Ejercicios Resueltos de Físics Cuántica II
1. Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables con una separación de ퟎ.ퟐퟎퟎ 풏풎. Determine los niveles de energía para los estados 풏=ퟏ,ퟐ 풚 ퟑ.
a) Encuentre la rapidez del electrón en el estado 풏=ퟏ.
2. Una partícula de masa 풎 está confinada a una caja unidimensional entre 풙=ퟎ y 풙=푳. Encuentre el valor esperado de la posición 풙 de la partícula en el estado caracterizado por el número cuántico 풏.
3. Un electrón está en un pozo cuadrado de potencial con profundidad infinita de ancho 풍=ퟏ.ퟎퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ 풎. Si el electrón está en el estado fundamental, ¿cuál es la probabilidad de encontrarlo en una región de ancho Δ풙=ퟏ.ퟎퟏ×ퟏퟎ−ퟏퟐ 풎 en el centro del pozo (en 풙=ퟎ.ퟓퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎)?
4. Para el cobre metálico, determine a) la energía de Fermi, b) la energía promedio de los electrones y c) la rapidez de los electrones en el nivel de Fermi (lo que se conoce como rapidez de Fermi).
5. El núcleo 퐙퐧ퟔퟒ tiene una energía de ퟓퟓퟗ,ퟎퟗ 퐌퐞퐕 use la formula semiempirica de energía para generar una estimación teórica de enlace para este núcleo.
6. Unos protones se colocan en un campo magnético con dirección 풛 y ퟐ,ퟑퟎ T de magnitud. a) ¿Cuál es la diferencia de energías entre un estado con la componente 풛 de un protón de cantidad de movimiento angular espín paralela al campo, y uno con la componente anti paralela al campo? b) Un protón puede hacer una transición de uno a otro de esos estados, emitiendo o absorbiendo un fotón de energía igual a la diferencia de energías entre los dos estados. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de ese fotón.
7. Calcule el nivel mínimo de energía para una partícula en una caja, si la partícula es un electrón, y la caja mide ퟓ.ퟎ ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎 en su interior, es decir, es un poco mayor que un átomo.
8. Demostrar las equivalencias entre unidades.
1푠=1,519 푥 1021푀푒푉−1. 1푓푚=5,068 푥 10−3푀푒푉.
9. Calcular cuántos fotones pos segundo emite una bombilla de ퟏퟎퟎ풘. La longitud de onda visible es de 흀~ퟔퟎퟎퟎ푨.
10. Un paquete de electrones es acelerado mediante una diferencia de potencial de ퟓퟎ ퟎퟎퟎ푽 y posteriormente lanzado contra una placa de plomo para producir rayos 푿 por bremsstra hlung. Determine la longitud de onda mínima de los rayos 푿 que se pueden obtener con este montaje.
La carga eléctrica y el fenómeno de inducción. La ley de Coulomb y el cálculo de la fuerza entre partículas. El concepto de campo eléctrico, las líneas de fuerza. cálculo del campo generado por partículas.
Ejercicios Resueltos de Físics Cuántica II
1. Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables con una separación de ퟎ.ퟐퟎퟎ 풏풎. Determine los niveles de energía para los estados 풏=ퟏ,ퟐ 풚 ퟑ.
a) Encuentre la rapidez del electrón en el estado 풏=ퟏ.
2. Una partícula de masa 풎 está confinada a una caja unidimensional entre 풙=ퟎ y 풙=푳. Encuentre el valor esperado de la posición 풙 de la partícula en el estado caracterizado por el número cuántico 풏.
3. Un electrón está en un pozo cuadrado de potencial con profundidad infinita de ancho 풍=ퟏ.ퟎퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ 풎. Si el electrón está en el estado fundamental, ¿cuál es la probabilidad de encontrarlo en una región de ancho Δ풙=ퟏ.ퟎퟏ×ퟏퟎ−ퟏퟐ 풎 en el centro del pozo (en 풙=ퟎ.ퟓퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎)?
4. Para el cobre metálico, determine a) la energía de Fermi, b) la energía promedio de los electrones y c) la rapidez de los electrones en el nivel de Fermi (lo que se conoce como rapidez de Fermi).
5. El núcleo 퐙퐧ퟔퟒ tiene una energía de ퟓퟓퟗ,ퟎퟗ 퐌퐞퐕 use la formula semiempirica de energía para generar una estimación teórica de enlace para este núcleo.
