El documento describe las funciones y sus aplicaciones en diferentes áreas como las ciencias, la economía y la ingeniería. Explica que una función representa la relación entre magnitudes y puede usarse para calcular el valor de una variable en términos de otras. También analiza el cálculo del interés compuesto y cómo el número e surge en este contexto cuando el interés se compone indefinidamente.

1. FUNCIONES
EN EL AMBITO DEL
TECNICO EN SEGURIDAD INDUSTRIAL
Integrante: Gregory Ereú
Barquisimeto 12 de Mayo del 2014

2. En este informe algunas aplicaciones a la vida real y otras áreas de las ciencias
de las matemáticas. Uno de los conceptos más importantes es el de función, ya
que se pueden aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y
determinar las relaciones que existen magnitudes de matemáticas, física,
economía,…y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de las
que depende.
A partir de la observación de diversos fenómenos que se relacionan con otros a
nuestro alrededor, así como: el volumen de un gas a temperatura es constante,
está relacionado con la presión, la fuerza de atracción entre dos cuerpos se vio
que estaba relacionado con la masa y la distancia que los separa. Otra
observación que podemos prestar atención es que el capital final de una
inversión está determinado por el capital invertido y el tiempo de dure esa
inversión. Obviamente todas esas observaciones hicieron que muchas personas
estudiaran el comportamiento de diversos fenómenos y así dieron pie a
aproximar casi que con exactitud mediante un función, a veces sencilla o en
ocasiones bastante elaborada. Estas aplicaciones son útiles porque explican un
problema complejo con una simple función.
Importancia de las Funciones
El hombre ha estado interesado desde hace mucho
tiempo en las magnitudes que varían. La función fue
uno de los mejores instrumentos ideados para
estudiar la variación. El tiempo es una magnitud que
varía, se puede considerar que es variable natural
que está cambiando continuamente y de manera
uniforme. A medida que pasa el tiempo, otras
magnitudes también van variando. Por ello, cuando
el hombre invento el reloj y lo hizo lo
suficientemente exacto para medir el tiempo,
empezó, a su vez, a medir cómo y cuánto varían
otras magnitudes con respecto al tiempo.
Con frecuencia es necesario comparar dos o más funciones para ser
interpretadas conjuntamente. Generalmente, son funciones del mismo tipo, que
al ser comparadas arrojan información sobre el crecimiento o decrecimiento de
alguna variable, para ello se grafican superponiendo las curvas en un mismo
plano para observar las diferencias entre sí.

3. Aplicaciones de las funciones
En cualquier área de las ciencias, existen leyes en las que se relacionan distintas
magnitudes, temperatura-presión, masa-velocidad, intensidad de sonido-
distancia,…Es decir a partir de los valores de algunas magnitudes se obtienen los
valores de otras de forma directa a través de formulas ya demostradas.
El concepto de función en esencia está fundamentado por las relaciones que
mantienen diferentes magnitudes. Así pues la función puede representarse
algebraicamente o de forma gráfica en la que se relacionan varias magnitudes
entre sí.
Mediante la representación gráfica de estas relaciones entre diferentes
magnitudes, se pudo dar de forma visual esa relación e interpretarla de forma
rápida y sencilla.
Una representación es la que se hace mediante ejes cartesianos en la que la
función se representa en forma general por la que relación numérica de las
magnitudes en una gráfica.
El número 𝑒 y el interés compuesto
El número de Euler, simbolizado con la letra e, tiene muchísimas aplicaciones en
áreas como la economía, la biología, la sociología, la política, entre muchas otras.
De hecho, no son pocos los fenómenos de la naturaleza que se corresponden con
este número maravilloso. Así como π (Pi), φ (el número de oro), y tantos otros
que estudiamos en tercer año, e es un número irracional, sus infinitas cifras
decimales las cuales no guardan un patrón o período; cualquier expresión
decimal que demos de e será una aproximación, una de ellas es:
𝑒=2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669
6762…
Aunque utilizado por el matemático John Naapier alrededor del año 1600, fue
Leonard Euler (1707-1783) el que mostró muchas de las propiedades de este
número. Además, utilizó la letra e para simbolizarlo, probablemente por ser la
letra inicial de la palabra “exponencial”.

