Ponencia presentada en “ENTREFORMAS, X CONGRESO NACIONAL, VII INTERNACIONAL, Y I MUNDIAL de la SOCIEDAD DE ESTUDIOS MORFOLÓGICOS DE LA ARGENTINA SEMA”, realizado en la Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo (FADU), de la Universidad de Buenos Aires (UBA), Argentina, del 15 al 18 de septiembre de 2015.
Los Congresos SEMA tienen como objeto convocar a investigadores de la Morfología a disertar sobre un tema específico, siendo el llamado para esta versión 2015 la presentación de ponencias en torno al concepto de ENTREFORMAS. Nuestra ponencia presenta un ensayo de visualización denominado Tabla de Universos Dimensionales, en el cual se realiza una indagación sobre espacios de diferente clave dimensional, como instrumento para ubicar la realidad concreta, tanto de la materia física como la existencia, y su posición relativa —en términos topológicos— con otras realidades, bien sea rigorosamente matemáticas, o de especulación metafísica. Es una mirada entre encrucijadas para develar que en el universo de las formas existen otras lecturas diferentes a los tradicionales “punto, línea, plano, etc.”. Se reconocen conjuntos de formas que representan particularidades y diferencias de los universos dimensionales, proporcionando una herramienta taxonómica para establecer relaciones entre formas y la variable dimensión. En esta mirada se identifican las siguientes entreformas: protoformas, contraformas, hiperformas, cuasiformas y tempoformas. Esta argumentación es el resultado del desarrollo del tercer tópico de nuestro proyecto de investigación dimension1ar, denominado “Grupos dimensionales de formas”.
La topología estudia las propiedades geométricas de figuras que permanecen inalteradas bajo deformaciones continuas como doblar o estirar. Algunas propiedades topológicas incluyen el número de agujeros, conectividad y tipo de superficie. La topología ha desarrollado teorías sobre nudos, grafos y clasificaciones de superficies.
Notas geometría y arquitectura topológica m3Santiago Sáez
Este documento presenta una guía sobre geometría. Explica los diferentes tipos de geometrías como la paleolítica, neolítica y euclidiana. También describe las geometrías no euclidianas como la hiperbólica y elíptica. Se enfoca en la geometría topológica, explicando sus operaciones y propiedades como el género. Finalmente, discute aplicaciones de la geometría topológica en arquitectura a través de ejemplos como las obras de Toyo Ito y Steven Holl.
Este documento discute la relación entre la geometría fractal y el diseño arquitectónico. Explica que en las últimas décadas, la geometría fractal se ha sumado a la geometría clásica de Euclides y es considerada por arquitectos de todo el mundo en sus propuestas y creaciones. Además, busca establecer esta relación de una manera informativa sin detalles matemáticos complejos, enfocándose en los puntos esenciales para la comprensión e interpretación correcta.
Los fractales son objetos matemáticos que exhiben autosimilitud a cualquier escala. Fueron descubiertos por Benoit Mandelbrot y se caracterizan por tener una dimensión fraccionaria. Los fractales se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como montañas, árboles y costas, y también se usan en arte, ciencia y tecnología.
La proporción es una relación geométrica, aritmética y armónica entre las partes y el todo de una construcción que crea orden y equilibrio. En la arquitectura, la proporción se ha utilizado desde la antigüedad para lograr belleza y armonía, como en el Partenón que usa la sección áurea. Además de la sección áurea, la razón cordobesa también se ha usado comúnmente en la arquitectura andaluza. La proporción es fundamental para que los edificios sean agradables y func
El documento habla sobre la arquitectura fractal, una nueva geometría inspirada en la naturaleza. Explica que los fractales son figuras que se repiten a diferentes escalas y pueden generarse a través de funciones iteradas o procesos estocásticos. También menciona algunos ejemplos arquitectónicos como las catedrales góticas y obras de Gaudí que parecen seguir patrones fractales. Finalmente, argumenta que la arquitectura podría beneficiarse del estudio de la geometría fractal para crear entornos más
El documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura se repite a diferentes escalas. Un fractal tiene una dimensión fractal no entera y propiedades de autosimilitud. Algunos ejemplos de fractales naturales son las montañas, las nubes y las líneas costeras. Los fractales matemáticos incluyen la curva de Koch, el triángulo de Sierpinski y el conjunto de Mandelbrot.
La Geometría del Universo Exposición en el 1er Aquelarre Matemático Efrain Vega
Este documento resume la presentación de R. Penrose sobre la geometría del universo. Introduce geometrías no euclidianas como la geometría hiperbólica de Lobachevsky y la geometría esférica. También describe cómo estas geometrías pueden representarse en el plano euclidiano a través de modelos como el proyectivo y conforme. Finalmente, discute cómo estas geometrías no euclidianas podrían describir la estructura a gran escala del universo.
La topología estudia las propiedades geométricas de figuras que permanecen inalteradas bajo deformaciones continuas como doblar o estirar. Algunas propiedades topológicas incluyen el número de agujeros, conectividad y tipo de superficie. La topología ha desarrollado teorías sobre nudos, grafos y clasificaciones de superficies.
Notas geometría y arquitectura topológica m3Santiago Sáez
Este documento presenta una guía sobre geometría. Explica los diferentes tipos de geometrías como la paleolítica, neolítica y euclidiana. También describe las geometrías no euclidianas como la hiperbólica y elíptica. Se enfoca en la geometría topológica, explicando sus operaciones y propiedades como el género. Finalmente, discute aplicaciones de la geometría topológica en arquitectura a través de ejemplos como las obras de Toyo Ito y Steven Holl.
Este documento discute la relación entre la geometría fractal y el diseño arquitectónico. Explica que en las últimas décadas, la geometría fractal se ha sumado a la geometría clásica de Euclides y es considerada por arquitectos de todo el mundo en sus propuestas y creaciones. Además, busca establecer esta relación de una manera informativa sin detalles matemáticos complejos, enfocándose en los puntos esenciales para la comprensión e interpretación correcta.
Los fractales son objetos matemáticos que exhiben autosimilitud a cualquier escala. Fueron descubiertos por Benoit Mandelbrot y se caracterizan por tener una dimensión fraccionaria. Los fractales se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como montañas, árboles y costas, y también se usan en arte, ciencia y tecnología.