6. Unos protones se colocan en un campo magnético con dirección 풛 y ퟐ,ퟑퟎ T de magnitud. a) ¿Cuál es la diferencia de energías entre un estado con la componente 풛 de un protón de cantidad de movimiento angular espín paralela al campo, y uno con la componente anti paralela al campo? b) Un protón puede hacer una transición de uno a otro de esos estados, emitiendo o absorbiendo un fotón de energía igual a la diferencia de energías entre los dos estados. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de ese fotón.
7. Calcule el nivel mínimo de energía para una partícula en una caja, si la partícula es un electrón, y la caja mide ퟓ.ퟎ ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎 en su interior, es decir, es un poco mayor que un átomo.
8. Demostrar las equivalencias entre unidades.
1푠=1,519 푥 1021푀푒푉−1. 1푓푚=5,068 푥 10−3푀푒푉.
9. Calcular cuántos fotones pos segundo emite una bombilla de ퟏퟎퟎ풘. La longitud de onda visible es de 흀~ퟔퟎퟎퟎ푨.
10. Un paquete de electrones es acelerado mediante una diferencia de potencial de ퟓퟎ ퟎퟎퟎ푽 y posteriormente lanzado contra una placa de plomo para producir rayos 푿 por bremsstra hlung. Determine la longitud de onda mínima de los rayos 푿 que se pueden obtener con este montaje.
La carga eléctrica y el fenómeno de inducción. La ley de Coulomb y el cálculo de la fuerza entre partículas. El concepto de campo eléctrico, las líneas de fuerza. cálculo del campo generado por partículas.
I've made this document with IPython Notebook. It contains the Newton and Neville's algorithms written with Python 3 using Matplotlib, Sympy and Numpy.
En esta presentación se ofrece una vista a gran escala de lo que son las secciones cónicas, su historia, como aparecen en la vida diaria, como podemos presentarlas a los estudiantes de una forma más simple, sus ecuaciones y finalmente algunos recursos electrónicos.
Trabajo presentación referente a todo lo que engloban el plano numérico. En el encontrarás, anexado con ejercicios explicados :
1) Definición de Plano Numérico.
2) Distancia en el Plano Numérico.
3) Punto medio en un Plano Numérico.
4) Ecuaciones del Plano Numérico.
6) Trazado de Circunferencias en un Plano Numérico.
7) Parábolas.
8) Elipses.
9) Hipérbolas.
10) Representación gráfica de las Ecuaciones de las Cónicas.
11) Referencias Bibliográficas sobre el contenido abordado, con sus enlaces web.
Presentación realizada por Ariadna Guidotti estudiante del PNF de Turismo, sección 0102. Evaluación propuesta en la materia de Matemáticas, Trayecto Inicial.
Cónicas, Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas PolaresYasimer Tovar
Para representar gráficamente una
ecuación en el sistema de coordenadas
polares, hay que trazar una curva en
torno a un punto fijo llamado polo.
Considérese una región limitada por
una curva y por los rayos que pasan
por los extremos de un intervalo de la
curva. Para aproximar el área de tales
regiones se usan sectores circulares.
En este trabajo, se verá cómo puede
emplearse el proceso de límite para
encontrar esta área.
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3.pdfsandradianelly
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestr
2. Cónicas
Una cónica o sección cónica es un lugar geométrico que se obtiene al intersec-
tar un plano con un cono.
Si el plano no pasa por el vértice se obtienen las cónicas no degeneradas: circunferencia, elipse,
parábola e hipérbola.
Si el plano corta el vértice se obtienen las cónicas degeneradas: un punto, una recta generatriz del
cono, dos rectas que se cortan en el vértice del cono.
Figura 1: Diferentes Cortes de un plano con un cono
(1) Parábola (2) Elipse (arriba) y Circunferencia (abajo) (3) Hipérbola
Fuente Wikipedia1
2
3. Formulario Cónicas Formulario 3
Circunferencia
Lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo
y coplanario llamado Centro en una cantidad constante llamada Radio.
..
diámetro
.
Long. Arco
.radio.
secante
.
cuerda
.
tangente
Figura 2: Principales Elementos De La Circunferencia
Longitud Circunferencia: L = 2 · π · r
Longitud Arco Circunferencia: L =
2 · π · r · α
360◦
/α es el ángulo del arco.
Área Circunferencia: A = π · r2
Ecuaciones De La Circunferencia
Coordenadas Cartesianas: Sea C = (a,b) el Centro de la circunferencia y r su radio. Representa-
mos la circunferencia de centro C y radio r en cartesianas como:
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
Si el centro es el origen de coordenadas se representa por:
x2
+ y2
= r2
Si además, el radio es r = 1, se le denomina Circunferencia Unidad o Circunferencia Goniomé-
trica x2 + y2 = 1.
