El documento introduce conceptos fundamentales sobre espacios vectoriales, incluyendo: (1) Cómo escribir sistemas de ecuaciones lineales en forma vectorial; (2) La definición de espacio generado por un conjunto de vectores; (3) La definición de base de un espacio vectorial y ejemplos de verificar si un conjunto es base; (4) La definición de dimensión de un espacio vectorial y teoremas relacionados. Además, presenta procesos para calcular la dimensión de espacios generados y subespacios.

1. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa
1
TECNM-ITVH-2021_A
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial
Sistemas de ecuaciones lineales como ecuaciones vectoriales.
Si 1 2
, , , n
x x x son las incógnitas de un sistema, la matriz de coeficientes es A, cuyos
términos constantes son las componentes de un vector b ; por tanto si 1 2
, , , n
a a a son las
columnas de A, las notaciones siguientes son equivalentes:
1 1 2 2 , n n
A b a x a x a x b
   + =
 
Ejemplo. Escriba el sistema siguiente en forma vectorial
1 2
5 1 1 5 1
, ,
6 3 1 6 3
x y
a a b
x y
− = −
     
 = = =
     
− + = −
     
Entonces 1 2
1 5 1
1 6 3
a x a y b x y
−
     
+ =  + =
     
−
     
Por lo tanto
5 1 1 5 1
6 3 1 6 3
forma vectorial
x y
x y
x y
− = −
     
 + =
     
− + = −
     
Espacio generado por un conjunto de vectores
Definición. El conjunto de todas las combinaciones lineales de las n-vectores 1 2 3 n
v ,v ,v , ,v
se llama espacio generado por los vectores 1 2 3 n
v ,v ,v , ,v y se representa por
 
1 2 3 n
Gen v ,v ,v , ,v . Si  
1 2 3 n
V Gen v ,v ,v , ,v
= , se dice que 1 2 3 n
v ,v ,v , ,v generan a
V y que  
1 2 3 n
v ,v ,v , ,v es un conjunto generador de V .
Ejemplo1: ¿Esta
2
3
 
 
 
en el
1 3
Gen ,
2 5
 
   
 
   
   
 
?
Solución: El vector está en el espacio generador si y solo si hay escalares 1
c y 2
c tales que
1 2
2 1 3
c c
3 2 5
     
= +
     
     
.

2. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa
2
TECNM-ITVH-2021_A
Esto equivale a decir que la matriz aumentada
1 3 2
2 5 3
 
 
 
es consistente. Determinando los
valores de 1
c y 2
c por cualquier método aprendido, tenemos que 1 2
c 1, c 1
= − = así que el
sistema es consistente y el vector sí está en el generador.
Ejemplo 2. Determine un conjunto generador para:
3
3a b
V a 5b , a,b
a
 
−
 
 
 
= +  
 
 
 
 
 
 
Solución: como
3a b 3 1
a 5b a 1 b 5
a 1 0
− −
     
     
+ = +
     
     
     
para todos los escalares a y b , V esta generado
por
3 1
1 , 5
1 0
 
−
   
 
   
 
   
 
   
   
 
Teorema. Si  
1 2 3 n
V Gen v ,v ,v , ,v
= . Entonces para cualesquiera u y v en V y cualquier
escalar c, se cumple:
i. u v
+ está en V
ii. cu está en V
Teorema 1. Si 1 2 3 k
v , v ,v , ,v k vectores en un espacio vectorial V, entonces el espacio
generado por  
1 2 3 k
v , v ,v , ,v es un subespacio de V.
Teorema 2. Sean 1 2 3 n
v , v ,v , ,v n vectores en
n
y sea A la matriz de n n
 cuyas
columnas son 1 2 3 n
v , v ,v , ,v . Entonces 1 2 3 n
v , v ,v , ,v son linealmente independientes sii
la única solución del sistema homogéneo AX 0
= , i.e. A 0
 
 
 
, es la solución trivial X 0
= .
Teorema 3. Sea A la matriz de n n
 . Entonces det A 0
 sii las columnas de A son
linealmente independientes.
Teorema 4. Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en
n
genera
n

3. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa
3
TECNM-ITVH-2021_A
Base de un espacio vectorial
Definición. Un conjunto de vectores  
1 2 3 n
v , v ,v , ,v es una base del espacio vectorial V si:
i. 
1 2 3 n
v , v ,v , ,v es linealmente independiente.
ii.  
1 2 3 n
v , v ,v , ,v genera a V.
Ejemplo1. Compruebe que
1 2 3
1 0 2
B v 1 , v 1 , v 1
1 2 0
 
−
     
 
     
= = = =
 
     
 
     
−
     
 
es una Base de
3
.
Sol. Por el teorema 2. Sea
1 0 2
A 1 1 1
1 2 0
−
 
 
=  
 
−
 
y det A 8 0
= −  , por el teorema 3 se concluye que  
1 2 3
v , v ,v es linealmente
independiente y por el teorema 4 genera a V, finalmente B es Base del espacio vectorial V.
Ejemplo 2. ¿Es el conjunto ( ) ( ) ( )
 
T 1,1,1 , 2,1, 1 , 1,0, 2
= − − Una base de
3
?.
Solución. Sea
1 2 1
A 1 1 0
1 1 2
 
 
=  
 
− −
 
como det A 0
= entonces las columnas de la matriz no son
linealmente independientes, por lo tanto, T no es Base de
3
.
Ejemplo 3. Demuestre que le conjunto
 
B (2,1, 1,1),(1,0, 2,1),(0,0,0,1
= − −
Es una base del subespacio vectorial:  
(2 , , 2 , ) ; , ,
H x y x x y x y z x y z
= + − − + +  de
4
Solución. Como
2 1 0
1 0 0
(2 , , 2 , )
1 2 0
1 1 1
x y x x y x y z x y z
     
     
     
+ − − + + = + +
     
− −
     
     

4. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa
4
TECNM-ITVH-2021_A
Formamos la matriz
2 1 0 0
0
1 0 0 0
0
1 2 0 0
0
1 1 1 0
y
x
z
 
=
 
   =
 
− −
=
 
 
 
Por lo tanto, B es linealmente independiente, con consecuencia H es generado por B. Así,
B es base de H.
Dimensión de un espacio vectorial
Si el espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces se dice que V es de
dimensión finita, y n es la dimensión de V . Se expresa,
dim(V) n
=
La dimensión del espacio {0} , se define como cero. Por consiguiente, {0} es dimensional
finito. Un espacio vectorial que no tenga una base finita se llama dimensional infinito.
Primer teorema de la Dimensión.
Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V n-dimensional. Entonces dimH n

. Si en particular, dimH n
= necesariamente H V
= . “la dimensión de cualquier subespacio
H de V es menor o igual que la dimensión del espacio”
dim im
H d V

Segundo Teorema de la Dimensión.
Sean H y T dos subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio vectorial V . En
este caso H T
+ tiene dimensión finita y se cumple:
dim( ) dim dim dim( )
H T H T H T
+ = + − 
Teorema. Sea V un espacio vectorial n–dimensional, y sea S un conjunto de n elementos
1) Si S es linealmente independiente, entonces S genera a V , i.e., S es base.
2) Si S genera a V , entonces S es linealmente independiente, i.e. S es base.
Procesos de Cálculo de dimensiones
▪ En el caso de espacios generados: El número de pivotes de la matriz reducida es la
dimensión del espacio generado.
▪ En el caso de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos: El número de variables
libres es la dimensión del espacio lineal.

5. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa
5
TECNM-ITVH-2021_A
Ejemplo 1. Determine la dimensión del espacio generado por
2 1 1 2
2 1 2 1
Gen , , ,
2 0 2 1
1 1 1 1
 − 
       
 
       
− − −
 
       
 
       
− −
 
       
 
− −
       
 
.
Solución: formando la matriz aplicando Gauss-Jordan
2 1 1 2 1 0 0 0
2 1 2 1 0 1 0 0
2 0 2 1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0 1
−
   
   
− − −
   
→
   
− −
   
− −
   
Por lo escrito anteriormente la dimensión es el número de pivotes de la matriz reducida,
dimensión 4.
Ejemplo 2. Determine la dimensión del subespacio que generan los polinomios:


2 2 3
3 2 3
2 x 2x ,1 5x x 2x ,
2 x x , 3 3x 3x x
− − − + + −
+ − − − −
Escribiendo los polinomios matricialmente y reduciendo por Gauss-Jordan
2 1 2 3 1 0 0 1
1 5 1 3 0 1 0 1
2 1 0 3 0 0 1 3
0 2 1 1 0 0 0 0
−
   