La proporción es una relación geométrica, aritmética y armónica entre las partes y el todo de una construcción que crea orden y equilibrio. En la arquitectura, la proporción se ha utilizado desde la antigüedad para lograr belleza y armonía, como en el Partenón que usa la sección áurea. Además de la sección áurea, la razón cordobesa también se ha usado comúnmente en la arquitectura andaluza. La proporción es fundamental para que los edificios sean agradables y func
El documento habla sobre la arquitectura fractal, una nueva geometría inspirada en la naturaleza. Explica que los fractales son figuras que se repiten a diferentes escalas y pueden generarse a través de funciones iteradas o procesos estocásticos. También menciona algunos ejemplos arquitectónicos como las catedrales góticas y obras de Gaudí que parecen seguir patrones fractales. Finalmente, argumenta que la arquitectura podría beneficiarse del estudio de la geometría fractal para crear entornos más
El documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura se repite a diferentes escalas. Un fractal tiene una dimensión fractal no entera y propiedades de autosimilitud. Algunos ejemplos de fractales naturales son las montañas, las nubes y las líneas costeras. Los fractales matemáticos incluyen la curva de Koch, el triángulo de Sierpinski y el conjunto de Mandelbrot.
La Geometría del Universo Exposición en el 1er Aquelarre Matemático Efrain Vega
Este documento resume la presentación de R. Penrose sobre la geometría del universo. Introduce geometrías no euclidianas como la geometría hiperbólica de Lobachevsky y la geometría esférica. También describe cómo estas geometrías pueden representarse en el plano euclidiano a través de modelos como el proyectivo y conforme. Finalmente, discute cómo estas geometrías no euclidianas podrían describir la estructura a gran escala del universo.
Este documento habla sobre los conceptos de proporción y escala en arquitectura. Explica que la proporción se refiere a la relación justa y armoniosa entre las partes de un todo. Luego describe diferentes sistemas de proporcionalidad como la sección áurea, los órdenes clásicos, el Modulor y las proporciones antropomórficas. Finalmente, define la escala como la relación entre el tamaño de un objeto y un estándar de referencia, y explica diferentes tipos de escala como la natural,
El documento describe diferentes tipos de proporción como la geométrica, aritmética y armónica. Explica el sistema de medidas Modulor desarrollado por Le Corbusier basado en las proporciones del cuerpo humano y las matemáticas. También describe teorías renacentistas sobre proporciones como El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci y la secuencia de Fibonacci encontrada en la naturaleza.
Este documento discute los conceptos de proporción y escala en arquitectura. Explica que la proporción se refiere a las relaciones justas y armoniosas entre las partes de un edificio o entre los elementos. También describe varios sistemas de proporcionalidad como la sección áurea, los órdenes clásicos y el Modulor de Le Corbusier. Por último, define la escala y los diferentes tipos como la escala natural, de reducción y ampliación.
Este manual presenta una introducción a la geometría y su historia. Explica que la geometría estudia las propiedades del espacio y se divide en euclidiana y no euclidiana. Dentro de la geometría euclidiana se incluyen ramas como la geometría plana, sólida, trigonometría, proyectiva, analítica y diferencial. También presenta breves antecedentes sobre figuras importantes en el desarrollo de estas ramas como Euclides, Arquímedes y Descartes.
Este documento resume la historia y conceptos fundamentales de la topología. Explica que la topología estudia las propiedades geométricas que se mantienen cuando se deforman o estiran objetos, como un círculo y un cuadrado que son topológicamente equivalentes. También describe cómo la conjetura de Poincaré, sobre la única variedad topológica cerrada sin agujeros en dimensión 3, fue demostrada décadas después por otros matemáticos. Finalmente, señala que aplicamos razonamientos topológic
Este documento describe la geometría fractal y dos ejemplos de fractales: el triángulo de Sierpinski y la curva de Koch. La geometría fractal involucra objetos geométricos que se reproducen a sí mismos a escalas cada vez menores. El triángulo de Sierpinski se crea eliminando el triángulo central de tres triángulos más pequeños repetidamente. La curva de Koch se creó originalmente en 1904 y muestra auto-similitud al observarse a diferentes escalas.
Benoît Mandelbrot fue un matemático polaco-estadounidense que acuñó el término "fractal" y es considerado el padre de la geometría fractal. Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas y muchas estructuras naturales como nubes, montañas y costas tienen forma fractal. El conjunto de Mandelbrot es un conjunto fractal complejo muy conocido definido por una sucesión recursiva.
El documento trata sobre la simetría en arquitectura y su evolución a través de la historia. Explica que la simetría ordena la forma para mostrar la belleza natural y describe los diferentes tipos de isometrías como la reflexión, traslación y rotación. Luego analiza el uso de la simetría en la arquitectura griega, romana, renacentista, modernista y de arquitectos como Brunelleschi, Alberti, Palladio y Le Corbusier.
M.C. Escher era un artista difícil de clasificar que plasmaba en sus obras lo que le gustaba sin grandes pretensiones o mensajes. Sus obras se clasifican en tres categorías: la estructura del espacio, la estructura de la superficie, y la proyección del espacio tridimensional en el plano. Escher fue capaz de mezclar la realidad con su imaginación para crear un nuevo espacio.
Metodología de la Investigación II: Arquitectura y EspacioHector Favela
Este documento presenta conceptos clave sobre diseño, arquitectura y espacio. Explica que el diseño es la mejor expresión visual de una solución funcional y adecuada a su tiempo. Define la arquitectura como el triunfo de la imaginación humana sobre los materiales y métodos para dotar al hombre de su propio mundo. Explora conceptos como forma, espacio, luz, textura, movimiento, tamaño y sus relaciones espaciales.
Este documento trata sobre la composición simétrica en el arte. Explica que la simetría puede ser axial o radial, y geométrica o aparente. Incluye ejemplos de obras de arte famosas que utilizan diferentes tipos de simetría, como El nacimiento de Venus de Botticelli y la fachada de Notre Dame. También describe cómo se usa la "compensación de masas visuales" para suavizar la rigidez de la simetría geométrica estricta.
Este documento describe los principales elementos del diseño gráfico como la proporción, simetría, equilibrio, contraste y armonía. Explica que la proporción se refiere a las relaciones entre las partes de un diseño y el todo, y que la proporción áurea busca lograr una división armónica. También cubre conceptos como el número de oro, la sección áurea y su aplicación en obras de arte renacentistas.
Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas de manera que se ve igual independientemente de la distancia desde la que se observe. Los fractales se encuentran comúnmente en la naturaleza y fueron definidos formalmente por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. Se construyen mediante la repetición recursiva de una forma geométrica a escalas decrecientes.
