibrio en cada corte transversal y condiciones de continuidad entre tramos. Esto genera una matriz de 12 ecuaciones con 12 incógnitas que se resuelve para hallar las reacciones y esfuerzos internos. Las reacciones finales son: un momento MA=0.6654 kN-m en el apoyo A y una fuerza Ay=1.80 kN también en el apoyo A

1. 1
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II
RESOLUCIÓN DE UNA VIGA CON EL USO DEL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACION
Calcular las reacciones en los apoyos de la viga de tres claros que se muestra en la figura
(N datos -1)
3-1 =2
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 … … … … (𝑎)
3 = 𝑎(1)2
+ 𝑏(1) … … … … . . (𝑖)
0 = 𝑎(2)2
+ 𝑏(2) … … … … . . (𝑖𝑖)
Generando matriz
(
1 1
4 2
) (
𝑎
𝑏
) =
3
0
(
1 1
4 2
) ∗ (
3
0
) =
−3
6
𝑎 = −3
𝑏 = 6
𝑐 = 0
Reemplazando en la función anterior (a)
𝑦 = −3𝑥2
+ 6𝑥
Hallando el área y distancia de la irregular
𝐴 = ∫ (
2
0
−3𝑥2 + 6𝑥)𝑑𝑥 = 4𝑡𝑛
Distancia
𝑑 =
∫ 𝑥 ∗ (
2
0
−3𝑥2
+ 6𝑥)𝑑𝑥
∫ (
2
0
−3𝑥2 + 6𝑥)𝑑𝑥
𝑑 = 1𝑚
Seccion

2. 2
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II
𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬 𝟏 − 𝟏 (0 < 𝑥 < 1)
∑ 𝑀𝑥1 = 0
−𝐷𝑦(𝑥) + 𝑀𝑥1 = 0
𝑴𝒙𝟏 = 𝑫𝒚(𝒙)
𝐸𝐼𝜃1 =
𝐷𝑦(𝑥)2
2
+ 𝐶1 … … … … … … (𝐼)
𝐸𝐼𝑦1 =
𝐷𝑦(𝑥)3
6
+ 𝐶1(𝑥) + 𝐶2 … … … … … . (𝐼𝐼)
𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬 𝟐 − 𝟐 (0 < 𝑥 < 1)
∑ 𝑀𝑥2 = 0
−𝐷𝑦(𝑥 + 1) + 2 + 𝑀𝑥2 = 0
𝑴𝒙𝟐 = 𝑫𝒚(𝒙) + 𝑫𝒚 − 𝟐
𝐸𝐼𝜃2 =
𝐷𝑦(𝑥)2
2
+ 𝐷𝑦(𝑥) − 2(𝑥) + 𝐶3 … … … … (𝐼𝐼𝐼)
𝐸𝐼𝑦2 =
𝐷𝑦(𝑥)3
6
+
𝐷𝑦(𝑥)2
2
− 𝑥2
+ 𝐶3(𝑥) + 𝐶4 … … … … . (𝐼𝑉)
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
X
Mx1
N1
V1
X 1m
Mx2
N2
V2

3. 3
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II
𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬 𝟑 − 𝟑 (0 < 𝑥 < 1)
∑ 𝑀𝑥3 = 0
−𝐷𝑦(𝑥 + 2) + 2 + 𝑀𝑥3 − 𝐶𝑦(𝑥) = 0
𝑴𝒙𝟑 = 𝑫𝒚(𝒙) + 𝑫𝒚(𝟐) − 𝟐 + 𝑪𝒚(𝒙)
𝐸𝐼𝜃3 =
𝐷𝑦(𝑥)2
2
+ 𝐷𝑦(2𝑥) − 2(𝑥) +
𝐶𝑦(𝑥)2
2
+ 𝐶5 … … … … (𝑉)
𝐸𝐼𝑦3 =
𝐷𝑦(𝑥)3
6
+ 𝐷𝑦(𝑥)2
− 𝑥2
+
𝐶𝑦(𝑥)3
6
+ 𝐶5(𝑥) + 𝐶6 … … … … . (𝑉𝐼)
𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬 𝟒 − 𝟒 (0 < 𝑥 < 1)
∑ 𝑀𝑥4 = 0
−𝐷𝑦(𝑥 + 3) + 2 + 𝑀𝑥4 − 𝐶𝑦(𝑥 + 1) + 3.83(𝑥) = 0
𝑴𝒙𝟒 = 𝑫𝒚(𝒙) + 𝑫𝒚(𝟑) − 𝟐 + 𝑪𝒚(𝒙) + 𝑪𝒚 − 𝟑. 𝟖𝟑(𝒙)
𝐸𝐼𝜃4 =
𝐷𝑦(𝑥)2
2
+ 𝐷𝑦(3𝑥) − 2(𝑥) +
𝐶𝑦(𝑥)2
2
+ 𝐶𝑦(𝑥) −
3.83(𝑥)2
2
+ 𝐶7 … … … … (𝑉)
𝐸𝐼𝑦4 =
𝐷𝑦(𝑥)3
6
+
𝐷𝑦(3)(𝑥)2
2
− 𝑥2
+
𝐶𝑦(𝑥)3
6
+
𝐶𝑦(𝑥)2
2
−
3.83(𝑥)3
6
+ 𝐶7(𝑥) + 𝐶8 … … … … . (𝑉𝐼)
X 1m 1m
Mx3
N3
V3
X 1m 1m 1m
Mx4
N4
V4

