100411 246 fase_2_trabajo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
CALCULO INTEGRAL 100411-246
PLANIFICACIÓN: RESOLVER PROBLEMAS
MILLER LADY RINCÓN SASTOQUE COD. 1 112 222 022
ISABEL CASTELLANOS COD. 1113039047
ALEXANDRA GRANADOS COD. 112.106.244
JEFFERSON CHAVERRA COD.
KAREN VANESSA LOZANO COD. 1 115 084 611
GRUPO
246
TUTOR
LUIS ENRIQUE ESCOBAR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
CALCULO INTEGRAL
CEAD PALMIRA VALLE
MARZO 16 DE 2018

INTRODUCCIÓN
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que
la derivación e integración de una función son operaciones inversas.1 Esto significa que toda
función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos)
verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama
de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
1. 𝑓( 𝑥) =
𝑥5
+𝑥3
2𝑥
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
𝑥5
+𝑥3
2𝑥
𝑑𝑥 Aplicamos definición de integral a ambos lados
= ∫ (
𝑥5
2𝑥
+
𝑥3
2𝑥
+) Separamos el denominador a cada uno de los numeradores
=
1
2
∫ (
𝑥5
𝑥
+
𝑥3
𝑥
) 𝑑𝑥 Sacamos factor común
1
2
=
1
2
∫( 𝑥4
+ 𝑥2) 𝑑𝑥 Aplicamos algebra
=
1
2
∫ 𝑥4
𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑥2
𝑑𝑥 Separamos la integral a cada uno de los
términos
=
1
2
𝑥5
5
+ 𝑐 +
1
2
𝑥3
3
+ 𝑐 Aplico propiedad anti derivada general
Multiplico y sumo las fracciones
2. 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥4 +
1
√ 𝑥4
Desarrollo:
𝑓( 𝑥) =
1
𝑥4
+
1
√ 𝑥
4
∫
1
𝑥4
+ ∫
1
√ 𝑥
4
𝑑𝑥
1 ∫ 𝑥−4
+ 1∫ 𝑥
−1
4 𝑑𝑥
1 ∗
𝑥−3
3
+ 1 ∗
𝑥
3
4
3
4
+ c
=
𝑥5
10
+
𝑥3
6
+ 𝑐

𝑥−3
−3
+
𝑥
3
4
3
4
+ 𝐶
−
1
3𝑥3 +
4𝑥
3
4
3
+ 𝐶 −
𝟏
𝟑𝒙 𝟑 +
𝟒 √ 𝒙 𝟑𝟒
𝟑
+ 𝑪
3. Encuentre todas las funciones f tales que
𝑓′( 𝑥) = 8 sin( 𝑥) +
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
Para encontrar las funciones hay que integrar la derivada que nos dan.
∫ 8 sin( 𝑥) +
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
Fórmula para integrar una suma de funciones:
∫ 𝑓( 𝑥) + 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
∫8 sin( 𝑥) +
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 8 sin( 𝑥) 𝑑𝑥 +∫
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
Resolviendo la primera parte:
∫8 sin( 𝑥) 𝑑𝑥

Fórmula para integrar una función que está multiplicada por una constante
∫ 𝐶 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐶 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
∫ 8 sin( 𝑥) 𝑑𝑥 = 8∫ sin( 𝑥) 𝑑𝑥
Sustituyendo ∫ sin( 𝑥) = − cos(𝑥)
∫8 sin( 𝑥) 𝑑𝑥 = 8 ∗ [−cos(𝑥)]
∫8 sin( 𝑥) 𝑑𝑥 = −8 cos( 𝑥)+ 𝐶
Resolviendo la segunda parte:
∫
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑓( 𝑥)− 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 −∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
∫
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
= ∫
2𝑥5
𝑥
𝑑𝑥 − ∫
√ 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
√ 𝑥
𝑥
=
1
𝑥
1−
1
2
=
1
𝑥
1
2
=
1
√ 𝑥

