Este documento describe la distribución binomial y sus propiedades. Explica que la distribución binomial modela experimentos con dos resultados posibles, donde la probabilidad de éxito es constante y los resultados de cada prueba son independientes. También define la función de probabilidad binomial y cómo calcular la media y desviación estándar. Finalmente, muestra cómo usar tablas binomiales para calcular probabilidades.

1. DISTRIBUCIONES
DISCRETAS
William Jaime León Velásquez
wjleonv@yahoo.com
ESTADISTICA Y
PROBABILIDADES
Universidad
Nacional Mayor de
San Marcos
9

2. DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
2
ING.
WILLIAM
LEON V.

3. Un experimento seguirá el modelo de la
distribución Binomial si tiene las
siguientes características :
 En cada prueba del experimento sólo son
posibles dos resultados: el suceso A (éxito)
y su contrario Ᾱ(fracaso).
 El resultado obtenido en cada prueba es
independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
3
ING.
WILLIAM
LEON V.
PROBABILIDAD
BINOMIAL

4.  La probabilidad del suceso A es
constante, se representa por p, y no
varía de una prueba a otra.
 La probabilidad de Ᾱ es 1- p y
se representa por q.
 El experimento consta de un números
n de pruebas.
Probabilidad del suceso
4
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

5. Se llama variable aleatoria
binomial a la variable X que
expresa el número de éxitos
obtenidos en cada prueba del
experimento,
Variable aleatoria binomial
5
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

6. La variable binomial es una variable
aleatoria discreta, sólo puede tomar los
valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que
se han realizado n pruebas.
Como se considera todas las formas
posibles de obtener k-éxitos y (n-k)
fracasos se debe calcular éstas, por
combinaciones (número combinatorio n
sobre k).
Variable aleatoria binomial
6
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

7. La distribución Binomial generalmente se
representa por
B(n,p)
siendo n y p los parámetros de dicha
distribución.
n: numero de ensayos
p: probabilidad de éxito
DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD BINOMIAL
7
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

8.  Lanzar una moneda dos o más veces para
observar el número de caras.
 Seleccionar dos o más DVD de un lote que
contiene un % de defectuosos para verificar
cuántos DVD defectuosos contiene la
muestra.
Ejemplos
8
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

9.  La función de cuantía se emplea con variables aleatorias de tipo discreto y
nos informa de la probabilidad de que la variable aleatoria tome cada uno de
los posibles valores de su campo de variación.
 Se designa como:
 Es la Función de probabilidad de la distribución Binomial o también
denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1).
Verificándose: 0 ≤ p ≤ 1
Función de Cuantía
9
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

10. DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD BINOMIAL
10
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
Probabilidad de obtener k éxitos

11. Como el cálculo de estas
probabilidades puede
resultar algo tedioso se han
construido tablas para
algunos valores
de n y p que nos facilitan
el trabajo.
TABLAS
11
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

12. x : Número de éxitos. x : 0 , 1 , 2 , ... , n
n : Número de ensayos o pruebas.
p : Probabilidad de éxito.
q : Probabilidad de fracaso. q = 1 - p
DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD BINOMIAL
12
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL







lugarotroen
nxsiqp
xXPxf
xnxn
xC
0
.....,,2,1,0:
)()(

13. Función de Distribución:
13
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL



















nx1
.................................
3x2)2(f)1(f)0(f
2x1)1(f)0(f
1x0)0(f
0xsi0
)x(F

14.  En una escuela primaria los alumnos llegan
tarde a menudo. Cinco alumnos están en el
jardín de niños. La directora lleva tiempo
estudiando el problema, habiendo llegado a la
conclusión de que hay una probabilidad de
0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los
alumnos lleguen independientemente uno de
otro
Ejemplo
14
ING.
WILLIAM
LEON V.
¿Cómo trazamos una distribución binomial de probabilidad que ilustre
las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes lleguen tarde
simultáneamente?

15.  Para hacerlo necesitaremos utilizar la fórmula binomial
donde:
p= 0.4
q= 0.6
n= 5
La distribución binomial expresada en
forma gráfica
15
ING.
WILLIAM
LEON V.
PROBABILIDAD BINOMIAL

16. Se realiza el cálculo de cada valor de R:
 Para R= 0 :
P(0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 )0 (0.6)5
P(0) = 0.07776
 Para R= 1 :
P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )1 (0.6)4
P(1) = 0.2592
La distribución binomial expresada en
forma gráfica
16
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

17.  Para R=2:
P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )2 (0.6)3
P(2) = 0.3456
 Para R= 3:
P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )3 (0.6)2
P(3) = 0.2304
La distribución binomial expresada en
forma gráfica
17
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

18.  Para R= 4 :
P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )4 (0.6)1
P(4) = 0.0768
 Para R= 5:
P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )5 (0.6)0
P(5) = 0.01024
La distribución binomial expresada en
forma gráfica
18
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