4. 4
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II
𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬 𝟓 − 𝟓 (0 < 𝑥 < 2)
Hallando el área y la distancia cortada de la carga irregular
Área:
𝐴𝑥 = ∫ (−3𝑥2
+ 6𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑥
0
𝑥3
+ 3𝑥2
Distancia
𝑑𝑥 =
∫ 𝑥(−3𝑥2
+ 6𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
∫ (−3𝑥2 + 6𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
=
−
3𝑥4
4
+ 2𝑥3
−𝑥3 + 3𝑥2
∑ 𝑀𝑥5 = 0
−𝐷𝑦(𝑥 + 4) + 2 + 𝑀𝑥5 − 𝐶𝑦(𝑥 + 2) + 3.83(𝑥 + 1) − 𝐵𝑦(𝑥) + (−𝑥3 + 3𝑥2) (𝑥 −
−3𝑥4
4
+ 2𝑥3
−𝑥3 + 3𝑥2
) = 0
𝑴𝒙𝟓 = 𝑫𝒚(𝒙) + 𝑫𝒚(𝟒) − 𝟓. 𝟖𝟑 + 𝑪𝒚(𝒙) + 𝑪𝒚(𝟐) − 𝟑. 𝟖𝟑(𝒙) + 𝑩𝒚(𝒙) +
𝒙 𝟒
𝟒
− 𝒙 𝟑
𝐸𝐼𝜃5 =
𝐷𝑦(𝑥)2
2
+ 𝐷𝑦(4𝑥) − 5.83(𝑥) +
𝐶𝑦(𝑥)2
2
+ 𝐶𝑦(2)(𝑥) −
3.83(𝑥)2
2
+
𝐵𝑦(𝑥)2
2
+
𝑥5
20
−
𝑥4
4
+ 𝐶9 … … … … (𝑉𝐼𝐼)
𝐸𝐼𝑦5 =
𝐷𝑦(𝑥)3
6
+ 𝐷𝑦(2)(𝑥)2
−
5.83(𝑥)2
2
+
𝐶𝑦(𝑥)3
6
+ 𝐶𝑦(𝑥)2
−
3.83(𝑥)3
6
+
𝐵𝑦(𝑥)3
6
+
𝑥6
120
−
𝑥5
20
+ 𝐶9(𝑥)
+ 𝐶10 … … … … . (𝑉𝐼𝐼𝐼)
Condiciones
EI=3313.44
Cuando:
Tramo 1
X=0 ------> y=0
0 = 0 + 0 + 𝐶2
𝐶2 = 0
X 1m 1m 1m 1m
Mx5
N5
V5