En el siguiente ensayo hablaremos sobre los fractales, su invención, en qué consisten, técnicas para crear distintos fractales y algunas de sus aplicaciones
Este documento explora los conceptos de proporción, escala y geometría en la arquitectura. Explica diferentes teorías de proporción como la sección áurea y los órdenes arquitectónicos. También analiza sistemas de medición como el Modulor, el Ken y la relación entre proporción y escala. Finalmente, define los conceptos básicos de geometría y su aplicación en el diseño arquitectónico.
El documento describe las formas positivas y negativas en el arte, así como las diferentes formas en que las formas pueden interactuar. También explora la obra y la vida del artista M.C. Escher, conocido por sus ilustraciones que exploran conceptos matemáticos y ópticos como la perspectiva, la simetría y las formas imposibles. Escher creó más de 400 litografías que representaban mundos surrealistas con formas que cambian gradualmente entre sí.
Los fractales son representaciones visuales de ecuaciones matemáticas que describen fenómenos naturales como líneas costeras, formas de plantas y patrones climáticos. Tienen áreas finitas pero perímetros infinitos. El conjunto de Mandelbrot es un fractal formado por círculos concéntricos. Los fractales se generan mediante iteraciones de un patrón geométrico fijo a través de números complejos sometidos a pruebas matemáticas repetidas infinitamente.
Este documento trata sobre la simetría y asimetría. Explica que la simetría se refiere a la correspondencia exacta en tamaño, forma y posición de las partes de un todo. Luego describe brevemente la historia de la simetría, sus diferentes tipos como la bilateral, rotacional y de semejanza, y provee ejemplos como las manos humanas, moléculas y la arquitectura. Finalmente, define la asimetría como la ausencia de correspondencia exacta entre las partes de un elemento.
Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal.
Dar una breve explicación de algunos de los métodos de análisis fractal.
Mencionar algunas de las múltiples aplicaciones de los fractales y los métodos de análisis basados en esta técnica.
Mostrar un panorama de la tendencia en la utilización de las herramientas derivadas de la geometría fractal.
Este documento presenta una introducción al concepto de dimensión topológica. Explica que la dimensión se refiere a las propiedades espaciales de una forma y su capacidad de desarrollo espacial. También introduce la noción de topología como el estudio de las propiedades invariantes de una forma bajo deformaciones como dobleces o estiramientos. Finalmente, discute que cada universo dimensional tiene sus propias restricciones topológicas en cómo pueden transformarse las formas.
Ensayo final.............(online)......revisado......Eri Sa
Este documento presenta una introducción al tema de los fractales. Explica que los fractales son figuras geométricas que se caracterizan por su auto-semejanza y que pueden ser irregulares pero mantienen detalles a cualquier escala. Luego, describe algunos fractales clásicos como el conjunto de Cantor y la curva de Koch, y explica conceptos como la dimensión fractal y topológica. Finalmente, resume los pasos para construir estos fractales clásicos de manera recursiva.
Este documento presenta una introducción al tema de los fractales. Explica que los fractales son figuras geométricas que se caracterizan por su auto-semejanza y que pueden ser irregulares pero mantienen detalles a cualquier escala. Luego, describe algunos fractales clásicos como el conjunto de Cantor y la curva de Koch, y explica cómo se construyen. Finalmente, introduce conceptos como la dimensión fractal y cómo ésta difiere de la dimensión topológica.
Este documento habla sobre los conceptos de proporción y escala en arquitectura. Explica que la proporción se refiere a la relación justa y armoniosa entre las partes de un todo. Luego describe diferentes sistemas de proporcionalidad como la sección áurea, los órdenes clásicos, el Modulor y las proporciones antropomórficas. Finalmente, define la escala como la relación entre el tamaño de un objeto y un estándar de referencia, y explica diferentes tipos de escala como la natural,
El documento describe diferentes tipos de proporción como la geométrica, aritmética y armónica. Explica el sistema de medidas Modulor desarrollado por Le Corbusier basado en las proporciones del cuerpo humano y las matemáticas. También describe teorías renacentistas sobre proporciones como El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci y la secuencia de Fibonacci encontrada en la naturaleza.
Este documento discute los conceptos de proporción y escala en arquitectura. Explica que la proporción se refiere a las relaciones justas y armoniosas entre las partes de un edificio o entre los elementos. También describe varios sistemas de proporcionalidad como la sección áurea, los órdenes clásicos y el Modulor de Le Corbusier. Por último, define la escala y los diferentes tipos como la escala natural, de reducción y ampliación.
Este manual presenta una introducción a la geometría y su historia. Explica que la geometría estudia las propiedades del espacio y se divide en euclidiana y no euclidiana. Dentro de la geometría euclidiana se incluyen ramas como la geometría plana, sólida, trigonometría, proyectiva, analítica y diferencial. También presenta breves antecedentes sobre figuras importantes en el desarrollo de estas ramas como Euclides, Arquímedes y Descartes.
Este documento resume la historia y conceptos fundamentales de la topología. Explica que la topología estudia las propiedades geométricas que se mantienen cuando se deforman o estiran objetos, como un círculo y un cuadrado que son topológicamente equivalentes. También describe cómo la conjetura de Poincaré, sobre la única variedad topológica cerrada sin agujeros en dimensión 3, fue demostrada décadas después por otros matemáticos. Finalmente, señala que aplicamos razonamientos topológic
Este documento describe la geometría fractal y dos ejemplos de fractales: el triángulo de Sierpinski y la curva de Koch. La geometría fractal involucra objetos geométricos que se reproducen a sí mismos a escalas cada vez menores. El triángulo de Sierpinski se crea eliminando el triángulo central de tres triángulos más pequeños repetidamente. La curva de Koch se creó originalmente en 1904 y muestra auto-similitud al observarse a diferentes escalas.
Benoît Mandelbrot fue un matemático polaco-estadounidense que acuñó el término "fractal" y es considerado el padre de la geometría fractal. Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas y muchas estructuras naturales como nubes, montañas y costas tienen forma fractal. El conjunto de Mandelbrot es un conjunto fractal complejo muy conocido definido por una sucesión recursiva.
El documento trata sobre la simetría en arquitectura y su evolución a través de la historia. Explica que la simetría ordena la forma para mostrar la belleza natural y describe los diferentes tipos de isometrías como la reflexión, traslación y rotación. Luego analiza el uso de la simetría en la arquitectura griega, romana, renacentista, modernista y de arquitectos como Brunelleschi, Alberti, Palladio y Le Corbusier.