∫
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
= 2∫ 𝑥4
𝑑𝑥 −∫
1
√ 𝑥
𝑑𝑥
Fórmula para integrar:
∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 ) =
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶
2∫ 𝑥4
𝑑𝑥 =
2𝑥5
5
∫
1
√ 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
−1
2 =
𝑥
(
−1
2
+1)
−1
2
+ 1
=
𝑥
1
2
1
2
=
2𝑥
1
2
1
= 2𝑥
1
2 = 2√ 𝑥
Reemplazando se tiene:
∫
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
=
2𝑥5
5
− 2√ 𝑥 + 𝐶
Sustituyendo:
∫8 sin( 𝑥) +
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 8 sin( 𝑥) 𝑑𝑥 +∫
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
∫8 sin( 𝑥) +
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = (−8 cos( 𝑥) + 𝐶 ) + (
2𝑥5
5
− 2√ 𝑥 + 𝐶)

∫ 8 sin( 𝑥) +
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = − 8 cos( 𝑥) +
2𝑥5
5
− 2√ 𝑥 + 𝐶
Comprobación:
𝐹( 𝑥) = −8 cos( 𝑥) +
2𝑥5
5
− 2√ 𝑥 + 𝐶
Fórmula de derivación:
𝐹( 𝑥) = −8 cos( 𝑥) +
2𝑥5
5
− 2√ 𝑥 + 𝐶
Derivando cada parte:
𝐹( 𝑥) = −8 cos( 𝑥) + 𝐶
𝑓′( 𝑥) = −8 (−𝑠𝑒𝑛( 𝑥)) = 8 sin(𝑥)
𝐹( 𝑥) =
2𝑥5
5
+ 𝐶
𝑓′( 𝑥) =
2𝑥5
5
= 2𝑥4

𝐹( 𝑥) = −2√ 𝑥 + 𝐶
𝑓′( 𝑥) = −2 ∗
1
2
𝑥
1
2
−1
= −𝑥
−1
2 =
−1
√ 𝑥
La Derivada de la función
𝐹( 𝑥) = −8 cos( 𝑥) +
2𝑥5
5
− 2√ 𝑥 + 𝐶
𝑓′( 𝑥) = 8sin(𝑥) + 2𝑥4
−
1
√ 𝑥
Comprobación correcta ya que:
8 sin( 𝑥)+
2𝑥5
− √ 𝑥
𝑥
= 8sin(𝑥) + 2𝑥4
−
1
√ 𝑥
4. Encuentre f si
12
)1(202)(' 
 xexf x
y f (0) = -2.
Encuentre f si
12
)1(202)(' 
 xexf x
y f (0) = -2.
∫ 2𝑒 𝑥
+ 20(1 + 𝑥2)−1
dx
∫ 2𝑒 𝑥
+ 20(
1
1+𝑥2 ) dx
Se separan las integrales por propiedad de suma
∫ 2𝑒 𝑥
𝑑𝑥 + ∫20(
1
1 + 𝑥2
) 𝑑𝑥
Se sacan las constantes de las integrales
2𝑒 𝑥
∫ 𝑑𝑥 + 20 ∫(
𝑑𝑥
1+𝑥2 )

Se aplica la propiedad de
𝑑𝑣
𝑣2 +𝑎2 =
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑣
𝑎
2𝑒 𝑥
+ 20 (
1
1
arctan
1
1
)
Se reemplaza la formula y se obtiene el resultado final
2𝑒 𝑥
+ 20arctan 𝑥+c
Segunda parte (punto 5 al 8)
El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f
respecto a x, y se denota por el símbolo ∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭( 𝒙) + 𝑪, siendo C la constante
de integración.
Resuelva paso a paso las siguientes integrales y aplique las propiedades básicas
de la integración.
5.
∫
√ 𝑥 − 𝑥 + 𝑥3
√ 𝑥
3
𝑑𝑥
Para mayor facilidad expandimos
∫
√ 𝑥 − 𝑥 + 𝑥3
√ 𝑥
3
𝑑𝑥 = ∫ [
√ 𝑥
√ 𝑥
3
−
𝑥
√ 𝑥
3
+
𝑥3
√ 𝑥
3
] 𝑑𝑥 = ∫
𝑥
1
2⁄
𝑥
1
3⁄
−
𝑥
𝑥
1
3⁄
+
𝑥3
𝑥
1
3⁄
= ∫(𝑥
1
2⁄
∗ 𝑥
−1
3⁄
) − (𝑥 ∗ 𝑥
−1
3⁄
)+ (𝑥3
∗ 𝑥
−1
3⁄
) 𝑑𝑥
= ∫ 𝑥
1
6⁄
− 𝑥
2
3⁄
+ 𝑥
8
3⁄
𝑑𝑥
Se aplica regla de la suma
= ∫ 𝑥
1
6⁄
𝑑𝑥 − ∫ 𝑥
2
3⁄
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥
8
3⁄
𝑑𝑥
Se aplica regla de la potencia ∫ 𝑥 𝑎
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑎+1
𝑎+1
a cada una

