El documento describe las medidas de tendencia central y dispersión para variables cuantitativas. Explica la media, mediana y diagrama de dispersión como medidas de tendencia central, y la varianza, desviación estándar e intervalo de extremos como medidas de dispersión. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo calcular e interpretar cada medida.

1. Caracterización de
variables
cuantitativas
José David Ojeda

2. Datos no agrupados

3. Medidas de
tendencia central

4. Medidas de tendencia central
1. El diagrama de dispersión
Es la representación de los datos en la
recta numérica mediante puntos.
Ejemplo: A continuación se relacionan
las cantidades de artículos vendidos en
una tienda de computadores durante 15
días.
25, 32, 20, 21, 29, 26, 30, 25, 19, 22,
17, 28, 30, 21, 40.

5. 1. El diagrama de dispersión
• Elaborar un diagrama de dispersión y
analizarlo.
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
En la gráfica se puede observar que la
mayoría de los datos, exceptuando el dato
40, se encuentran cercanos entre si. Es
decir que el numero de artículos vendidos
fue muy parecido en 14 de los 15 días.

6. Medidas de tendencia central
2. La Media:
La media aritmética o promedio se
representa por X y se interpreta
como el individuo típico de la
población:
n
∑ Xi X1 + X2 + X3 …, Xn
X = i
=1
=
n n

7. 2. La Media:
• Ejemplo: El jefe de recursos humanos de
una empresa esta interesado en
determinar el numero medio de cigarrillo
que consumen los trabajadores en un
día. Para ello pregunto a 16 empleados
por la cantidad de cigarrillos que
fumaron ese día, los resultados fueron:
• 3 1 4 7 6 7 0 4 6 2 3 1 0 2 2 0
Calcular el numero promedio de
cigarrillos que consume un trabajador.

8. 2. La Media:
• Solución: Calculamos la media aritmética
3+1+ 4 +7 +6+ 7 + 0 + 4 +6+2+3+1+ 0 +2+2+ 0
X =
16
48
X = =3
16
El numero de medio de cigarrillos que
consume un trabajador en un día es de
tres. Se espera que al escoger al azar un
empleado de la empresa, fume alrededor
de 3 cigarrillos

9. Medidas de tendencia central
3. La Mediana:
Es el dato que divide un grupo de datos
en dos partes iguales. Se simboliza .
Para calcular la mediana es necesario
ordenar los datos de menor a mayor, una
vez ordenados se ubica el valor que esta
en el centro de ellos.

10. 3. La Mediana:
• En el calculo de la media se pueden
presentar dos casos:
• Caro 1: Numero de datos impar: En este
caso se suma 1 a la cantidad de datos y
se divide entre 2. La mediana será el
dato que esta en esa posición.
Por ejemplo si se tienen 11 datos, la
media estará en la posición
11 + 1 luego de ordenar los datos.
=6
2

11. 3. La Mediana:
• Ejemplo: Un biólogo desea probar que el
diámetro del tronco de un árbol influye
en la producción de oxigeno para ello
hace la medición del diámetro de 7
arboles en centímetros:
110, 79, 128, 161, 158, 175, 50.
Calcular la mediana de los diámetros de
tronco.

12. 3. La Mediana:
• Solución:
Ordenamos los datos de menor a mayor
50, 79, 110, 128, 158, 161, 175
= x  7 +1  = x 4 = 128
 ÷
 2 
Se concluye que el 50% de los diámetros
de tronco son iguales o superior a 128.

13. 3. La Mediana:
• Caso 2: Numero de datos par: Se divide
el total de datos entre 2. Se toma el
dato que esta en esa posición y el dato
siguiente, la mediana será el promedio
de estos dos datos.

14. 3. La Mediana:
• Ejemplo 2: En un simulacro se midió el
tiempo de reacción de seis patrullas de
policías luego de recibir una llamada de
emergencia. Los resultados en minutos
fueron:
6,0 5,99 5,41 5,44 5,21 5,48
Calcular la mediana de los tiempos de
reacción.
• Solución: Ordenamos los datos de menor
a mayor.

15. 3. La Mediana:
5,21 5,41 5,44 5,48 5,99 6,0
x 6  + x 6 
 ÷
2
 +1 ÷
2 
x3 + x 4 5, 44 + 5, 48
= = = = 5, 46
2 2 2
Se puede concluir que el 50% de las
patrullas llegaron en 5,46 minutos o
menos.

