Este documento presenta conceptos clave sobre el cálculo vectorial como el gradiente, divergencia y rotacional. Define el gradiente como el operador vectorial que representa la tasa de cambio máxima de una función escalar en direcciones específicas. Explica cómo calcular el gradiente, divergencia y rotacional para funciones dadas, usando ejemplos. También cubre el uso del multiplicador de Lagrange para problemas de optimización con restricciones.

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020

3. UNIDAD 3: INTEGRACIÓN
VECTORIAL
TEMA: GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL.

4. INTRODUCCIÓN
x y z
  
 = + +
  
i j k
Operador Vectorial Diferencial ∇
Este operador posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. También se conoce como Nabla

5. GRADIENTE
DEFINICIÓN DE GRADIENTE
Sea una función escalar definida u diferenciable
en cada punto (x, y, z) en cierta región del espacio. Entonces el
gradiente de , que se denota con se define como:
( )
, ,
x y z

 

x y z x y z
  
 
 
     
 = + + = + +
 
     
 
i j k i j k

6. EJEMPLO 1: HALLAR EL GRADIENTE DE
UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Suponga que . Encuentre el gradiente en el punto ( )
1,1,2
P
( ) 3 2 2
, , 3
x y z xy y z
 = −
( )
3 2 2
3xy y z
x y z

 
  
 = + + −
 
  
 
i j k
( )
3 2 2 2
3 9 2 2
y xy yz y z

 = + − −
i j k
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 2
1,1,2 3 1 9 1 1 2 1 2 2 1 2

 = + − −
i j k
( )
1,1,2 3 4

 = + −
i j k

7. MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
Deseamos encontrar los puntos xy que son los extremos
(valores máximo o mínimo) de una función f(x, y) sujeta a la
restricción g(x, y) = d.
Esto ocurrirá únicamente cuando los gradientes y
sean ortogonales a la curva dada g(x, y) = d. Entonces esos
gradientes son paralelos y, por tanto, debe haber una
constante tal que
f
 g

 f g

 = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
x x y y
f x y g x y f x y g x y g x y d
 
= = =

8. EJEMPLO 2: MINIMICE LA FUNCIÓN
Minimice sujeta a la restricción ( )
, 2 9
g x y x y
= + =
( ) 2 2
, 2
f x y x y
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
2 2 , 4 2 9
x x y y
f x y g x y f x y g x y g x y d
x y x y
 
 
= = =
= = + =
( )
2 2 4
4
x y
x y
=
=
( )
2 4 9
9 9
1
y y
y
y
+ =
=
=
( )
4 1
4
x
x
=
=
( ) ( ) ( )
2 2
4,1 4 2 1 18
f = + =

9. DIVERGENCIA
DEFINICIÓN DE DIVERGENCIA

10. EJEMPLO 3: CALCULE LA DIVERGENCIA
Suponga que Encuentre la divergencia en el
punto P(1, -1, 1)
2 2 2 2 2
2 .
x z y z xy z
= − +
A i j k
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 4
1, 1,1 2 1 1 4 1 1 1 1 7
x z y z xy z
x y z
x z y z xy z xz yz xy
x y z
 
  
 = + + − +
 
  
 
  
 = + − + = − +
  
 − = − − + − =
A i j k i j k
A
A

11. ROTACIONAL
DEFINICIÓN DE ROTACIONAL

12. EJEMPLO 4: CALCULE EL ROTACIONAL
Suponga que Encuentre el rotacional en el
punto P(1, -1, 1)
2 2 2 2 2
2 .
x z y z xy z
= − +
A i j k
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
x z y z xy z
x y z
x y z
x z y z xy z
xy z y z xy z x z y z x z
y z x z x y
 
  
 = + + − +
 
  
 
  
 =
  
−
   
     
 
 = − − − − + − −
   
 
     
 
   
×A i j k × i j k
i j k
×A
×A i j k

13. EJEMPLO 4: CALCULE EL ROTACIONAL
Suponga que Encuentre el rotacional en el
punto P(1, -1, 1)
2 2 2 2 2
2 .
x z y z xy z
= − +
A i j k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 4 2 0
1, 1,1 2 1 1 1 4 1 1 1 1 2 1 1 2
xy z y z xy z x z y z x z
y z x z x y
xyz y z y z x z
   
     
 
 = − − − − + − −
   
 
     
 
   
 = + − − +
 − = − + − − − − = +
×A i j k
×A i j k
×A i j i j

14. FÓRMULAS QUE INVOLUCRAN A ∇

15. FÓRMULAS QUE INVOLUCRAN A ∇

16. PREGUNTAS