4. Una de las aplicaciones del número e se encuentra en la idea del ahorro y en el
cálculo del interés compuesto. Supongamos que una cantidad de dinero, que
llamaremos D, se invierte a una tasa de interés t por cierto período de tiempo.
Entonces, luego de trascurrido ese tiempo el interés es el producto del dinero
invertido por la tasa de interés, es decir Dt, y la cantidad de dinero ahora es:
𝑪 = 𝑫 + 𝑫𝒕 = 𝑫(𝟏 + 𝒕)
Donde D: Cantidad ahorrada
C: Cantidad obtenida luego del periodo
Dt: Interés obtenido
El problema resulta interesante si reinvertimos esta nueva cantidad de dinero a
la misma tasa de interés. Veamos, la cantidad a invertir en este momento es D
(1+ t), justo lo que obtuvimos antes. Por tanto, la cantidad de dinero luego de
otro período de tiempo es:
𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡) + 𝐷(1 + 𝑡)𝑡
𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)(1 + 𝑡) Sacando factor común la expresión D (1+ t)
𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)2
Aplicando las propiedades de la potencia
Aquí D (1+ t) es factor de la expresión D (1+ t) + D (1+ t)t. Además, escribimos
a (1+ t) (1+ t) como (1 + 𝑡)2
, pues es una multiplicación de potencias de igual
base.
Es curioso que antes resultó D (1+ t) y en esta reinversión
𝐷(1 + 𝑡)2
. Repitamos el proceso una vez más para observar si hay algún patrón
en la cantidad al cabo de cada período. En este momento la cantidad a reinvertir
es 𝐷(1 + 𝑡)2
. Así, el interés es el producto de ésta por la tasa t.
Así podemos escribir, apoyándonos en las propiedades antes descritas, que:
𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)2
+ 𝐷(1 + 𝑡)2
𝑡
𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)2 (1 + 𝑡)
𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)3
¡Fantástico! Luego del tercer periodo la cantidad es D multiplicado por el cubo
de 1+t. Lo que hace suponer que después de k periodos la cantidad será:
𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡) 𝑘
Pero, ¿Qué sucede si el interés se compone 𝑛 veces cada año? Es decir, si el año
se divide en 𝑛 partes, entonces la tasa de interés en cada período es:
𝑇 =
𝑡
𝑛
Ya con estas ideas puede darse la fórmula para el interés compuesto. Con ella
podemos calcular de dinero que generará un monto inicial D invertido el cierto

5. periodo de tiempo, conociendo la tasa de interés y cómo se compone al año (un
dato que es sumamente importante).
El interés compuesto está dado por la expresión
𝑪 = 𝑫 (𝟏 +
𝒕
𝒏
)
𝒏𝒂
En la que:
C es la cantidad de dinero luego de 𝑎 años.
D es el monto de dinero invertido la primera vez.
t es la tasa de interés por año.
n es el número de veces que el interés se compone por año
𝑎 es el número de años que se invierte o reinvierte.
Expongamos un ejemplo.
Colocamos Bs 4.000 en una cuenta de ahorros. Sabemos que la tasa de interés es
de 12,5 % al año. Realizaremos varios cálculos suponiendo que el interés se
compone una vez al año, dos veces al año, tres veces al año, cuatro veces al año,
doce veces al año y cada día. Las preguntas que tendremos presentes son:
¿Cuál es la cantidad de dinero luego de un año en cada caso?
¿Qué composición reporta el mejor interés de la cuenta?
Solución:
Para ello emplearemos la fórmula 𝑪 = 𝑫 (𝟏 +
𝒕
𝒏
)
𝒏𝒂
, donde:
D =4000; 𝑡 = 0,125 (Como el interés es de 12,5 %, dividimos 12,5 entre 100)
𝑛 = 1 (Si el interés se compone anualmente. Pero es 2 si se compone semestral
mente y así sucesivamente) y 𝑎 = 1 (ya que calcularemos la cantidad C obtenida
al cabo de un año)
Lo cual concluimos en la siguiente tabla:

6. Composición del interés 𝑛 Cantidad ahorrada luego de un año
Anual 1
𝐶 = 4.000 (1 +
0,125
1
)
1∙1
= 4.500
Cada seis meses 2
𝐶 = 4.000 (1 +
0,125
1
)
2∙1
= 4.515,625
Cada cuatro meses 3
𝐶 = 4.000 (1 +
0,125
1
)
3∙1
= 4.521,1226
Cada tres meses 4
𝐶 = 4.000 (1 +
0,125
1
)
4∙1
= 4.523,9295
Cada mes 12
𝐶 = 4.000 (1 +
0,125
1
)
12∙1
= 4.529,6641
Cada día 365
𝐶 = 4.000 (1 +
0,125
1
)
365∙1
= 4.532,4968
En la última columna operamos en el conjunto ℝ. Ya con estos datos, es fácil ver
que la cantidad al cabo de un año es mayor si se incrementa el número de
periodos que componen el interés anual. Esta composición del interés se traduce
en que cada 𝑛 periodos de tiempo el interés que gana la cantidad inicial D es
depositada en la cuenta de ahorros (o en la inversión, según sea el caso).
En resumen, al término del año la cantidad de dinero en nuestra cuenta de
ahorros dependerá de cuanto se compone o deposita el interés en la cuenta.
Pero, ¿Qué sucede si 𝑛 crece o se incrementa indefinidamente?
𝑪 = 𝑫 (𝟏 +
𝒕
𝒏
)
𝒏𝒂
= 𝑫 (𝟏 +
𝒕
𝒏
)
𝒏
𝒕
∙𝒕𝒂
Ahora podemos realizar el cambio de variable, haciendo
𝑡
𝑛
=
1
𝑚
, por tanto
𝑛
𝑡
= 𝑚,
entonces
𝑪 = 𝑫 (𝟏 +
𝒕
𝒏
)
𝒏
𝒕
∙𝒕𝒂
= 𝑫 (𝟏 +
𝟏
𝒎
)
𝒎∙𝒕𝒂
= 𝑫 [(𝟏 +
𝟏
𝒎
)
𝒎
]
𝒕𝒂
Esto no hace concentrar nuestra atención en la expresión (1 +
1
𝑚
)
𝑚
. Justo la que
considero Leonard Euler
El número 𝑒