19.  Representando estos resultados en una gráfica:
La distribución binomial expresada en
forma gráfica
19
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

20.  La distribución binomial tiene un valor
esperado o media ( E[x]) y una desviación
estándar (  ) y por lo tanto se puede
calcular esas dos medidas estadísticas.
Medidas de tendencia central y de dispersión para la
distribución binomial.
20
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

21.  Se puede representar la media de una distribución
binomial de la siguiente forma:
E[x] = n p
donde :
 n= número de ensayos.
 p= probabilidad de éxitos.
Medidas de tendencia central y de dispersión para la
distribución binomial.
21
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

22. Y la desviación de la siguiente forma:
V[x] =  npq
donde :
 n= número de ensayos.
 p= probabilidad de éxito.
 q= probabilidad de fracaso.
Medidas de tendencia central y de dispersión para la
distribución binomial.
22
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

23.  Una máquina empaquetadora
produce 20% de paquetes
defectuosos.
 Si se extrae una muestra aleatoria de
10 paquetes
 Calcular la media y la desviación
estándar de la distribución binomial
de ese proceso
Ejemplo
23
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

24. E[x] = np
= 10*0.2
= 2 Media
V[x] =  npq
=  (10) (0.2) (0.8)
=  1.6
= 1.265 Desviación estándar.
Ejemplo
24
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

25.  Tabla de Términos Individuales:
USO DE TABLA
25
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
Tabla de Términos Acumulativos:
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

26. 26
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
P(x)=x

27. 27
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
P(x)=x

28. 28
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
P(x)=x

29. 29
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
P(x)<=x

30. 30
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
P(x)<=x

31. 31
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
P(x)<=x

32.  Si se lanza al aire una moneda trucada.
 Con esta moneda la probabilidad de
obtener cara es del 30%. La
probabilidad que salga sello, es del 70%.
 Si se lanza la moneda 10 veces de
manera consecutiva.
 Se quiera calcular la probabilidad de
que observemos 6 caras o menos
 Nos fijamos en la tabla:
1. Cómo utilizar
la tabla de la distribución Binomial?
32
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL

33. localizamos n=10, x=6, p=0.3 y buscamos la intersección: 0.9894
1. Cómo utilizar
la tabla de la distribución Binomial?
33
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
6 caras o menos  x<=6

34.  Entonces se utiliza el hecho de que el
suceso descrito es el complementario
del anterior para afirmar que la
probabilidad buscada es
1-0.9894=0.0106
34
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
2.-¿Y si nos pidieran la probabilidad de que salieran
7 caras o más?
Si se sabe que la probabilidad
hasta x<=6 es 0.9894
Por lo que la probabilidad de
P(X>=7) =1 - P(x<=6)

35.  Tendríamos que calcular la
probabilidad de obtener 6
caras o menos (0.9894) y la de
obtener 5 caras o menos
(0.9527), las restamos y
obtenemos 0.0367.
35
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
3.-¿Y si nos pidieran la probabilidad de que salieran
exactamente 6 caras?

36.  Se puede también calcular
36
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
3.-¿Y si nos pidieran la probabilidad de que salieran
exactamente 6 caras?

37.  Este caso se daría, por ejemplo, si la probabilidad de que saliera
cara fuera del 70%. Entonces, si nos piden la probabilidad de
obtener 4 caras o menos tirando 10 veces la moneda, haríamos lo
siguiente.
 Notemos que la probabilidad de obtener 4 caras o menos será la
misma de obtener 6 sellos o más.
 Este suceso es el complementario de obtener 5 sellos o menos.
37
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
4.-¿ Qué pasa si el suceso sobre el que queremos calcular
tiene una probabilidad mayor que 0.5?

38.  Se localiza n=10, x=5, p=0.3 (probabilidad de
obtener sello es del 30%) y tomar la
intersección, que es 0.9527.
 La probabilidad que se pedía será de 1-
0.9527=0.0473
38
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
4.-¿ Qué pasa si el suceso sobre el que queremos calcular
tiene una probabilidad mayor que 0.5?

39. 39
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
4.-¿ Qué pasa si el suceso sobre el que queremos calcular
tiene una probabilidad mayor que 0.5?

40.  Se hará una interpolación.
 Suponer que X se distribuye como una binomial con
P=0.17; entonces, si se quiere calcular la probabilidad
que X sea menor o igual que 3 después de 6 tiradas
(n=6), tome la tabla y localice las probabilidades más
cercanas a 0.17, que son 0.15 y 0.2.
40
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
5.-¿Y si la probabilidad P no aparece en la tabla?

41. 41
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
5.-¿Y si la probabilidad P no aparece en la tabla?

42.  La interpolación se realiza como sigue:
42
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
5.-¿Y si la probabilidad P no aparece en la tabla?