M.C. Escher era un artista difícil de clasificar que plasmaba en sus obras lo que le gustaba sin grandes pretensiones o mensajes. Sus obras se clasifican en tres categorías: la estructura del espacio, la estructura de la superficie, y la proyección del espacio tridimensional en el plano. Escher fue capaz de mezclar la realidad con su imaginación para crear un nuevo espacio.
Metodología de la Investigación II: Arquitectura y EspacioHector Favela
Este documento presenta conceptos clave sobre diseño, arquitectura y espacio. Explica que el diseño es la mejor expresión visual de una solución funcional y adecuada a su tiempo. Define la arquitectura como el triunfo de la imaginación humana sobre los materiales y métodos para dotar al hombre de su propio mundo. Explora conceptos como forma, espacio, luz, textura, movimiento, tamaño y sus relaciones espaciales.
Este documento trata sobre la composición simétrica en el arte. Explica que la simetría puede ser axial o radial, y geométrica o aparente. Incluye ejemplos de obras de arte famosas que utilizan diferentes tipos de simetría, como El nacimiento de Venus de Botticelli y la fachada de Notre Dame. También describe cómo se usa la "compensación de masas visuales" para suavizar la rigidez de la simetría geométrica estricta.
Este documento describe los principales elementos del diseño gráfico como la proporción, simetría, equilibrio, contraste y armonía. Explica que la proporción se refiere a las relaciones entre las partes de un diseño y el todo, y que la proporción áurea busca lograr una división armónica. También cubre conceptos como el número de oro, la sección áurea y su aplicación en obras de arte renacentistas.
Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas de manera que se ve igual independientemente de la distancia desde la que se observe. Los fractales se encuentran comúnmente en la naturaleza y fueron definidos formalmente por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. Se construyen mediante la repetición recursiva de una forma geométrica a escalas decrecientes.
En el siguiente ensayo hablaremos sobre los fractales, su invención, en qué consisten, técnicas para crear distintos fractales y algunas de sus aplicaciones
Este documento explora los conceptos de proporción, escala y geometría en la arquitectura. Explica diferentes teorías de proporción como la sección áurea y los órdenes arquitectónicos. También analiza sistemas de medición como el Modulor, el Ken y la relación entre proporción y escala. Finalmente, define los conceptos básicos de geometría y su aplicación en el diseño arquitectónico.
El documento describe las formas positivas y negativas en el arte, así como las diferentes formas en que las formas pueden interactuar. También explora la obra y la vida del artista M.C. Escher, conocido por sus ilustraciones que exploran conceptos matemáticos y ópticos como la perspectiva, la simetría y las formas imposibles. Escher creó más de 400 litografías que representaban mundos surrealistas con formas que cambian gradualmente entre sí.
Los fractales son representaciones visuales de ecuaciones matemáticas que describen fenómenos naturales como líneas costeras, formas de plantas y patrones climáticos. Tienen áreas finitas pero perímetros infinitos. El conjunto de Mandelbrot es un fractal formado por círculos concéntricos. Los fractales se generan mediante iteraciones de un patrón geométrico fijo a través de números complejos sometidos a pruebas matemáticas repetidas infinitamente.
Este documento trata sobre la simetría y asimetría. Explica que la simetría se refiere a la correspondencia exacta en tamaño, forma y posición de las partes de un todo. Luego describe brevemente la historia de la simetría, sus diferentes tipos como la bilateral, rotacional y de semejanza, y provee ejemplos como las manos humanas, moléculas y la arquitectura. Finalmente, define la asimetría como la ausencia de correspondencia exacta entre las partes de un elemento.
Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal.
Dar una breve explicación de algunos de los métodos de análisis fractal.
Mencionar algunas de las múltiples aplicaciones de los fractales y los métodos de análisis basados en esta técnica.
Mostrar un panorama de la tendencia en la utilización de las herramientas derivadas de la geometría fractal.
Este documento presenta una introducción al concepto de dimensión topológica. Explica que la dimensión se refiere a las propiedades espaciales de una forma y su capacidad de desarrollo espacial. También introduce la noción de topología como el estudio de las propiedades invariantes de una forma bajo deformaciones como dobleces o estiramientos. Finalmente, discute que cada universo dimensional tiene sus propias restricciones topológicas en cómo pueden transformarse las formas.
Ensayo final.............(online)......revisado......Eri Sa
Este documento presenta una introducción al tema de los fractales. Explica que los fractales son figuras geométricas que se caracterizan por su auto-semejanza y que pueden ser irregulares pero mantienen detalles a cualquier escala. Luego, describe algunos fractales clásicos como el conjunto de Cantor y la curva de Koch, y explica conceptos como la dimensión fractal y topológica. Finalmente, resume los pasos para construir estos fractales clásicos de manera recursiva.
Este documento presenta una introducción al tema de los fractales. Explica que los fractales son figuras geométricas que se caracterizan por su auto-semejanza y que pueden ser irregulares pero mantienen detalles a cualquier escala. Luego, describe algunos fractales clásicos como el conjunto de Cantor y la curva de Koch, y explica cómo se construyen. Finalmente, introduce conceptos como la dimensión fractal y cómo ésta difiere de la dimensión topológica.
La formula de Euler (modificada) combina en una sola formulación una escala natural con una escala fractal, tridimensional. La combinación: una relación en la cuarta dimensión.
El documento presenta un resumen de tres teorías geométricas no euclidianas:
1) La geometría hiperbólica de Lobachevski, donde por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas.
2) La geometría elíptica de Riemann, donde por un punto exterior no pasa ninguna paralela.
3) Estas teorías generan una visión diferente del espacio, que ahora puede ser curvo en lugar de plano.
Este documento presenta una línea de tiempo sobre la crisis de los fundamentos matemáticos desde la antigua Grecia hasta el siglo XX. Destaca hitos como las dudas sobre el infinito planteadas por Zenón en el siglo V a.C., el desarrollo del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz en los siglos XVII-XVIII, y los esfuerzos de Cauchy, Weierstrass y Dedekind por establecer conceptos como límite y número real con rigor en el siglo XIX. Finalmente, examina las diferentes posiciones sobre
El documento presenta información sobre la geometría descriptiva y la geometría natural o fractales. Explica que la geometría descriptiva permite representar objetos tridimensionales en dos dimensiones a través de proyecciones, mientras que la geometría fractal se acerca más a las formas irregulares de la naturaleza a través de conceptos como la dimensión fractal y la autosemejanza. También indica que ambas geometrías se complementan y son útiles para representar y estudiar las formas tanto ideales como naturales.
