Este documento presenta los elementos básicos de la teoría de elasticidad. Introduce la ley de Hooke generalizada, que relaciona las tensiones y deformaciones en un material elástico isótropo a través de los módulos de Young y Poisson. Explica cómo estas mismas constantes se pueden usar para relacionar tensiones tangenciales y deformaciones angulares, definiendo el módulo de corte. Finalmente, combina las ecuaciones en una única expresión conocida como la ley de Hooke generalizada para materiales isótropos.

1. ENSAYOS INDUSTRIALES
Dpto. Ingeniería Mecánica y Naval
Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
ELEMENTOS DE TEORIA DE
ELASTICIDAD
Luis A. de Vedia
Hernán Svoboda
Buenos Aires
2002

2. 2-2 Ensayos Industriales Elementos de Teoría de Elasticidad
ELEMENTOS DE TEORIA DE ELASTICIDAD
2.1 Ley de Hooke Generalizada
Consideremos un paralelepípedo rectangular elemental cuyos lados son
paralelos a los planos coordenados, sometido a la acción de las tensiones σxx
distribuidas uniformemente sobre dos caras opuestas, como lo muestra la Fig.
2.1.
Fig. 2. 1
La experiencia indica que para materiales isótropos, estas tensiones
normales no producen deformaciones angulares y que producen en cambio una
elongación específica o unitaria εxx proporcional a σxx.
σ xx
ε xx = (2. 1)
E
E es una constante de proporcionalidad denominada Módulo de Elasticidad
o Módulo de Young del material.
También se comprueba experimentalmente que la extensión del elemento en
la dirección x está acompañada por deformaciones específicas transversales,
dadas por
σ xx σ xx
ε yy = − νε xx = − ν ; ε zz = − νε xx = − ν (2. 2)
E E
en las cuales ν es otra constante del material llamada Módulo de Poisson.
Si actúan simultáneamente tensiones σxx, σyy, σzz por aplicación del Ppio. de
superposición lineal, resulta
ε xx =
1
E
c
σ xx − ν σ yy + σ zz h
ε yy =
1
E
b
σ yy − ν σ xx + σ zz g (2. 3)
ε zz =
1
E
c
σ zz − ν σ xx + σ yy h

3. Ensayos Industriales Elementos de Teoría de Elasticidad 2-3
Demostraremos ahora que las mismas constantes pueden ser utilizadas
para relacionar tensiones tangenciales con deformaciones angulares. Para ello
consideremos el caso particular de un paralelepípedo rectangular (de espesor
unitario) sobre el que actúan las tensiones normales σyy = -σzz, siendo σxx = 0.
Aislando el elemento obc por medio de planos paralelos al eje x como se
indica en la Fig. 2.2, la condición de equilibrio para el elemento impone:
Fig. 2. 2
Según el eje q:
σ pq . bc = − σ yy . ob cos 45º + σ zz . oc cos 45º
ob oc
σ pq = − σ yy cos 45º + σ zz cos 45º =
bc bc
= − σ yy
1
c 1
h
cos 2 45º + σ zz cos 2 45º = σ zz − σ yy = 2σ zz = σ zz
2 2
Según el eje p:
σ pp = 0
Tenemos entonces una condición de corte puro en el plano qx que producirá
solamente una distorsión angular entre los lados ab y bc, calculable a partir de

4. 2-4 Ensayos Industriales Elementos de Teoría de Elasticidad
FG cc'IJ
oc '
= tg
FG π − γ IJ = oc − cc' = H oc K = 1 + ε
oc 1 −
yy
ob' H 4 2 K ob + bb' obFG1 + bb'IJ 1 + ε (2. 4)
H ob K
zz
Por otra parte, en este caso, es
ε zz =
1
c
σ zz − νσ yy =
1 + ν σ zz
h b g
E E
b g
(2. 5)
− 1 + ν σ zz
ε yy =
1
E
c
σ yy − νσ zz =
E
h
Ahora bien, para valores pequeños de γ, resulta
π γ γ
FG
π γ
− = 4 IJ
− tg tg
2 ≅
1−
2 = 1 + ε yy
tg
H
4 2 K
π γ
1 + tg tg 1+
γ 1 + ε zz
(2. 6)
4 2 2
de modo que comparando (2.4) con (2.6) y teniendo en cuenta (2.5), resulta
inmediatamente
γ
= − ε yy = ε zz =
1+ ν b g
σ zz =
1+ ν
σ pq
b g (2. 7)
2 E E
Definiendo el Módulo de Elasticidad Transversal o Módulo de Corte como
E
G=
2 1+ ν b g

5. Ensayos Industriales Elementos de Teoría de Elasticidad 2-5
Resulta
σ zz
γ=
G
que podemos generalizar como
σ pq
γ=
G
De manera que en general será:
σ σ yz σ xz
γ xy = xx ; γ yz = ; γ xz = (2. 8)
G G G
Recordando que γij = 2εij, es fácil comprobar que las (2.3) y (2.8) pueden
combinarse en una única expresión:
ε ij =
b1 + νg σ ij −
νσ kk δ ij (2. 9)
E E
En efecto, por ejemplo para i =1, j = 1, resulta
ε11 =
σ11 σ FG
σ
− ν 22 + 33
IJ
E E HE K
para i = 1, j = 2, obtenemos
(1 + ν)
ε 12 = σ12
E
y análogamente para las otras componentes.
La (2.9) se conoce como “Ley de Hooke Generalizada para materiales
isótropos ”