   
− − −
   
→
   
− −
   
− − −
   
La dimensión es el número de pivotes de la matriz reducida, i.e., la dimensión es 3.
Ejemplo 3. Determine la dimensión para el subespacio de
3
formado por las soluciones al
sistema
6 x 5 y 3 z 0
12x 10y 6 z 0
36x 30y 18z 0
− − =
− + + =
− − =
Solución: Escribiendo la matriz aumentada y utilizando G-J, se obtiene
5 1
2 2
6 5 3 0 1
12 10 6 0 0 0 0
36 30 18 0 0 0 0
 − −  − −
 
   
− →
   
   
− −  
 

6. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa
6
TECNM-ITVH-2021_A
Entonces:
5 1
2 2
1 0
0 1
x
y y z
z
   
 
   
  = +
   
 
   
 
   
 
Por lo tanto, la dimensión es 2.
Cambio de Base
Teorema 1. Si  
1 2 n
v , v , ,v es una base de V y si v V
 , entonces existe un conjunto único
de escalares 1 2 n
c , c , ,c tales que
1 1 2 2 n n
v c v c v c v
= + + +
Teorema 2. Si  
1 2
, , , n
u u u y  
1 2
, , , n
v v v son bases del espacio vectorial V , entonces
m n
= ; i.e. dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V contiene el mismo número de
vectores
Definición. Sea V un espacio vectorial de dimensiones finitas con base  
1 2 n
B v , v , ,v
= .
Según el teorema 1, para v V
 existen escalares únicos tales que :
1 1 2 2 n n
v c v c v c v
= + + +
El vector cuyos componentes son los coeficientes de v , expresado como
B
v
 
  , se llama
vector de coordenadas (o vector coordenado) de v con respecto a B
1
2
B
n
c
c
v
c
 
 
 
  =
   
 
 
B
v
 
  se modifica al cambiar la base B .
Ejemplo1. Se tiene la base de
3
 
B (1,0, 1),( 1,1,0),(1,1,1)
= − −
y el vector v (2, 3, 4)
= − .
a) Determine
B
v
 
 
b) Calcule el vector w si
B
6
w 3
2
 
 
  = −
   
 
 

7. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa
7
TECNM-ITVH-2021_A
Solución. a)
B
v
 
  tiene como componentes a los escalares 1 2 3
c , c , c tales que
1 2
2 1 1 1
3 c 0 c 1 c 1
4 1 0 1
−
       
       
− = + +
       
       
−
       
Resolviendo el sistema por cualquier método, se obtienen los valores de 1 2 3
c , c , c
1
2
3
1 1 1 2 c 3
0 1 1 3 c 4
1 0 1 4 c 1
 −  = −
 
−  = −
 
 
− =
 
Así
B
3
v 4
1
−
 
 
  = −
   
 
 
Debido a que las componentes
B
w
 
  son 6, -3 y 2
entonces
1 1 1 11
w 6 0 3 1 2 1 1
1 0 1 4
−
       
       
= − + = −
       
       
− −
       
Ejemplo 2: Obtenga el vector de coordenadas de
2
p 1 2x 3x
= + +
a) La base estándar. (La base estándar en n
P es en 2
P con respecto a cada una de las
siguientes bases: 
2 n
1,x,x , x )
b) La base  
2 2
B 1 x,1 x ,1 x x
 = + − + +
Solución. a)
Como la base estándar de 2
P es  
2
1, x, x y ya que
2
p 1 1 2 x 3 x
=  +  +  tenemos que
 B
1
p 2
3
 
 
=  
 
 
b) Las componentes de  B
p  son escalares 1 2 3
c , c , c tales que
1 1 2 2 3 3
2 2
1 2 3
p c v c v c v
p c (1 x) c (1 x ) c (1 x x )
  
= + +
= + + − + + +
2 2
1 2 3 1 3 2 3
1 2x 3x (c c c ) (c c )x ( c c )x
+ + = + + + + + − +
Se tiene

8. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa
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TECNM-ITVH-2021_A
1 2 3
1 3
2 3
c c c 1
c c 2
c c 3
+ + =
+ =
− + =
Resolviendo por cualquier método tenemos que 1 2 3
c 0, c 1, c 2
= = − =
Por lo tanto
 B
0
p 1
2

 
 
= −
 
 
 