Este documento describe la evolución histórica de los ambientes de trabajo con gráficas y cómo estas han permitido construir argumentaciones sobre variación. Se identifican cuatro ambientes gráficos principales: el de Oresme, Galileo, matemático y de cómics. El objetivo es determinar cómo estos ambientes pueden usarse en la escuela para que los estudiantes construyan significados sobre variación.
Este documento presenta una introducción al sistema de doble proyección ortogonal, que utiliza dos planos de proyección perpendiculares entre sí (plano horizontal y plano vertical) para representar objetos tridimensionales en dos dimensiones. Explica que este sistema surgió para facilitar la comunicación gráfica de diseños geométricos abstractos y fue fundamental para logros de ingeniería en el pasado. También define conceptos clave como origen de proyecciones, proyecciones, planos de proyección y regiones del espacio creadas por estos planos.
El documento describe las cuatro dimensiones principales: 1) longitud, 2) espacio plano (largo y ancho), 3) nuestra realidad tridimensional (largo, ancho y alto), y 4) tiempo como una cuarta dimensión según la teoría de la relatividad de Einstein.
Este documento introduce el sistema de doble proyección ortogonal y sus conceptos fundamentales. Explica que la proyección es un método para representar objetos tridimensionales en dos dimensiones manteniendo información geométrica. Describe los sistemas de proyección cónicos y cilíndricos, enfocándose en los sistemas cilíndricos ortogonales donde los rayos son paralelos. Finalmente, introduce conceptos clave como punto, recta, trazas y posición de la recta que serán desarrollados en capítulos poster
Este documento describe la evolución de la geometría proyectiva desde el Renacimiento hasta el siglo XIX. Artistas como Leonardo da Vinci y Alberto Durero aplicaron conceptos matemáticos a la perspectiva en el arte, sentando las bases para el posterior estudio formal de la geometría proyectiva. Gérard Desargues y Blaise Pascal desarrollaron los primeros teoremas de esta rama de la geometría en el siglo XVII. En el siglo XIX, matemáticos como Monge, Poncelet y Klein definieron formalmente la geome
Este documento describe los sistemas de coordenadas, incluyendo las coordenadas cartesianas y los sistemas de coordenadas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Explica conceptos como la pendiente de una recta, puntos medios, división de segmentos, rectas paralelas y perpendiculares. También cubre superficies como la cilíndrica y concluye destacando la importancia de los sistemas de coordenadas en aplicaciones como la geografía y la topografía.
Este documento define vectores en el espacio tridimensional y describe cómo se pueden representar y operar con ellos. Explica que un vector tiene magnitud, dirección y sentido y puede representarse mediante tres coordenadas (x, y, z) en un sistema de ejes ortogonales. También describe cómo los vectores pueden sumarse, restarse y multiplicarse por escalares, y cómo ciertos vectores generan planos y rectas en el espacio tridimensional.
Este documento describe los sistemas de coordenadas en el espacio, incluyendo coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica las transformaciones entre estos sistemas y conceptos como simetría y funciones de varias variables. También cubre la geometría en el espacio, con figuras como la esfera, el cilindro, el paraboloide, el elipsoide y la hiperboloide.
Este documento describe la evolución histórica del uso de gráficas para representar conceptos matemáticos de variación, incluyendo las contribuciones de Oresme, Galileo, Newton y Weierstrass. Explica cómo cada uno incorporó nuevos elementos a las gráficas y permitió construir nuevos significados matemáticos. El objetivo es reconocer los diferentes "ambientes gráficos" creados y cómo influyeron en las prácticas, significados, estrategias y herramientas asociadas con el trabajo matemático sobre variación representada
El documento describe las leyes de la percepción según la psicología de la Gestalt. Estas leyes explican cómo el cerebro organiza las percepciones en totalidades o configuraciones significativas. Se mencionan once leyes como la proximidad, simetría, uniformidad, igualdad, zona cerrada, buena continuidad, buena forma, movimiento común, experiencia, cruce ortogonal y contraste. Las leyes describen los principios por los cuales el cerebro crea la mejor organización posible de los elementos percibidos.
El documento explica que hay tres dimensiones espaciales (longitud, anchura y altura) y una dimensión temporal. Describe cada dimensión desde la primera (una línea) hasta la tercera (nuestra realidad tridimensional). También menciona la cuarta dimensión según la teoría de la relatividad de Einstein, donde el tiempo se considera una dimensión geométrica necesaria para ubicar objetos en el espacio-tiempo.
Este documento presenta y analiza varias paradojas matemáticas que han influido en el desarrollo del pensamiento matemático. Describe siete paradojas, incluyendo las paradojas de Zenón sobre el movimiento y la paradoja de Galileo. Las clasifica en dos grupos: paradojas semánticas, relacionadas con el significado de conceptos como infinito, y paradojas lógicas, que contradicen el principio del tercer excluido. El documento muestra cómo estas paradojas llevaron a cuestionar conceptos como igual
El documento describe la historia de las matemáticas desde las civilizaciones antiguas hasta el desarrollo del cálculo diferencial e integral por Newton y Leibniz en el siglo XVII. Explica cómo los conceptos matemáticos como los números se desarrollaron gradualmente y cómo las matemáticas avanzaron a medida que las sociedades se hicieron más complejas. También describe las contribuciones clave de Newton y Leibniz al cálculo y su impacto en las matemáticas modernas.
Similar a Entre universos dimensionales: Protoformas, Contraformas, Hiperformas, Cuasiformas y Tempoformas (20)
El presente ensayo es un subproducto de dimension1ar, investigación en creación artística financiada por la Vicerrectoría de Investigaciones de la Universidad del Valle, cuyo objeto es establecer un marco filosófico sobre los universos dimensionales de la forma, particularmente los existenciales, recurriendo al pensamiento de M. Heidegger. Inicia planteando la relación entre su pensamiento y la dimensión como variable taxonómica de la forma. Define posteriormente la noción de dimensión topológica. Y en su parte final, que constituye la esencia del trabajo, presenta una selección de tres escritos del filósofo alemán que a juicio del autor tienen una relación directa con la temática de la investigación. Citando textualmente a Heidegger, establece un diálogo con sus ideas más relevantes, concretamente las referidas a materia, espacio y tiempo.
