Este documento define y explica los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. Un espacio vectorial consiste en un conjunto no vacío con dos operaciones internas, la suma y el producto por un escalar, que cumplen con 8 propiedades fundamentales. Los subespacios vectoriales son subconjuntos de un espacio vectorial que también cumplen con las propiedades de un espacio vectorial. Se proveen ejemplos como Rn y cuerpos como espacios vectoriales.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Unidad Educativa Colegio Pablo Neruda
Espacio vectorial
Integrantes:
•
Walter P
Edison R
•
•
Victor S
Carlos S
•
•
David S

2. ¿Qué es?
Es una estructura creada a partir de un conjunto no vacío, a través de
una operación
interna
(llamada suma)
y
una operación
externa (llamada producto por un escalar,), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los
elementos del cuerpo, escalares
Un espacio
vectorial sobre
un cuerpo
(como
el
los números reales o los números complejos) es un conjunto
dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:
cuerpo
de
no vacío,

3. ¿Cuáles son sus propiedades?
Las primeras propiedades hacen referencia a la suma de vectores
1) Propiedad conmutativa, es decir:
2) Propiedad asociativa, es decir
3) Elemento neutro
, es decir
4) Elemento opuesto, es decir
5) u = u para todo u de V, donde 1 denota el elemento unidad de K.
6) (Seudoasociativa) a (bu)=(ab)u para todo u de V y todo a, b de K.

4. 7) (Distributiva respecto a la suma de escalares) (a+b)u = au + bu
para todo u de V y todo a, b de K.
8) (Distributiva respecto a la suma de vectores) a(u+v) = au +av para
todo u, v de V y todo a de K.
Teoremas sobre espacios vectoriales
Sea V es un espacio vectorial, y sean u ∈ V y c ∈ R, entonces:
1. 0 u = 0 (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero)
2. c 0 = 0 (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero)
3. c u = 0 implica c = 0 ´o u = 0 (Cuando el producto de un escalar por un
vector da el vector
cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero)
4. (−c) u = − (c u) (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso
aditivo del producto del escalar sin el signo por el vector)
¿Qué son subespacios vectoriales?

5. Es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la
definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V..
Sea
si:
un espacio vectorial y
no vacío,
es un subespacio vectorial de
donde K es el conjunto de todos los
escalares.
Teorema:
Si V es un espacio vectorial y W es un subconjunto no vacío de V,
entonces W es un subespacio de V si y sólo si :
a.Para todo a, b en W , a + b está en W.
b.Para todo
en R y para todo a en W,
está en W.
Ejemplos de espacios vectoriales.
•
El espacio, formado por los vectores de n componentes (x1,. . .,xn) es un
espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar
por un escalar (real) de la forma habitual.

6. nℜ
El vector cero es (0,. . .,0).
No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por
escalares complejos
•
Los cuerpos
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto
por escalar el producto del cuerpo.
•
es un espacio vectorial de dimensión uno sobre .
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como
producto por escalar el producto del cuerpo.
•
es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre .
•
es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre .
•

7. Ejercicio de subespacios vectoriales
Demuestre que el conjunto de todas las soluciones de un sistema homogéneo
de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un subespacio de
Solución.
Sea S el conjunto de soluciones del sistema
S es no vacío ya que
y
es una solución. Sea
dos soluciones arbitrarias. Entonces
para
Entonces
es solución.
Para la solución b y el escalar
para
Entonces
es solución.
, tenemos
.

8. De donde S es un subespacio de
.
BIBLIOGRAFÍA
Http.//www.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectoria
www.monografias.com › Matematicas
www.virtual.unal.edu.co