7. Para estudiar la expresión (1 +
1
𝑚
)
𝑚
podemos elaborar una tabla de datos o
incluso como un grafico, desde los cuales podemos plantear algunas inferencias.
𝑛 (1 +
1
𝑚
)
𝑚
1 2
2 2,5
3 2,3703
4 2,4414
5 2,48832
10 2,59374
100 2,70481
1.000 2,71962
10.000 2,71815
100.000 2,71827
1.000.000 2,71828
10.000.000 2,718281
100.000.000 2,7182828
𝑦 = (1 +
1
𝑚
)
𝑚
Aquí hemos mostrado algunos valores de 𝒎, sin embargo el grafico anterior
presenta una infinidad de éstos en el intervalo (0, ∞). Fíjense que el 0 no
pertenece al dominio de la función 𝑦 = (1 +
1
𝑚
)
𝑚
pues el cociente
1
𝑚
no está
definido en ese caso
e
Eje Y
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-10 0 10 20 30 40 50 60 70
Eje X

8. Es notable que podemos usar valores racionales, irracionales y por lo visto las
imágenes obtenidas en esta función, tienden hacia un valor, tal valor es el
número 𝒆. Es por esta razón que el número 𝑒 se define como sigue
𝒆 es el número al cual tiende la expresión (𝟏 +
𝟏
𝒎
)
𝒎
cuando 𝒎 se incrementa
indefinidamente
Así que este importante número aparece en el cálculo del interés compuesto se
los abonos por los intereses que se generan se depositan continuamente. En este
caso, la formula que dimos antes puede escribirse ahora de la manera siguiente:
𝑪 = 𝑫𝒆𝒕𝒂
La Catenaria: el número 𝑒 en los cables suspendidos
Un cable de electricidad suspendido entre torres tiene la forma de una catenaria.
La catenaria es una curva que se corresponde con una cadena, cable o cuerda que
tenga densidad constante, que sea homogénea, flexible e inextensible y se
encuentre sujeta en sus dos extremos. Su nombre proviene precisamente de la
palabra “cadena”. Esta peculiar curva está determinada por las coordenadas de
sus extremos y por la su longitud. También se presenta en algunas
señalizaciones comunes en los museos o en los bancos, o en los cables eléctricos
suspendidos entre los postes tal como mostramos a continuación:

9. Puente de San Francisco, California, EEUU
Tendidos Eléctricos para las grandes ciudades

10. La Catenaria en señalizaciones peatonales y lugares públicos
La Catenaria en la decoración y en lugares cotidianos
El sistema de suministro eléctrico de un tren recibe el nombre de
Catenaria

11. La estructura más estable que pueden formar unas esferas
sostenidas por fricción estática es una catenaria invertida
La
Los Chulpas o Putucus en el altiplano suramericano construyeron
sus hogares con base en la catenaria invertida “sin saberlo”
Sus aplicaciones son diversas y medulares en áreas como la Matemática, Física,
Ingeniería, Electricidad, Arquitectura, Arte Pictórico y escultórico, entre otras
como vimos en las figuras anteriores.
Además, presentamos en el siguiente grafico varios elementos que permiten
describir una catenaria: f es la distancia entre el punto más bajo situado en el
“punto medio” de la curva (siempre que ambos extremos estén suspendidos a la
misma altura) y la recta 𝐀𝐁⃡ que une los puntos de suspensión o apoyo, a es la
medida del segmento 𝐀𝐁̅̅̅̅. Se conoce que si a < 500, entonces la catenaria se
comporta de forma muy similar a la parábola. Así que, dependiendo de la
aplicación y fines de los cálculos a realizarse se puede o no seguir el modelo de la
parábola.

12. La Catenaria guarda una relación con el número 𝒆. De hecho, tiene que ver con
una expresión en la que intervienen potencias de 𝒆, donde el exponente es
precisamente la variable 𝑥.
La Catenaria se corresponde con la función 𝑓: ℝ → ℝ dada por:
𝑓(𝑥) =
𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
2
= cosh(𝑥)