Con la implementación de la realidad virtual como instrumento de la representación, aparece una nueva manera de pensar el proyecto, no ya de manera gráfica, sino vivencial, pasando del esquema a la construcción virtual. En ésta, mediante la combinación de herramientas de modelado tridimensional, haciendo presencia en un metaverso, y mediado por la figura de un avatar, se imagina y construye el proyecto en escala 1:1. El terreno es un lugar del ciberespacio, que simula la realidad física, en donde diseñadores y usuarios interactúan entre sí. Su verdadero potencial lo otorga la presencialidad virtual, prefigurándose el proyecto en un acto perceptivo de orden espacio temporal. En éste último, el diseñador y en escala de la realidad, “modela el proyecto”, cuyo insumo no son ya los puntos, líneas y planos del pensamiento gráfico, que son ahora reemplazados por el volumen, el entorno, la luz y la existencia, elementos constitutivos de la realidad dimensional de la arquitectura. Por ello creemos que la realidad virtual es hoy día un promisorio campo para la experimentación proyectual, siendo el objetivo de esta ponencia ilustrar sobre esta tecnología.
Ponencia presentada en el IX Congreso Nacional y Vi Internacional de la Sociedad de Estudios Morfológicos de la Argentina SEMA, bajo el tema: “FORMA i REALIDAD”, realizado en la Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño (FAUD), de la Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMdP), Argentina, del 9 al 11 de octubre de 2013.
El objeto de esta ponencia fue presentar una experiencia de reformulación pedagógica en el área curricular de expresión y técnicas de representación gráfica en arquitectura, en la que se utiliza una metáfora visoespacial basada en la noción de fractal, en donde las partes del todo curricular, son una expresión en diferentes escalas pedagógicas del conjunto del currículum.
La utilización de fractales como herramienta para pensar un modelo pedagógico establece un puente entre la pedagogía y la especificidad del área curricular, en cuya base están los problemas de representación de la forma.
La utilización de una realidad formal concreta como idea para una superestructura pedagógica, fue el motivo para presentar este trabajo en el evento SEMA 2013 FORMA i REALIDAD.
En esta presentación se hará la construcción y dibujo a mano alzada de las sombras en un cubo iluminado por el sol.
El cubo se considerará opaco y apoyado sobre el plano de tierra.
La construcción y dibujo se hará en dos etapas:
Una conducente a establecer la geometría del cubo y su sombra en las proporciones adecuadas.
Otra para conferir expresividad al dibujo mediante la aplicación de texturas que denoten los gradientes de iluminación de las superficies visualizadas.
Mapa conceptual que explica la Teoría del Aprendizaje Significativo, realizado con base en los conceptos expuestos en la obra "Psicología Educativa, un punto de vista cognoscitivo de D. Ausubel, J. Novak y H. Hanesian".
El mapa fue elaborado utilizando la herramienta IHMC CMapsTools (http://cmap.ihmc.us/).
Nota: para un óptima visualización del mapa conceptual, preferentemente descargar el documento, y verlo desde una aplicación lectora de archivos PDF.
El objeto de esta ponencia es presentar una experiencia de reformulación pedagógica que garantice el aprendizaje significativo para fomentar el pensamiento creativo y superar el nivel instrumental en las asignaturas del área curricular de expresión y técnicas de representación gráfica en arquitectura, en un marco renovado de las prácticas pedagógicas tradicionales, incluidas las nuevas tecnologías de la información y la comunicación (TICs).
La propuesta está referida al curso Pensamiento Gráfico I del Programa Académico de Pregrado de Arquitectura de la Universidad del Valle, en Cali, Colombia, y es un subproducto del trabajo realizado en la Especialización en Pedagogía del Diseño, en la Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, en el año 2011. Su implementación ha sido realizada durante los años 2011 y 2012 en la Universidad del Valle.
La ponencia transcrita aquí fue presentada en el II Encuentro Latinoamericano Introducción a la Enseñanza de la Arquitectura, realizado en Valparaíso, Chile en 2012.
El universo de las geometrías existentes en el universo es infinito. Describirlas todas resulta imposible. Como acometer entonces un estudio estético de la geometría de las formas que integran dicho universo es el objeto de este artículo. Para este propósito recurriremos aquí a una clasificación que parte del supuesto de que todas las formas existentes o imaginables dentro de los limites del espacio-tiempo, pueden ser descompuesta en unas cuantas formas, que son la base estructural de todas las formas posibles del universo. Plantearemos que estas formas por su geometría, puede ser entendida como una sumatoria de formas simples y regulares. Y que los valores físicos-visuales de las formas irregulares y complejas, están determinados por los valores físicos-visuales de las formas simples y regulares que concurren en la conformación de su estructura geométrica, planteamiento que nos llevará a establecer el concepto de familias de formas. Dentro de este propósito comenzaremos entonces por definir los valores de regularidad e irregularidad y simplicidad y complejidad de la forma.
Dependiendo de la geometría de la superficie de un volumen, este tendrá unas características particulares que lo definen en términos funcionales, estéticos y semánticos. En esta presentación se explica un sistema organizador de los volúmenes por sus características geométricas.
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Entre universos dimensionales: Protoformas, Contraformas, Hiperformas, Cuasiformas y Tempoformas
1. Entre Formas: Teoría, Investigación, Concreciones y Experiencias.
Congreso de ARS Buenos Aires, 2015
ENTRE UNIVERSOS DIMENSIONALES:
PROTOFORMAS, CONTRAFORMAS, HIPERFORMAS,
CUASIFORMAS Y TEMPOFORMAS
LUIS JAVIER ECHEVERRI VÉLEZ
Nombre: Luis Javier Echeverri Vélez, Arquitecto Diseñador, (n. Cali, Colombia, 1955).
Dirección: Escuela de Arquitectura, Facultad de Artes Integradas, Universidad del Valle. Oficina 3025,
Edificio 380, Sede de Meléndez. Cali, Colombia. E-mail: luis.echeverri@correounivalle.edu.co
Áreas de interés: morfología, diseño básico, expresión gráfica, imagen digital.
Publicaciones: Echeverri, Luis J. “Fractales como metáfora visoespacial de un escenario pedagógico”.
SEMA 2013 Forma i Realidad: libro de resúmenes. Universidad Nacional de Mar del Plata. Argentina, 2013.
