Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidades. Explica que las probabilidades estudian los resultados posibles de fenómenos aleatorios como lanzar una moneda o un dado. Define un experimento aleatorio como aquel cuyo resultado no puede predecirse con exactitud. Introduce los conceptos de espacio muestral, que es el conjunto de todos los resultados posibles, y de suceso, que es un subconjunto del espacio muestral. Además, explica la fórmula para calcular la probabilidad de un suceso.

1. PROBABILIDADES X1
Demetrio Ccesa

2. 2
REGLA DE LAPLACE

3. 3
Rama de las Matemáticas que estudia los resultados
posibles de los fenómenos aleatorios.
Por ejemplo:
• Lanzar una moneda y observar si sale cara.
• El lanzamiento de un dado y observar si es numero
primo
• Extracción de una carta y observar si es de trébol
negro
PROBABILIDADES
Definición

4. 4
EXPERIMENTO ALEATORIO:
PROBABILIDADES
Un experimento aleatorio o estadístico es cualquier experimento u
operación cuyo resultado no puede predecirse con exactitud antes de
realizarse el experimento.
Ejemplos:
o Lanzar una moneda y observar si sale cara.
o Lanzar un dado y observar el número que aparece en
la cara superior es par.
o De un lote de bombillas de luz , extraer uno que sea
defectuoso.

5. 5
ESPACIO MUESTRAL:
PROBABILIDADES
Es el conjunto formado por todo los resultados posibles del experimento
aleatorio. Denotaremos por la notación  (omega) o con la letra S
Ejemplos:
1. Para el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es:
 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Porque un dado tiene 6 caras y de lanzarlo cualquiera de
ellas puede quedar arriba.
2. En el lanzamiento de una moneda , el espacio muestral es:
 = { cara , sello } = { 1 , 2}

6. 6
ESPACIO MUESTRAL:
PROBABILIDADES
En el lanzamiento de dos monedas , su espacio
muestral es:
 = { CC , CS , SC , SS }
Este espacio muestral se puede obtener con el diagrama del árbol
C CC
C
S CS
C SC
S
S SS

7. 7
Casos posibles: 4 (CC, CS, SC, SS)
Casos favorables : 1 (CC)
Entonces:
P(A) =
1
4
Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de
que las dos sean caras?
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/5

8. 8
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/6
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos
monedas se obtenga en ambas sello?
          
Espacio
: c,c , c,s , s,c , s,s n 4
muestral
   
    Suceso : A n A 1s,s  
 
 
n A
P
n 
 
1
4
Favorables

9. 9
Sea el experimento E que consiste en lanzar 2 monedas y
observar resultados. Sea el evento A que consiste al menos
una moneda resulta cara. Hallar la P(A)
Ω cc,cs,sc,ss
A  cc,cs,sc
n 4
nA  3
P(A)
nA
n
P(cc,cs,sc)  P(A) 3/ 4
Posibles
Favorables
a) 1/3 a) 1/4 a) 1/2 a) 3/4

10. 10
PROBABILIDADES
El lanzamiento de tres monedas
C
C
S
C
S
S
SUCESO O EVENTO
 = { CCC , CCS , CSC , CSS , SCC , SCS , SSC , SSS }
CCCC
S CCS
C
C
S
S
C
S
CSC
CSS
SSS
SCC
SSC
SCS
Casos Posibles

11. 11
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5
7
11
Al lanzar tres monedas al aire. ¿Cuál es la
probabilidad de que las tres sean iguales?
 CCC;CCS;CSC;SCC;SSS;SSC;SCS;CSS   n 8 
   A CCC,SSS n A 2  
  2
P A
8
 
Favorables
1
4

12. Solución:
Si se lanza tres monedas al aire ¿Cuál es la
probabilidad de que salga al menos dos caras ?
 = { CCC , CCS , CSC , CSS , SCC , SCS , SSC , SSS }  n() = 8
A : Al menos dos caras
A = { CCC , CCS , CSC , SCC }
Espacio Muestral
P(A)  4/ 8 = 1/2
Favorables
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 3/4

13. 13
a) 1/4 b) 3/8 c) 1/6 d) 1/8
Manuel lanza tres monedas sobre una mesa.
¿Cuál es la probabilidad de que salgan 3 sellos?
 = { CCC , CCS , CSC , CSS , SCC , SCS , SSC , SSS }

14. PROBABILIDADES
PROBABILIDAD DE UN SUCESO
  posiblescasosdenº
favorablescasosdenº
P(A)
n
n(A)
P(A) 


¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par , cuando
se tira un dado?
Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado
= {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} ; n() = 6
Suceso A : Obtener un número par: A = { 2 , 4 , 6 }  n(A) = 3
Luego
 
0.5
2
1
P(A)
6
3
n
n(A)
P(A) 



