Este documento describe la elipse geométrica. Define una elipse como el conjunto de puntos cuyas distancias a dos focos fijos suman una constante. Explica los elementos de una elipse como los focos, ejes, vértices y radios vectores. También presenta las ecuaciones canónica, ordinaria y general de una elipse.

1. Matemáticas 2
LA ELIPSE
1. DEFINICIÓN
2. ELIPSES A NUESTRO ALREDEDOR
3. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
4. EXCENTRECIDAD
5. ECUACIONES DE LA ELIPSE
 CANÓNICA
 ORDINARIA
 GENERAL
1

2. Geometría Analítica
La elipse es el lugar geométrico de todos
los puntos P del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos, F1 y F2,
llamados focos es una constante positiva.
Es decir:
Cuando un cono circular recto es
seccionado por un plano oblicuo al eje y
forma con este eje un ángulo mayor que
el ángulo formado por la generatriz con
el eje, los puntos pertenecientes
igualmente al plano y al cono forman una
elipse.
2
LA ELIPSE
    1 2
d P;F d P;F cte

3. Geometría Analítica
3
LA ELIPSE

4. Geometría Analítica
4
LA ELIPSE

5. Geometría Analítica
Veamos la propiedad fundamental de una elipse.
Para ello, marca dos puntos en un plano, separados por
ejemplo 4 centímetros. Los llamaremos los focos de la elipse.
Escoge ahora un número mayor que 4, pongamos 10. La figura que
resulta de marcar todos los puntos cuyas distancias a los focos
suman 10 es una Elipse.
PROPIEDAD DE LA ELIPSE

6. Geometría Analítica
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
.F1
.F2
B2
B1
2c
2a
2b
V1
. C
. V2
.

7. Geometría Analítica
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Focos. Son los puntos fijos F1 y F2.
Eje focal. Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario. Es la mediatriz del segmento F1F2.
Centro. Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores. Son los segmentos que van desde un punto de la
elipse a los focos: PF1 y PF2.
Distancia focal. Es el segmento F1F2 de longitud 2c, c es el valor de
la semi distancia focal.
Vértices. Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes:
V1, V2, B1, B2.
P
F1 F2
B2
B1
V1
C
V2

8. Geometría Analítica
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Eje mayor. Es el segmento V1V2 de longitud 2a, a es el valor del
semieje mayor.
Eje menor. Es el segmento B1B2 de longitud 2b, b es el valor del
semieje menor.
Ejes de simetría. Son las rectas que contienen al eje mayor o al
eje menor.
Centro de simetría. Coincide con el centro de la elipse, que es el
punto de intersección de los ejes de simetría.
P
F1 F2
B2
B1
V1
C
V2

9. Geometría Analítica
RELACIÓN ENTRE a, b y c
Ubicaremos un punto P(x;y) en la intersección de la elipse con el
eje Y para establecer las siguientes relaciones:
    
   
1 2
2 2 2
d P;F d P;F a
a c a b c
b
c
a
F1 F2
B2
B1
V1
C
V2

10. Geometría Analítica
EXCENTRICIDAD (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semi
distancia focal y su semieje mayor. Es la razón entre las medidas
de c y a, que indica el grado de achatamiento de la elipse.
Así, en e = c/a
 Si e se aproxima a 0, la elipse tiende a adquirir la forma de
una circunferencia.
 Si e se aproxima a 1, la elipse tiende a ser cada vez más
achatada.

11. Geometría Analítica
ECUACIONES DE LA ELIPSE
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
Cuando el eje focal coincide
con el eje X
Cuando el eje focal coincide
con el eje Y
 
22
2 2
yx
1
a b
 
2 2
2 2
y x
1
a b
F1(-c;0), F2(c;0), V1(-a,0), V2(a;0) F1(0;-c), F2(0;c), V1(0,-a), V2(0;a)
Si en la ecuación de la elipse
el denominador de x2 es
mayor que el denominador de
y2, entonces el eje focal
coincide con el eje X. En caso
contrario, el eje focal
coincide con el eje Y.

12. Geometría Analítica
ECUACIONES DE LA ELIPSE
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
Cuando el eje focal coincide
con el eje X
Cuando el eje focal coincide
con el eje Y
    
 
2 2
2 2
x h y k
1
a b
    
 
2 2
2 2
y k x h
1
a b
C(h;k), F(h c;k), V(h a;k) C(h;k), F(h;k c), V(h;k a)

13. Geometría Analítica
ECUACIONES DE LA ELIPSE
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
Partiendo de la ecuación anterior y realizando un proceso
similar al realizado para obtener la ecuación general de la
circunferencia, se llega a la ecuación general de la elipse, donde
los coeficientes A y B deben tener el mismo signo.
    2 2
Ax By Cx Dy E 0