Resumen: Mediante un ensayo de visualización denominado Tabla de Universos
Dimensionales se hace una indagación sobre espacios de diferente clave dimensional,
como un instrumento para ubicar la realidad concreta, tanto de la materia física como
la existencia, y su posición relativa —en términos topológicos— con otras realidades,
bien sea rigorosamente matemáticas, o de especulación metafísica. Es una mirada entre
encrucijadas para develar que en el universo de las formas existen otras lecturas
diferentes a los tradicionales “punto, línea, plano, etc.”. Se reconocen conjuntos de
formas que representan particularidades y diferencias de los universos dimensionales,
proporcionando una herramienta taxonómica para establecer relaciones entre formas y
la variable dimensión. En esta mirada se identifican las siguientes entreformas:
protoformas, contraformas, hiperformas, cuasiformas y tempoformas.
1 INTRODUCCIÓN
La Fig. 1, Tabla de Universos Dimensionales, y que es el objeto de esta ponencia, es un
ensayo de visualización de posibles universos dimensionales dependiendo de su clave
dimensional, como un instrumento para ubicar la realidad concreta, tanto física como
existencial, y su posición relativa —en términos topológicos— con otras realidades,
bien sea matemáticas, o de especulación metafísica. En la tabla se ha graficado en una
matriz bidimensional la posición relativa de algunos espacios físicos de dimensiones
2. superiores e inferiores, positivas y negativas. Esta matriz en un arreglo tridimensional,
se intersecta con otra correspondiente a un espacio de Minkowsky, como dos cintas que
concurren en sus dimensiones físicas comunes, en tanto se separan a partir de la
dimensión temporal que es potestativa a los diagramas de espacio-tiempo de
Minkowsky. El objeto de este instrumento visual es identificar las entreformas que
habitan dichos espacios, agrupadas por características dimensionales que les son
comunes, para una mejor comprensión de su función y significado.
2 PROTOFORMAS
En la intersección de las dos matrices referidas (en su parte inferior derecha), se sitúan
los familiares espacios 0D, 1D, 2D y 3D, que constituyen el espectro visible de la Tabla
de Universos Dimensionales, y sus respectivas formas: punto, línea, plano y volumen. A
estas formas las llamaremos protoformas, entendidas como las formas básicas,
originales, hipotéticas, de las que proceden todas las demás. Esta preeminencia es a la
Figura 1: Tabla de Universos Dimensionales
3. que alude Paul Klee en su célebre estudio de los “caminos primarios hacia la forma”. En
una aproximación filosófica categórica, Aloé (2013) las caracteriza como «“matrices
existenciales” sobre las cuales se articulan la multiplicidad de “acaeceres” de las
distintas colectividades».
3 CONTRAFORMAS
En la parte superior izquierda de la Tabla de Universos Dimensionales se encuentra la
región de los universos negativos, si es que existe algo como ello. Siguiendo la
implacable lógica matemática se adjudica el valor -1 al vacío, en alusión a la ausencia
de materia, por lo que todos los espacios subsiguientes serán también negativos. Y
aunque pareciera no ser del todo clara la idea de dimensiones negativas, es cierto que la
topología ha incursionado en ello desde hace rato, así sea por pruritos estéticos y no
exclusivamente matemáticos. Fue en la década de 1960 que se configuró la idea de
espectro, siendo este último la generalización de un espacio que permite dimensiones
negativas (Wolcott, 2013). Sobre éstas se refiere Mandelbrot como “inevitables”, en una
conferencia sobre dimensiones fractales negativas de 1989. Ahora bien, puede que las
“dimensiones negativas” no contengan “formas negativas”, pero si rastros originales de
“otras formas”, lo que permite suponer que existe una relación entre protoformas de
dimensión positiva y sus correspondientes negativas. Por tanto desde la dimensión -0
hasta la -, se ubican los espacios que aquí llamaremos negativos, y a sus habitantes,
contraformas.
La gran singularidad de esta serie es el valor negativo de la clave dimensional (-0D). En
la aritmética ordinaria, el número 0 no tiene signo, de modo que -0, 0 y +0 son
idénticos. Sin embargo, en muchas situaciones de la vida práctica es dado utilizar esa
distinción, lo que en matemáticas se conoce como una línea con dos orígenes, como
sucede en algunos protocolos de computación. La utilidad aquí del 0 negativo es la
recomposición simétrica entre espacios positivos y negativos que precisa de una
acepción contextual para un punto sin materia, esto es, vacío,
Las contraformas son singularidades en el vacío y actúan como contraparte de las
protoformas. Este enfoque, de si estructuralista, tiene importantes connotaciones
filosóficas ampliamente expuestas en las disertaciones de Norberg-Schulz, primero, en
su construcción sobre un sistema de espacios (1971), y, posteriormente, en su estudio de
un sentido del lugar (1980). Partiendo de la idea de que para que una forma exista, se
precisa de otra que la referencie, en una interpretación estética de esta singularidad
topológica denominamos a esta región el universo de los espacios contextuales. En este
último, y siguiendo con la serie de los números enteros negativos -0D, -1D, -2D y -3D,
se hallan el punto negativo, la línea negativa, el plano negativo, y el volumen negativo.
A estos espacios y en virtud de su particularidad contextual, los denominamos lugar,
camino, territorio y universo, teniendo su correspondencia en las protoformas punto,
línea, plano y volumen respectivamente.
4. 4 HIPERFORMAS
Siguiendo el orden de los enteros positivos y por arriba de la dimensión 3, se encuentra
en la Tabla de Universos Dimensionales los llamados espacios de dimensión superior,
la región de los hiperespacios y sus respectivas hiperformas, cuyas protoformas son los
hipervolúmenes 4D, 5D, 6D, etc. Estas formas se caracterizan por ser válidas desde su
realidad matemática, más no sensorial, ya que no son representables, tan solo en la
sombra o proyección en alguna dimensión menor del universo visible. Por ejemplo el
hipercubo que es un volumen 4D se construye en 3D como un arreglo de 8 prismas
conseguidos de la inserción de un cubo en otro, con sus vértices correspondientes
unidos por aristas, o proyectado en el espacio de 2D por una figura compuesta de 32
aristas. Finalmente sería dado suponer hiperespacios negativos en universos de -6, -7,
...-n dimensiones, los cuales por escaparse de cualquier aprehensión sensorial, no
entramos a considerar.