15. 15
a) 1/3 b) 1/2 c) 1/6 d) 2/3
Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de
obtener un puntaje impar?
   1, 2, 3, 4, 5, 6 n 6   
   A 1, 3, 5 n A 3  
 
 
n A 3
P
n 6
  
1
2
Espacio
muestral :
Suceso:

16. 16
Si se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener un número impar ?
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(A) = 3 = 0,5 = 50%
6
a) 1/3 a) 1/4 a) 3/6 a) 1/6

17. 17
Si se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener un número primo ?
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(A) = 3 = 0,5 = 50%
6
a) 1/2 b) 1/4 c) 3/6 d) 1/6

18. 18
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común
salga un número primo?
Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6)
Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5)
Entonces:
P(A) =
3
6
=
1
2
a) 1/2 a) 1/3 a) 1/4 a) 1/6

19. 19
Si se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener un número menor que 3 ?
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(A) = 2 = 0,33 = 33,3%
6
a) 2/5 b) 1/6 c) 2/3 d) 1/3

20. 20
PROBABILIDADES
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Sabemos que si A y B son conjuntos disjuntos, entonces A  B = 
Por lo tanto :
A y B son dos sucesos que no pueden ocurrir a la vez, entonces, se
dice que son mutuamente excluyentes.
Ejemplo: Sea el experimento aleatorio : El lanzamiento de
dos dados. El espacio muestral es:
 = { (1 , 1 ) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6)
(2 , 1 ) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 ,5) (2 , 6)
(3 , 1 ) (3 , 2) (3 , 3)(3 , 4) (3 , 5) (3 , 6)
(4 , 1 ) (4 , 2) (4 , 3)(4 , 4) (4 , 5) (4 , 6)
(5 , 1 ) (5 , 2) (5 , 3)(5 , 4) (5 , 5) (5 , 6)
(6 , 1 ) (6 , 2) (6 , 3)(6 , 4) (6 , 5) (6 , 6) }

21. Si se lanzan dos dados ¿cuál es la probabilidad de obtener
una suma igual a 6 ?
Sea el experimento aleatorio : El lanzamiento de
dos dados. El espacio muestral es:
 = { (1 , 1 ) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6)
(2 , 1 ) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 ,5) (2 , 6)
(3 , 1 ) (3 , 2) (3 , 3)(3 , 4) (3 , 5) (3 , 6)
(4 , 1 ) (4 , 2) (4 , 3)(4 , 4) (4 , 5) (4 , 6)
(5 , 1 ) (5 , 2) (5 , 3)(5 , 4) (5 , 5) (5 , 6)
(6 , 1 ) (6 , 2) (6 , 3)(6 , 4) (6 , 5) (6 , 6) }
Sea el Suceso :
Suceso A : Obtener una suma igual a 6 Entonces :
A = {(1 , 5 ) (5 , 1) (2 , 4) (4 , 2) (3 , 3) }
P(A) =
a) 2/36 a) 1/3 a) 5/36 a) 1/6
5
36

22. Si se lanzan dos dados ¿cuál es la probabilidad de obtener
una suma igual a 5 ?
Sea el experimento aleatorio : El lanzamiento de
dos dados. El espacio muestral es:
 = { (1 , 1 ) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6)
(2 , 1 ) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 ,5) (2 , 6)
(3 , 1 ) (3 , 2) (3 , 3)(3 , 4) (3 , 5) (3 , 6)
(4 , 1 ) (4 , 2) (4 , 3)(4 , 4) (4 , 5) (4 , 6)
(5 , 1 ) (5 , 2) (5 , 3)(5 , 4) (5 , 5) (5 , 6)
(6 , 1 ) (6 , 2) (6 , 3)(6 , 4) (6 , 5) (6 , 6) }
Suceso A : Obtener una suma igual a 5
A = {(1 , 4 ) (4 , 1) (2 , 3) (3 , 2) }
P(A) = 4
36
1
9
=
a) 1/4 a) 1/9 a) 1/6 a) 1/8

23. 23
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/6
Si se lanzan dos dados, uno de color blanco y otro de
color rojo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos
en total?
       
       
       
       
1,1 , 1,2 , 1,3 , ... , 1,6
2,1 , 2,2 , 2,3 , ... , 2,6
3,1 , 3,2 , 3,3 , ... , 3,6
6,1 , 6,2 , 6,3 , ... , 6,6

 
 
  
  
 
 
  
 n 36 
            A 1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1  n A 6 
 
 
n A 6
P
n 36
  
1
6

24. a) 5/4 b) 5/36 c) 5/26 d) 5/8
7
11
Se lanzan dos dados al aire simultáneamente.
¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 puntos?
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6



er
1 dado
do
2 dado


   n 36 ; n A 5    P 8 puntos 
5
36