= ∫ 𝑥
1
6⁄
𝑑𝑥 =
𝑥
1
6⁄ +1
1
6⁄ + 1
=
𝑥
7
6⁄
7
6⁄
=
𝟔𝒙
𝟕
𝟔⁄
𝟕
= ∫ 𝑥
2
3⁄
𝑑𝑥 =
𝑥
2
3⁄ +1
2
3⁄ + 1
=
𝑥
5
3⁄
5
3⁄
=
𝟑𝒙
𝟓
𝟑⁄
𝟓
= ∫ 𝑥
8
3⁄
𝑑𝑥 =
𝑥
8
3⁄ +1
8
3⁄ + 1
=
𝑥
11
3⁄
11
3⁄
=
𝟑𝒙
𝟏𝟏
𝟑⁄
𝟏𝟏
La respuesta seria
∫
√ 𝑥 − 𝑥 + 𝑥3
√ 𝑥
3
𝑑𝑥 =
𝟔𝒙
𝟕
𝟔⁄
𝟕
−
𝟑𝒙
𝟓
𝟑⁄
𝟓
+
𝟑𝒙
𝟏𝟏
𝟑⁄
𝟏𝟏
+ 𝑪
6. dxxsen
x
ex
 









 )(2
1
5
2
∫(𝑒 𝑥 −
5
√1−𝑥2
+ 2𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥
 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
 ∫
5
√1−𝑥2
𝑑𝑥 = 5arcsin(𝑥)
∫
5
√1−𝑥2
𝑑𝑥
𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∫ 𝑎. 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎. ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
∫
1
√1−𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑠𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥)
 ∫2 sin( 𝑥) 𝑑𝑥 = −2cos(𝑥)

∫2 sin( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒:
∫ 𝑎. 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 − ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
2 ∫sin( 𝑥) 𝑑𝑥
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
∫sin( 𝑥) 𝑑𝑥 = (−cos( 𝑥))
= 2(−cos(𝑥)
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟
= −2cos(𝑥)
= 𝑒 𝑥 − 5 arcsin( 𝑥) − 2 cos( 𝑥) + 𝑐
7.
∫
𝑥3
− 5𝑥2
+ 2𝑥 + 8
𝑥2 − 6𝑥 + 8
𝑑𝑥
Es posible simplificar la expresión
𝑥3
− 5𝑥2
+ 2𝑥 + 8
𝑥2 − 6𝑥 + 8
=
(𝑥2
− 6𝑥 + 8)(𝑥 + 1)
(𝑥2 − 6𝑥 + 8)
(𝑥2
− 6𝑥 + 8)(𝑥 + 1)
𝑥2 − 6𝑥 + 8
= 𝑥 + 1
La integral reescrita después de simplificar queda:
∫( 𝑥 + 1) 𝑑𝑥
Aplicando propiedades de la integral

∫( 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥
Resolviendo cada integral por separado
∫ 𝑥 𝑑𝑥
Aplicando la formula
∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶
Se tiene
∫ 𝑥1
𝑑𝑥 =
𝑥1+1
1+1
+ 𝐶
∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ 𝐶
∫ 1 𝑑𝑥
Aplicando la fórmula de la constante:
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
Se tiene
∫ 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
Entonces

∫( 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥
∫( 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 =
𝒙 𝟐
𝟐
+ 𝒙 + 𝑪
Geogebra:
8. ∫
𝑐𝑜𝑠3( 𝑥)−1
2𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑑𝑥
1
2
∫
𝑐𝑜𝑠3( 𝑥)− 1
2𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑑𝑥 = cos( 𝑥) −
1
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
1
2
∫cos( 𝑥) −
1
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑑𝑥

1
2
(∫cos( 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫
1
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑑𝑥)
∫cos( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑆𝑖𝑛(𝑥) ∫
1
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑑𝑥 = tan(𝑥)
1
2
(sin( 𝑥) − tan( 𝑥))
1
2
sen(x) −
1
2
tan( 𝑥) + 𝑐
9. Halle el valor medio de la función 𝒇( 𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟐 en el intervalo [0, 8].
Reemplazo los valores en la ecuación para hallar el valor medio de una función
1
8
∫ 2𝑥2
− 2𝑥 + 2
8
0
Aplico la regla de la suma
1
8
∫ 2𝑥2
𝑑𝑥 −
8
0
∫ 2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥
8
0
8
0
Soluciono uno por uno:
Aplico la ley de la potencia:
1
8
∫ 2𝑥2
𝑑𝑥 =
1
8
(
2𝑥3
3
)
8
0
Calculo los límites
lim
𝑥→0
(
2𝑥3
3
) =
2 ∗ 03
3
= 0
lim
𝑥→8
(
2𝑥3
3
) =
2 ∗ 83
3
=
2 ∗ 512
3
=
1024
3

1
8
∫ 2𝑥𝑑𝑥 =
1
8
(
2𝑥2
2
)
8
0
=
1
8
(𝑥2
)
lim
𝑥→0
(𝑥2
) = (02
) = 0
lim
𝑥→8
(𝑥2
) = (82
) = 64
1
8
∫ 2𝑑𝑥 =
1
8
(2𝑥)
8
0
lim
𝑥→0
(2𝑥) = 2 ∗ 0 = 0
lim
𝑥→8
(2𝑥) = 2 ∗ 8 = 16
Simplifico resultados
1
8
(
1024
3
− 64 + 16 ) =
1
8
(
1024
3
− 48 ) =
1
8
(
1024 − 144
3
) =
1
8
(
880
3
) =
880
24
=
440
12
=
220
6
=
110
3
1
8
∫ 2𝑥2
− 2𝑥 + 2
8
0
=
110
3
El valor medio de la función 𝒇( 𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟐
en el intervalo [0, 8] es
𝟏𝟏𝟎
𝟑

10. Para una empresa manufacturera, la función que determina la oferta de su
producto estrella en miles de litros, tiene un comportamiento exponencial descrito
por 𝑷( 𝒕) = 𝒆 𝟎.𝟏𝒕
, donde t está medido en días. Según lo anterior, hallar el volumen
promedio de producción de este artículo en los primeros 14 días de operación de
la empresa.
(𝑥) Lim
𝑛→∞
(
1
𝑏 − 𝑎
∑ 𝑓 ( 𝑥 𝑖)∆𝑥 =
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑛
𝑖=𝑙
)
Solución:
Sustituimos t en la ecuación, (# días de operación)
P(t) (vol de prod. miles de litros)
Datos:
t = 14
P(t) = 𝑒0,1 𝑙
e^1 = 2.18 miles litros
R// 2.18 litros
11. Utilice el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar la derivada
de la función v
𝑔( 𝑥) = ∫
𝑡 + 1
𝑡 − 1
𝑑𝑡
𝑥2
+1
2𝑥
Fórmula del Teorema Fundamental del Cálculo para Derivar Integrales que van
desde una función hasta otra función
𝑑
𝑑𝑥
[∫ 𝑓( 𝑡). 𝑑𝑡
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
] = 𝑓(𝑢( 𝑥)) ∙ 𝑢′( 𝑥) − 𝑓(𝑣( 𝑥)) ∙ 𝑣′(𝑥)