3 Cónicas
4. Formulario Cónicas Formulario 4
Desarrollemos (x − a)2 + (y − b)2 = r2 para obtener la Forma General de la Circunferencia:
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
⇒ x2
− 2ax + a2
+ y2
− 2by + b2
= r2
⇒ x2
+ y2
− 2ax − 2by + b2
− r2
= 0
Definimos lo siguiente:
A = −2a, B = −2b, C = b2
− r2
Lo sustituimos en la última expresión y obtenemos:
x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0 → Forma General De La Circun f erencia
Ecuación Vectorial: De centro C = (a,b) y radio R, tal que θ ∈ [0, 2π[
−→r = (a + R · cos (θ) , b + R · sin (θ))
Ecuación Paramétrica: De centro C = (a,b) y radio r. Lo expresamos en forma de función:
f (t) = (a + r · cos(t), b + r · sin(t)) ∀ t ∈ [0,2π]
4 Cónicas
5. Formulario Cónicas Formulario 5
Elipse
Lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las
distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
..C.
b
.
-b
. a.-a .F1 . F2.
c
.
a
.
b
.
P
.
x =
a2
c
.
D
. d
Figura 3: Principales Elementos De La Elipse
Área: A = 2 · π · a · b
Elementos de una Elipse
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a 2 ejes perpendiculares entre sí, que
son los semiejes:
Semieje Mayor: En la figura es el que va de -a hasta a. Su valor es 2 · a
Semieje Menor: En la figura es el que va de -b hasta b. Su valor es 2 · b
Si la elipse es vertical, entonces se tiene:
Semieje Mayor: Va de -b a b. Su valor es 2 · b
Semieje Menor:Va de -a a a. Su valor es 2 · a
Miden la mitad de los ejes mayor y menor, respectivamente.
Focos: Son 2 puntos que están a la misma distancia del centro de la elipse.
d(F1, C) = d(F2, C) ⇒ Distancia Focal
Dado un punto cualquiera P de la elipse, se cumple:
d(P, F1) + d(P, F2) = 2 · a
5 Cónicas
6. Formulario Cónicas Formulario 6
Si consideramos F1 = (−c,0), F2 = (c,0), siendo c = d(C,F1) = d(C,F2), la distancia de uno de los
focos al centro de la elipse. Se define:
Distancia Focal: Es el valor 2 · c
Se cumple la siguiente ecuación fundamental (Ver el triángulo de la figura 2):
a2
= b2
+ c2
La fórmula cambia cuando la elipse es vertical a:
b2
= a2
+ c2
No hace falta que la memorices, sólo hace falta que recuerdes el Teorema de Pitágoras.
Excentricidad (ϵ): Indica la forma de la elipse, cuanto más cerca de cero más se parecerá a una
circunferencia. O lo que es lo mismo, si a = b ⇒ ϵ = 0 ⇒ Circun f erencia
ϵ = c
a ; 0 ≤ ϵ ≤ 1
Como c =
√
a2 − b2 ⇒ ϵ =
√
a2−b2
a2 =
√
1 − (b
a )2
Directrices: ϵ =
PF
PD
Si definimos f = PF d = PD ⇒ ϵ =
f
a
ϵ =
a
d
⇒ d =
a
ϵ
⇒ d =
a
c
a
⇒ d =
a2
c
Luego la directriz para una elipse horizontal centrada en el origen es la recta vertical: x =
a2
c
Si el centro elipse es C(h, k) tenemos:
Directriz Elipse Horizontal: x = h +
a2
c
Directriz Elipse Vertical: y = k +
b2
c
Ecuaciones De La Elipse
Coordenadas Cartesianas: Consideremos el centro de la elipse por C = (x0,y0), con a,b sus semi-
ejes. Se puede expresar la ecuación de la elipse en Cartesianas de forma explícita como:
(x − x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
Paramétricas: Si θ ∈ [0,2π[ Lo expresamos como función paramétrica:
f (θ) = (x0 + a · cos(θ), y0 + b · sin(θ))
6 Cónicas
7. Formulario Cónicas Formulario 7
Parábola
Lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada,
llamada Directriz, y a un punto exterior a ella llamado Foco.
..
vértice
.
eje
.
lado recto
.
foco
.
directriz
Figura 4: Principales Elementos De La Parábola
Tomemos la siguiente nomenclatura:
V = (h,k) V ´ertice F = Foco p = d(F,V) → Distancia Focal R = Longitud Lado Recto
Lado Recto: Segmento de la parábola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.
