Este documento presenta información sobre un proyecto de estadística realizado por 5 estudiantes de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad de Guayaquil bajo la supervisión del profesor Luis Fajardo. Incluye una breve historia de Thomas Bayes y el teorema de Bayes, así como ejemplos y ejercicios de probabilidad aplicando el teorema de Bayes.

1. UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
PROYECTO DE ESTADISTICA
TEMA:
INTEGRANTES:
Ayala Zamora Johnny
Cercado Reyes Nixon
Chacho Yoza Miguel
Chávez Briones Nazlhyn
Pozo Ronquillo Krystel
Catedrático:
Ing. Luis Fajardo
Curso: 3/82
2013-2014

2. ESTADISTICA
HISTORIA:
Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra, en 1702 y murió el 7 de abril
de 1761 , ministro presbiteriano y matemático, dedicó su vida al estudio
de las causas de los hechos. Fue el primero en utilizar la probabilidad
inductivamente y establecer una base matemática para la inferencia
probabilística ( la manera de calcular, a partir de la frecuencia con la que
un acontecimiento ocurrió, la probabilidad de que ocurrirá en el futuro).
En el año 1973 después de la muerte de Thomas Bayes, se publicó una
memoria en la que aparece , por ser primera, la determinación de la
probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser
observados.
El origen del concepto de la obtención de probabilidades posteriores con
información limitada se atribuye al respetable Thomas Bayes. La fórmula
para la probabilidad condicional en circunstancias de dependencia se
conoce como teorema de Bayes.
TEOREMA DE BAYES
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos
visto en el Teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades
del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen
tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un
accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha
ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A
(¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:
Página 2

3. ESTADISTICA
PROBABILIDADES
BAYES.
“A
POSTERIORI”:
TEOREMA
DE
En una experiencia compuesta, si A es una suceso de la primera
experiencia y S un suceso de la segunda, ¿tiene sentido la probabilidad
condicionada P(A|S)? Se puede llegar al suceso S habiendo pasado
primero por A, o bien por otros sucesos (B, C,....) de la primera
experiencia:
Si sabemos que finalmente ha ocurrido el suceso S, ¿cuál es la
probabilidad de que haya ocurrido así, pasando previamente por el
suceso A? O sea, de las distintas causas que han podido provocar como
efecto el suceso S, ¿en qué proporción del total de veces que sucede S,
la causa ha sido A? Este es el significado de P(A|S), llamada
probabilidad “a posteriori” de A, sabiendo que ha ocurrido S. (También
llamada probabilidad de las causas)
ESTADÍSTICA BAYESIANA
La estadística bayesiana es aquella que se utiliza para calcular la
probabilidad de la valides de un proposición tomando como bases la
estimación de la probabilidad previa y las evidencias relevantes más
recientes.
El Teorema de Bayes, lo que permite es calcular una especie de
probabilidad condicionada inversa, es muy utilizada en las finanzas para
evaluar escenarios. Del mismo modo permite reevaluar las
probabilidades,
conociendo
nueva
información
condicionante.
Supongamos que deseas evaluar la relación entre el índice de una Bolsa
de Valores, y la relación entre el PIB (o GDP). Esto sería un cálculo de
probabilidad X, BAYES aplica si desearas ver el comportamiento del PIB
cuando la Bolsa de valores sube o baja.
LA PROBABILIDAD P(A/B) recibe el nombre de probabilidad A
POSTERIORI.
LA PROBABILIDAD P(Ai) recibe el nombre de probabilidad A PRIORI.
Son las probabilidades que conocemos antes de realizar el experimento.
VEROSIMILITUD: es la probabilidad de encontrar los datos dados cierto
parámetro y describe los datos encontrado cuando se ha considerado un
modelo con ciertos parámetros.
Página 3

4. ESTADISTICA
Ejercicio 1: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para
el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que
ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en
la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El
teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un
accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%,
nieve con el 30% y niebla con el 20%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un
accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades
condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del
accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
Página 4

5. ESTADISTICA
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
Ejercicio 2:
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y
otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan
un puesto directivo y el 50% de los economistas también,
mientras que los no ingenieros y los no economistas
solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la
probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea
ingeniero?
Página 5