Teniendo en cuenta la fórmula y la integral se tiene que:
𝑢( 𝑥) = 𝑥2
+ 1
𝑢′( 𝑥) = 2𝑥
𝑔(𝑢( 𝑥)) = 𝑔( 𝑥2
+ 1) =
(𝑥2
+ 1) + 1
( 𝑥2 + 1) − 1
=
𝑥2
+ 2
𝑥2
𝑣( 𝑥) = 2𝑥
𝑣′( 𝑥) = 2
𝑔(𝑣( 𝑥)) = 𝑔(2𝑥) =
2𝑥 + 1
2𝑥 − 1
Reemplazando en la fórmula del Teorema Fundamental del Cálculo:
𝑑
𝑑𝑥
[∫ 𝑓( 𝑡). 𝑑𝑡
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
] = 𝑓(𝑢( 𝑥)) ∙ 𝑢′( 𝑥) − 𝑓(𝑣( 𝑥)) ∙ 𝑣′(𝑥)
𝑔( 𝑥) = ∫
𝑡 + 1
𝑡 − 1
𝑑𝑡
𝑥2
+1
2𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[∫
𝑡 + 1
𝑡 − 1
𝑑𝑡
𝑥2
+1
2𝑥
] = 𝑔(𝑢( 𝑥)) ∙ 𝑢′ ( 𝑥) − 𝑔(𝑣( 𝑥)) ∙ 𝑣′(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
[∫
𝑡 + 1
𝑡 − 1
𝑑𝑡
𝑥2
+1
2𝑥
] =
𝑥2
+ 2
𝑥2
∙ 2𝑥 −
2𝑥 + 1
2𝑥 − 1
∙ 2
𝑑
𝑑𝑥
[∫
𝑡 + 1
𝑡 − 1
𝑑𝑡
𝑥2
+1
2𝑥
] =
2𝑥3
+ 4𝑥
𝑥2
−
4𝑥 + 2
2𝑥 − 1

𝑑
𝑑𝑥
[∫
𝑡 + 1
𝑡 − 1
𝑑𝑡
𝑥2
+1
2𝑥
] =
2𝑥2
+ 4
𝑥
−
4𝑥 + 2
2𝑥 − 1
𝑑
𝑑𝑥
[∫
𝑡 + 1
𝑡 − 1
𝑑𝑡
𝑥2
+1
2𝑥
] =
4𝑥3
− 6𝑥2
+ 6𝑥 − 4
2𝑥2 − 𝑥
12.  
2
2
2
1)(

 dxxsen
Se desarrolla el binomio cuadrado perfecto
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1
Se aplica la propiedad del sen2x
𝑠𝑒𝑛2
𝑣 =
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠𝑣
Se reemplaza la formula
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
∫(
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1
Se separan las integrales por propiedad de suma y resta
∫
1
2
𝑑𝑥 − ∫
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + ∫1 𝑑𝑥
Se sacan las constantes de las integrales
1
2
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 + 2∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 1∫ 𝑑𝑥
Se desarrolla la derivada de cos2x= cos2x(2dx) y se saca de la integral otro
1
2
para balancear la integral
1
2
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 (2𝑑𝑥) + 2∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 1 ∫ 𝑑𝑥
Se procede a integrar

1
2
𝑥 −
1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1𝑥 + 𝑐
Se evalúa la ecuación en
𝜋
2
y se resta la ecuación evaluada en −
𝜋
2
1
2
(
𝜋
2
) −
1
4
𝑠𝑒𝑛2 (
𝜋
2
) − 2cos (
𝜋
2
) + 1 (
𝜋
2
) − (
1
2
(−
𝜋
2
) −
1
4
𝑠𝑒𝑛2 (−
𝜋
2
) − 2cos (−
𝜋
2
) + 1(−
𝜋
2
))
Quedando así:
𝜋
4
+
𝜋
2
+
𝜋
4
+
𝜋
2
2𝜋 + 4𝜋
8
6𝜋
8
3𝜋
4
+
3𝜋
4
6𝜋
4
3𝜋
2

CONCLUSIONES
Se aplica conceptos adquiridos anteriormente de Cálculo Diferencial para
desarrollar los ejercicios de anti derivadas.
Se logra identificar las propiedades de la integración (definidas, indefinidas y
teoremas).
Apropiación y aplicación de análisis de problemas que podemos encontrar en
nuestro diario vivir laboral.

BIBLIOGRAFIA
Rodríguez, A. (2015, noviembre, 23). Fundamentos de integración. [Video].
Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7148
Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México:
Larousse – Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD.
Recuperado
dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&doc
ID=11013520&tm=1460996037386
Guerrero, T. (2014). Cálculo integral: Serie Universitaria Patria. México: Larousse
- Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD.
Recuperado
dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&doc
ID=11013529&tm=1460996432130
Integrando desde Cero.
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=n5hOAXE1-ng

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