5. 5
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II
Tramo 2
X=1------> y=0
0 = 𝐷𝑦(0.0002012) − 0.000301801 + 𝐶3(0.000301801) + 𝐶4(0.000301801)
Tramo 4
X=1------> y=0
0 = 𝐷𝑦(0.000503001) − 0.00049445 + 𝐶𝑦(0.0002012) + 𝐶7(0.000301801) + 𝐶8(0.000301801)
Tramo 5
X=2------> 𝜃=0
0 = 𝐷𝑦(0.003018011) − 0.00655512 + 𝐶𝑦(0.001810806) + 𝐵𝑦(0.000603602) + 𝐶9(0.000301801)
X=2------> 𝑦=0
0 = 𝐷𝑦(0.00281681) − 0.00538212 + 𝐶𝑦(0.001609606) + 𝐵𝑦(0.000402401) + 𝐶9(0.000603602)
+ 𝐶10(0.000301801)
Por Continuidad
𝜃1 𝑥=1 = 𝜃2 𝑥=0
𝐷𝑦(0.0001509) + 𝐶1(0.000301801) = 𝐶3(0.000301801)
𝑦1 𝑥=1 = 𝑦2 𝑥=0
𝐷𝑦(0.0000503) + 𝐶1(0.000301801) = 𝐶4(0.000301801)
𝜃2 𝑥=1 = 𝜃3 𝑥=0
𝐷𝑦(0.000452701) − 0.000603602 + 𝐶3(0.000301801) = 𝐶5(0.000301801)
𝑦2 𝑥=1 = 𝑦3 𝑥=0
𝐷𝑦(0.0002012) − 0.000301801 + 𝐶3(0.000301801) + 𝐶4(0.000301801) = 𝐶6(0.000301801)
𝜃3 𝑥=1 = 𝜃4 𝑥=0
𝐷𝑦(0.000754502) − 0.000603602 + 𝐶𝑦(0.0001509) + 𝐶5(0.000301801) = 𝐶7(0.000301801)
𝑦3 𝑥=1 = 𝑦4 𝑥=0
𝐷𝑦(0.000352101) − 0.000301801 + 𝐶𝑦(0.0000503) + 𝐶5(0.000301801) + 𝐶6(0.000301801)
= 𝐶8(0.000301801)
𝜃4 𝑥=1 = 𝜃5 𝑥=0
𝐷𝑦(0.001056304) − 0.001181551 + 𝐶𝑦(0.000452701) + 𝐶7(0.000301801) = 𝐶9(0.000301801)
𝑦4 𝑥=1 = 𝑦5 𝑥=0
𝐷𝑦(0.000503001) − 0.00049445 + 𝐶𝑦(0.000201203) + 𝐶7(0.000301801) + 𝐶8(0.000301801)
= 𝐶10(0.000301801)

6. 6
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II
𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 (𝟏𝟐 𝒙𝟏𝟐)
Reacciones de la matriz
𝑫𝒚 = 𝟎. 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟗𝟐
𝑪𝒚 = 𝟎. 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟔𝟖
𝑩𝒚 = 𝟒. 𝟒𝟓𝟓𝟒𝟔𝟏𝟓
∑ 𝑴𝑨 = 𝟎
𝑀𝐴 − 4(1) + 4.45546(2) − 3.83(3) + 0.772268(4) − 2 + 0.804092(6) = 0
𝑴𝑨 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟓𝟒
∑ 𝑭𝒚 = 𝟎
𝐴𝑦 − 4 + 4.45546 − 3.83 + 0.772268 + 0.804092 = 0
𝑨𝒚 = 𝟏. 𝟖𝟎
Reacciones Finales:
𝑴𝑨 = 0.6654
𝑫𝒚 = 0.804092
𝑪𝒚 = 0.772268
𝑩𝒚 = 4.4554615
𝑨𝒚 = 1.80
Dy Cy By C1 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10
0.000201200 0.000301801 0.000301801 0.000301801
0.000503001 0.000201200 0.000301801 0.000301801 0.000494450
0.003018011 0.001810806 0.000603602 0.000301801 0.006555120
0.002816810 0.001609606 0.000402401 0.000603602 0.000301801 0.005382120
-0.000150900 -0.000301801 0.000301801
-0.000050300 -0.000301801 0.000301801
-0.000452701 -0.000301801 0.000301801 -0.000603602
-0.000201200 -0.000301801 -0.000301801 0.000301801 -0.000301801
-0.000754502 -0.000150900 -0.000301801 0.000301801 -0.000603602
-0.000352101 -0.000050300 -0.000301801 -0.000301801 0.000301801 -0.000301801
-0.001056304 -0.000452701 -0.000301801 0.000301801 -0.001181551
-0.000503001 -0.000201203 -0.000301801 -0.000301801 0.0003018 -0.000494450

7. 7
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II
Comprobación:
0.804092 + 0.772268 + 4.4554615 + 1.80 − 4 − 3.83 = 0.0018 𝑂𝐾