6. ESTADISTICA
Ejercicio 3 :
La fábrica Omixa S.A. tiene 5 maquinas la primera produce 1000 cajas
por día y 50 salen en mal estado, la segunda produce el doble que la
primera y la misma proporción de desperfectos que la cuarta, la tercera
produce la mitad que la quinta y el 2 % sale en mal estado, la cuarta
produce el triple que la primera y la misma proporción de desperfectos
que la tercera, la quinta produce el cuádruple que la primera y ninguna en
mal estado. El lote que la fábrica envió a Colombia fue la producción total
del mes pasado.
La máquina 1 trabajo los 30 días, la maquina dos y tres 25 días, la
maquina 4 trabajo 20 días y la maquina 5 trabajo 22 días.
A) ¿De cuántas cajas contó el lote de sodas?
b) Si un cliente se quejó de que una caja estaba en mal estado, ¿cuál es
la probabilidad de que haya sido producida por la 4ta maquina?
c) Si una caja está en buen estado, ¿cuál es la probabilidad de que haya
sido producida por la 3era maquina?
Desarrollo:
NO.
MAQUINAS
1
2
3
4
5
UNIDADES
DIARIAS
PRODUCIDAS
1000
2000
2000
3000
4000
%
%
DÍAS QUE
DESPERFECTOS OPTIMOS ELABORÓ
CADA
MAQUINA
0,05
0,02
0,02
0,02
0
0,95
0,98
0,98
0,98
1
PRODUCCIÓN P(XI)
TOTAL
30
25
25
20
22
30.000
50.000,
50000,00
60000,00
88000,00
Total
producción
278000,00
a) Total de cajas que se enviaron a Colombia fueron 27.8000
b) Si un cliente se quejó de que una caja estaba en mal estado, ¿cuál
es la probabilidad de que haya sido producida por la 4ta maquina?
A
b
MAQUINAS
0,107913669
0,179856115
0,179856115
0,215827338
0,316546763
1
2
3
4
5
%
%
DESPERFECTOS OPTIMOS
0,05
0,95
0,02
0,98
0,02
0,98
0,02
0,98
0
1
Página 6
0,1079
0,1799
0,1799
0,2158
0,3165

7. ESTADISTICA
R./ SI SE SABE QUE UNA CAJA ESTA EN MAL ESTADO, LA
PROBABILIDAD DE QUE ESA CAJA HAYA SIDO PRODUCIDA POR LA
MAQUINA 4, ES DE UN 25,43 %
c) Si una caja está en buen estado, ¿cuál es la probabilidad de que
haya sido producida por la 3era maquina?
A
0,107913669
0,179856115
0,179856115
0,215827338
0,316546763
b
MAQUINAS %
%
DESPERFECTOS OPTIMOS
1
0,05
0,95
2
0,02
0,98
3
0,02
0,98
4
0,02
0,98
5
0
1
R/. SI HAY UNA CAJA EN BUEN ESTADO, ESTA TIENE LA PROBABILIDAD DE HABER
SIDO FABRICADA POR LA MAQUINA 3.
Página 7

8. ESTADISTICA
EJERCICIO 4
1) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad,
de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el
25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que
la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y
1% respectivamente, para cada línea.
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una
avería
c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una
avería?
Solución:
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una
avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:
Página 8

9. ESTADISTICA
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una
avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:
c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una
avería?
Se debe calcular las tres probabilidades a posteriori empleando el
Teorema de Bayes
La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería
es:
La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería
es:
La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería
es:
Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es
que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad
MAYOR PROBABILIDAD
Página 9

10. ESTADISTICA
EJERCICIO 5
Una empresa que fabrica camisetas posee tres máquinas, A, B y C,
producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas
producidas en la fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de
estas máquinas son del 3%, 4% y 5% respectivamente.
a. Tomamos, al azar, una camiseta y resulta ser defectuosa; calcula la
probabilidad de haber sido producida por la máquina B.
b. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido una
camiseta defectuosa?
SOLUCIÓN
a. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
b. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya
calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido una camiseta
defectuosa es A
EJERCICIO 6
El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de
semana en la ciudad de Tulcán:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que
ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Página 10

11. ESTADISTICA
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en
la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (llovió, nevó o hubo niebla). El
teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un
accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve
con el 30% y niebla con el 20%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un
accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades
condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
Vamos
a
aplicar
la
fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del
accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%
2do Parcial
Página 11

12. ESTADISTICA
EJERCICIO 7
El gerente de mercadotecnia de una compañía fabricante de juguetes
estudia el lanzamiento de un juguete nuevo. En el pasado, el 40% de los
juguetes introducidos por la compañía han tenido éxito y 60% han
fracasado.
Antes de lanzar el nuevo juguete se
realiza un estudio de mercado y se
hace un informe, ya sea favorable o
desfavorable. En el pasado, 80% de
los juguetes con éxito tenían un
informe favorable y 30% de los
juguetes que fracasaron tenían un
informe favorable. El gerente de
mercadotecnia quiere conocer la
probabilidad de que el juguete tenga
éxito si recibe un reporte favorable
La aplicación del teorema de bayes indica que se busca la probabilidad
de que un juguete sea un éxito, siendo que el dictamen que se tiene es
favorable; el enunciado es el siguiente:
P( Favorable / Éxito) P ( Éxito)
P ( Favorable / Éxito) P ( Éxito) P ( Favorable / Fracaso ) P ( Fracaso )
(0.8)( 0.4)
(0.8)( 0.4) (0.3)( 0.6)
(0.32 )
(0.32 ) (0.18 )
0.32
0.5
0.64
La probabilidad de éxito favorable al lanzar un nuevo juguete es del
64 %.
Página 12

13. ESTADISTICA
BIBLIOGRAFIA
Página 13