5 CUASIFORMAS
Otro conjunto de singularidades de la Tabla de Universos Dimensionales viene
determinado por los espacios intersticiales que se ubican entre una dimensión y otra,
como una clase intermedia que no alcanza a ser la protoforma de ninguna de las dos
dimensiones concurrentes. Así ubicadas entre las series de números que dan lugar a la
dimensión topológica, hay espacio para las dimensiones fractales. Por ejemplo, entre el
0 y el 1, existe un infinito número de espacios de dimensión decimal, igualmente entre
el 1 y el 2, o el 3 y 4, o cualquier par de números enteros positivos o negativos. A estos
espacios corresponden las cuasiformas que aquí hemos adjetivado con el término cuasi
(cuasilínea, cuasiplano, etc.), para indicar la insuficiencia de su cobertura o incapacidad
para cubrir un espacio entero (Dimensión de Hausdorff-Besicovitch). Ahora, desde un
punto de vista representativo resulta posible visualizar fractales, aquellos que
pertenecen a la porción del espectro visible comprendida entre 0D y 3D, quedando así
acotado su espectro visible. Descartamos el rango entre -1D y 0D, ya que si el punto
perteneciente a la dimensión 0D no resulta visible, es imposible visualizar físicamente
un cuasipunto, y menos aún las formas fractales por debajo de la dimensión -1. Igual
sucede con las formas fractales arriba del universo 3D, que pertenecerían a la clase de
los cuasihipervolúmenes. Sin embargo desde una perspectiva matemática tanto el uno
como las otras son absolutamente válidas.
6 TEMPOFORMAS
Finalmente se completa la Tabla de Universos Dimensionales introduciendo la
dimensión temporal para generar la matriz de los espacios temporales del universo
existencial, conocidos en matemáticas como espacios de Minkowsky. Se produce
entonces en el encuentro de la variable temporal con cada variable física, un suceso o
espacio dimensional diferente, a saber:
5. -0D+1T: La existencia (1T) en ausencia de materia (-0D), que remite a
connotaciones metafísicas tradicionales de la gran mayoría de culturas
humanas (el más allá), presuponiendo algo así como un universo espiritual.
0D+1T: La existencia (1T) con presencia de materia imperceptible (0D), como
sucede en los agujeros negros.
1D+1T: Una idea aproximada de un suceso unidimensional (1D) moviéndose
en el tiempo (1T) es la luz, como en el efecto visual que producen los rayos
láser, técnica muy utilizada como recurso escenográfico.
2D+1T: El plano (2D) más el tiempo (1T), es la dimensionalidad de
fenómenos visuales animados como las imágenes videomagnéticas o
cinematográficas.
3D+1T: Las tres dimensiones físicas (3D) más la temporal (1T), configuran el
espacio existencial, culminación en complejidad de las formas del espectro
visible. Comprende todas las protoformas de los universos dimensionales
anteriores reconsideradas desde una perspectiva existencial. Parafraseando a
Heidegger (1954), esas simples “cosas”, se transmutan a una categoría más alta
como es la de espacios, en los cuales es posible: “estar con la cosa, o en la
cosa, o ir o venir hacia o desde la cosa”, es decir, en una imbricación
perceptiva y espacial entre “cosa” y ser humano.
1T: Es la opción en la cual no existen dimensiones físicas, tan solo la
dimensión temporal (1T). En esta situación no es posible ningún fenómeno
físico ni visual. Sin embargo en un ejercicio de abstracción estética resulta
interesante considerar el sonido como la única expresión posible en un
universo sin materia física, aun siendo fenomenológicamente el sonido
inseparable de la materia.
Finalmente hacemos alusión a una singularidad en la matriz del universo de los espacios
temporales. Si se observa la Tabla de Universos Dimensionales, los espacios negativos
son compartidos por las dos clases de universos dimensionales, por lo que las
contraformas descritas anteriormente son también tempoformas negativas de carácter
contextual. La singularidad radica que al desprenderse la matriz del universo de los
espacios temporales de la matriz de los universos físicos, al final de las contraformas
aparece la variable temporal de signo negativo (-T), que intersecta el espacio
tridimensional negativo (-3D). En este punto se encuentra el espacio contextual
contraparte del espacio existencial, al que nos referimos simplemente como contexto.
En este caso el carácter negativo del tiempo se refiere al “tiempo que ya no es”, “el
tiempo que ya pasó”, y que forma el carácter de las formas (“cosas” en Heidegger) que
aparecerán en el presente relativo del espacio existencial. Esto es, la situación
contextual que es atributo del espacio, tanto físico como simbólico, es decir, material y
circunstancial, como un presupuesto más amplio que el simple enfoque fenomenológico
que plantea el genius-loci de Norberg-Shultz. Cabe resaltar aquí como buena parte de
las teorías proyectuales de la era moderna tienen su origen en esta polaridad, y su
adecuada resolución como presupuesto del buen diseño.
6. Referencias
Aloé, Víctor Dante. 2013. “La agonía de occidente”. Buenos Aires: Dunken, 2013.
Heidegger, Martin. 1954. “Construir, habitar, pensar”. Traducción de Eustaquio Barjau en “HEIDEGGER,
Martin. Conferencias y artículos”. Barcelona: Ediciones del Serbal, 1994.
Klee, Paul. “Caminos primarios hacia la forma”. De los cursos que dictara en el BauHaus, entre 1922 y 1925,
y que aparecen compilados en: “Notebooks Volume 1 The Thinking Eye”. Londres: Lund Humphries,
1969.
Mandelbrot, Benoit B. “Negative fractal dimensions and multifractals”. Statistical Physics 17, International
IUPAP Conference (Rio de Janeiro, 1989). Edited by Constantino Tsallis, Physica: A163, 1990, 306-
315. [Consultado en línea el 11 de 07 de 2015.]
http://users.math.yale.edu/users/mandelbrot/web_pdfs/123negativeFractalDimensions.pdf.
Norberg-Schulz, Christian. 1971. “Existencia, Espacio y Arquitectura”. Barcelona: Editorial Blume, 1975.
Norberg-Schulz, Christian. 1980. “Genius loci: towards a phenomenology of architecture”. s.l.: Academy
Editions, 1980.
Wolcott, Luke y McTernan, Elizabeth. 2013. “Imagining Negative-Dimensional Space”. Del sitio web: “For
the Luke of Math”. [Consultado en línea el: 11 de 07 de 2015.]
http://forthelukeofmath.com/documents/Wolcott-McTernan-workshop.pdf.