16. Medidas de
Dispersión

17. Medidas de Dispersión

18. Medidas de Dispersión

19. Medidas de Dispersión
n
∑ (x i
−X)
2
S =
2 i =1
n −1

20. Medidas de Dispersión
• Ejemplo: El entrenador de un equipo de
futbol pregunto a los jugadores sobre el
tiempo en horas que dedican al
entrenamiento por semana. Los
resultados fueron:
5, 5, 6, 8, 7, 7, 9, 5, 6, 8, 4, 11, 6, 10, 8.
Solución: Hallamos la media de los datos
5 + 5 + 6 + 8 + 7 + 7 + 9 + 5 + 6 + 8 + 4 + 11 + 6 + 10 + 8
X =
15
105
X = =7
15

21. Medidas de Dispersión
• Hallamos la desviación de cada uno de los
datos con respecto a la media y su
cuadrado.
• Teniendo en cuenta la tabla anterior, la
varianza es:
4 + 4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 1 + 9 + 1
S 2
=
15 − 1
56
S 2
= = 4 Horas2
14

22. Medidas de Dispersión
3. Desviación Estándar
Se nota como S, y es la raíz cuadrada de
la varianza
n
∑ (x i
−X) 2
S = S2 = i =1
n −1
La desviación estándar se utiliza para
interpretar el comportamiento de los
datos y la representatividad del promedio

23. Medidas de Dispersión
• La varianza al ser sumada y restada dos
veces a la media, proporciona un
intervalo en el cual se encuentra el 95%
de los datos, este intervalo se denomina
intervalo de extremos : X − 2s , X + 2s 
 
• Si este intervalo es muy grande, se dice
que el promedio no representa bien a los
datos. En el caso contrario se dirá que el
promedio es un buen representante de
los datos.

24. Medidas de Dispersión
• Para el ejemplo del equipo de futbol la
desviación estándar sería:
S = S 2 = 4 Horas2 = 2 Horas
• Construimos el intervalo de extremos:
X − 2s , X + 2s  = 7 − 2(2) , 7 + 2(2)  = 3, 11
     
Se observa que los datos están muy
alejados entre si, ya que el 95% de los
futbolistas entrena entre 3 y 11 horas
semanales.

25. Medidas de Dispersión
• Ejemplo: A continuación se muestran las
edades de 20 pacientes del pabellón de
adultos del Hospital General
55, 78, 50, 41, 55, 35, 41, 42, 51, 54,
41, 54, 72, 76, 75, 47, 62, 59, 75, 46.
• Caracterizar la variable utilizando la
media, el rango, la varianza y la
desviación estándar y el intervalo de
extremos.

26. Medidas de Dispersión
1). Hallamos la media
55 + 78 + 50 + 41 + 55 + 35 + 41 + 42 + 51 + 54 + 41 + 54 + 72 + 76 + 75 + 47 + 62 + 59 + 75 + 46
X =
20
1109
X = = 55, 45
20
2). Hallamos el rango
Rango = DMayor − DMenor
Rango = 78 − 35
Rango = 43

27. Medidas de Dispersión
3). Hallamos la Varianza
En la siguiente tabla hallamos la desviación
de cada dato y el cuadrado de esta
Dato 55 78 50 41 55 35 41 42 51 54
Desviación -0,45 22,55 -5,45 -14,45 -0,45 -20,45 -14,45 -13,45 -4,45 -1,45
Cuad. 0,203 508,5 29,7 208,8 0,203 418,2 208,8 180,9 19,8 2,103
Des.
Dato 41 54 72 76 75 47 62 59 75 46
Desviación -14,45 -1,45 16,55 20,55 19,55 -8,45 6,55 3,55 19,55 -9,45
Cuad. 208,8 2,103 273,9 422,3 382,2 71,4 42,9 12,6 382,2 89,3
Des.

28. Medidas de Dispersión
• Utilizando los resultados de la tabla
anterior, hallamos la varianza:
0,203 + 508, 5 + 29, 7 + ... + 89,3
S 2
= = 182,36 años2
20 − 1
4). Hallamos la Desviación Estándar:
S = S 2 = 182,36 años2 = 13,5 años

29. Medidas de Dispersión
5). Hallamos el intervalo de extremos
X − 2s , X + 2s  = 55, 45 − 2(13, 5) , 55, 45 + 2(13, 5) 
   
= 28, 45 , 82,45 
 
Dentro de este intervalo se encuentra el
95% de los datos, como el intervalo es
muy grande, aproximadamente de 28 a 83
años, la variabilidad es muy alta.
Las edades de los pacientes son entonces
muy heterogéneas, la media no representa
bien los datos