Foco Parábola Vertical: F = (h,k + p)
Foco Parábola Horizontal: F = (h + p,k)
Directriz Parábola Vertical: y = k − p
Directriz Parábola Horizontal: x = h − p
Propiedad Del Lado Recto: R = 4 · p
La parábola es la única sección cónica que cumple que su excentricidad es 1,
e = 1. Luego todas las parábolas son semejantes.
7 Cónicas
8. Formulario Cónicas Formulario 8
Ecuaciones De La Parábola
Denotemos V = (xv, yv) el Vértice de una parábola cualquiera.
1. Vértice En El Origen Y Eje Vertical ⇒ y = a · x2
2. Vértice En El Origen Y Eje Horizontal ⇒ x = a · y2
3. Vértice No En El Origen y Eje Vertical ⇒ (y − yv) = a · (x − xv)2
4. Vértice No En El Origen y Eje Horizontal ⇒ (x − xv) = a · (y − yv)2
5. Forma Explícita y Eje Vertical ⇒ y = ax2 + bx + c
6. Forma Explícita y Eje Horizontal ⇒ x = ay2 + by + c
7. Forma Respecto Distancia Focal (p) ⇒ (x − xv)2 = 4p(y − yv)
Características De La Parábola
Consideremos la forma y = ax2 + bx + c
Si a > 0 → Parábola hacia arriba, el vértice es un Mínimo.
Si a < 0 → Parábola hacia abajo, el vértice es un Máximo.
Calcular Vértice: xv =
−b
2a
. Para calcular yv basta sustituir x por xv en y = ax2 + bx + c
8 Cónicas
9. Formulario Cónicas Formulario 9
Hipérbola
Lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de
la diferencia a sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la
distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
...
y
=
x
y
=
−
x
x = 1√
2
x = −1√
2
a-a C F1F2
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
Hipérbola x2 − y2 = 1
. ..x2 − y2 = 1
. ..y = x
. ..y = −x
.
Semiejes
Es el segmento
[−a, a] = [−1, 1]
El otro semieje es ima-
ginario
Vértices
(±a,0) = (±1,0)
Focos
c2 = a2 + b2 → c =
√
2
F1(
√
2,0) F2(−
√
2,0)
Excentricidad
e = c
a → e =
√
2
Asíntotas
y = ±b
a x → y = ±x
Directrices
x = ±a2
c → x = ± 1√
2
Figura 5: Hipérbola Canónica x2 − y2 = 1
9 Cónicas
10. Formulario Cónicas Formulario 10
Elementos De La Hipérbola
Si consideramos una hipérbola centrada en C = (h, k), tenemos lo siguiente:
Hipérbola Horizontal ⇒
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
= 1
Hipérbola Vertical ⇒
(y − h)2
b2
−
(x − k)2
a2
= 1
1. Semieje Hipérbola Vertical: Segmento [−b, b], el otro es imaginario.
2. Semieje Hipérbola Horizontal: Segmento [−a, a], el otro es imaginario.
3. Vértices Hipérbola Vertical: Puntos V(0, ± b)
4. Vértices Hipérbola Horizontal: Puntos V(±a, 0)
5. Distancia Focal Hipérbola: c2 = a2 + b2 → c =
√
a2 + b2
6. Focos Hipérbola Horizontal: F(h ± c, k)
7. Focos Hipérbola Vertical: F(h, k ± c)
8. Excentricidad Hipérbola Horizontal: ϵ = c
a
9. Excentricidad Hipérbola Vertical: ϵ = c
b
10. Asíntotas Hipérbola Horizontal: y = k ± b
a · x
11. Asíntotas Hipérbola Vertical: x = h ± a
b · x
10 Cónicas
11. Formulario Cónicas Formulario 11
12. Directrices Hipérbola Horizontal: x = h ± a2
c
13. Directrices Hipérbola Vertical: y = k ± b2
c
Ecuaciones De La Hipérbola
Denotemos el centro de una hipérbola por C = (h, k).
1. En Cartesianas Y Horizontal ⇒
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
= 1
2. En Cartesianas Y Vertical ⇒
(y − h)2
b2
−
(x − k)2
a2
= 1
3. Canónica Vertical ⇒
x2
a2
−
y2
b2
= 1
4. Canónica Horizontal ⇒
y2
b2
−
x2
a2
= 1
5. Paramétricas:
a) Tipo I: f (t) = (h ± a · cosh t, k + b · sinh t) ∀ t ∈ R
b) Tipo II: f (t) = (h + a · sec t, k + b · tan t) ∀ t
6. Compleja: | z − w1 | − | z − w2 |= 2 · l
11 Cónicas