Este documento define las cuatro secciones cónicas principales: la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Para cada una, se proporciona una definición geométrica y su ecuación estándar en forma de Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

1. Definición
La circunferencia
La elipse
La hipérbola
La parábola
Semana No. 3: (Secciones) cónicas
Yoe Herrera
UNAB
yherrera743@unab.edu.co
Agosto 10 de 2017
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2. Definición
La circunferencia
La elipse
La hipérbola
La parábola
Definición
Una (sección) cónica es el conjunto que se forma al intersectar un plano con un cono.
Figure: De izquierda a derecha: circunferencia, elipse, parábola, hipérbola
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3. Definición
La circunferencia
La elipse
La hipérbola
La parábola
La circunferencia
La circunferencia C en el plano xy de radio r y centro C(h, k) es el conjunto de
todos los puntos de este plano que están a distancia r del punto C, es decir
C = {(x, y) : dist((x, y), (h, k)) = r} = {(x, y) : (x − h)2
+ (y − k)2
= r2
}.
La ecuación en forma estándar de C es (x − h)2 + (y − k)2 = r2, la cual se puede
llevar a la forma general Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con A = C = 1.
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4. Definición
La circunferencia
La elipse
La hipérbola
La parábola
La elipse
La elipse horizontal E en el plano xy con centro C(h, k) y focos F1 y F2 es el
conjunto de todos los puntos de este plano cuyas distancias a los puntos F1 y F2
suman la constante 2a, es decir,
E = {(x, y) : dist((x, y), F1)+dist((x, y), F2) = 2a} = (x, y) :
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
a2 − c2
= 1 ,
donde c = dist(F1, C) = dist(F2, C).
La ecuación en forma estándar de E es
(x−h)2
a2 +
(y−k)2
a2−c2 = 1, la cual se puede llevar a
la forma general Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con AC > 0.
Análogamente, si E es vertical, entonces su ecuación es
(x−h)2
a2−c2 +
(y−k)2
a2 = 1.
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5. Definición
La circunferencia
La elipse
La hipérbola
La parábola
La hipérbola
La hipérbola horizontal H en el plano xy con centro C(h, k) y focos F1 y F2 es el
conjunto de todos los puntos de este plano cuyas distancias a los puntos F1 y F2
restan la constante 2a, es decir,
E = {(x, y) : |dist((x, y), F1)−dist((x, y), F2)| = 2a} = (x, y) :
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
a2 − c2
= 1 ,
donde c = dist(F1, C) = dist(F2, C).
La ecuación en forma estándar de E es
(x−h)2
a2 −
(y−k)2
a2−c2 = 1, la cual se puede llevar a
la forma general Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con AC < 0.
Análogamente, si E es vertical, entonces su ecuación es −
(x−h)2
a2−c2 +
(y−k)2
a2 = 1.
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6. Definición
La circunferencia
La elipse
La hipérbola
La parábola
La parábola
La parábola horizontal P en el plano xy con vértice V (h, k) y foco F es el conjunto
de todos los puntos de este plano cuyas distancias al punto F y a la recta
L : x = k − a, donde a = dist(C, F), es decir,
P = {(x, y) : |dist((x, y), F) = dist((x, y), L)|} = (x, y) : 4a(x − h) = (y − k)2
,
donde la P se abre a derecha si a > 0 y a izquierda si a < 0.
La ecuación en forma estándar de P es 4a(x − h) = (y − k)2, la cual se puede llevar a
la forma general Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con AC = 0.
Análogamente, si E es vertical, entonces su ecuación es y − k = 4a(x − h)2.
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