43.  En estos casos hay dos posibilidades:
 A grosso modo, si el valor de P es muy pequeño, intentaremos
aproximar la variable aleatoria binomial con la distribución de
Poisson, que se explicara mas adelante
 Si no se puede considerar pequeño, se buscará la aproximación
adoptando la distribución normal .
 En general, el valor de n que se requiere para que la aproximación
sea satisfactoria suele ser bastante superior a 20.
 Una tercera posibilidad, evidentemente, es recurrir al cálculo por
computador.
43
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
5.-¿Y si la probabilidad P no aparece en la tabla?

44. 1.-Un Ingeniero Industrial, planea un estudio piloto
para su disertación doctoral. Como parte de su
estudio, planea enviar cuestionarios a 20 contadores
públicos seleccionados en forma aleatoria.
Sabe que el índice de respuesta para este grupo
de personas es de 30%, y espera que al menos once
de los cuestionarios estén completos y le sean
regresados. ¿Cuál es la probabilidad de que en
realidad el número de cuestionarios completos que
reciba sea:
44
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
Ejemplos

45. a) exactamente doce.
n = 20 p = 0,30
45
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
    0,0040,30;20;1212xP  b
Ejemplos

46. b) al menos once.
46
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
    0,0170,30;20;11B11xP 
Ejemplos
1- P(x<10) = 1-0.9829=0.017

47. c) entre once y quince inclusive.
47
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
     10xP16xP15x11P 
Ejemplos
0,0171
0,98291,000



48. 2.-Se envían invitaciones para cenar a los 20
delegados que asisten a una convención, y
se cree que para cada delegado invitado,
la probabilidad de que acepte es 0,9. Si
se asume que toman la decisión de
aceptar la invitación independientemente,
¿cuál es la probabilidad de que como
mucho 17 delegados acepten la
invitación?
48
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
Ejemplos

49. n = 20 P ( A ) = 0,90
49
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
 
 
 
 
0,323
0,1220,2700,2851
)0,10;20;0(b)0,10;20;1(b)0,10;20;2(b1
)0,90;20;20(b)0,90;20;19(b)0,90;20;18(b1
)20x(P)19x(P)18x(P1
)18x(P1)17x(P






Ejemplos

50. 3.- Suponga que el 5% de cierto modelo de
calculadoras de bolsillo fallan durante
los primeros 60 días y son regresadas a
la tienda para ser reparadas.
Si una compañía compra 25
calculadoras:
50
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
Ejemplos

51. a) Aproximadamente, ¿cuántas espera que fallen en el
lapso de 60 días?.
P ( F ) = 0,05 = p n = 25
E ( x ) = n p = 25 x 0,05 = 1,25 = 1
51
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
Ejemplos

52. b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna falle?
 P ( x = 0 ) = b ( 0 ; 25 ; 0,05 ) = 0,277
52
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
Ejemplos

53. c) Calcular la probabilidad de que fallen tres o más.
P ( x  3 ) = B ( 3 ; 25 ; 0,05 )
= 0,127
53
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
Ejemplos

54. d) Hallar la probabilidad de que como máximo fallen 4.
P ( x  4 ) = 1 – P ( x  5 )
= 1 – 0,007 = 0,993
54
ING.
WILLIAM
LEON V.PROBABILIDAD
BINOMIAL
Ejemplos

55. Ing. William León Velásquez
Distribuciones
Multinomial

56. La distribución multinomial es
similar a la distribución
binomial, con la diferencia de
que en lugar de dos posibles
resultados en cada ensayo,
puede haber múltiples
resultados:
56
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multinomial

57. Ejemplo de distribución binomial:
En unas elecciones estudiantiles se
presentaron 2 listas: La 01 obtuvo un
60% de los votos y la 02 el 40%
restante. ¿Cuál es la probabilidad de
que al elegir 5 estudiantes al azar, 4
de ellos hallan votado la 02?
57
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Ejemplo

58. Ejemplo de distribución
multinomial:
A unas elecciones estudiantiles se
presentaron 4 listas: la 01 obtuvo
un 40% de los votos, la 02 el 30%,
la 03 el 20% y la 04 el 10% restante.
¿Cuál es la probabilidad de que al
elegir 5 estudiantes al azar, 3
hayan votado la 01, 1 al a la 03 y 1
la 04?
58
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multinomial

59. La distribución multinomial sigue el siguiente modelo:
59
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multinomial
Donde:
X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo,
que la lista 01lo hayan votado 3 estudiantes)
n: indica el número de veces que se ha repetido el suceso (en el
ejemplo, 5 veces)
n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
p1: es la probabilidad del suceso X1 (en el ejemplo, el 40%)

60. En el ejemplo:
Luego:
P = 0,0256
Es decir, que la probabilidad de que los 5 estudiantes elegidas
hayan votado de esta manera es tan sólo del 2,56%
Nota: 0! es igual a 1, y cualquier número elevado a 0 es también
igual a 1
60
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multinomial

61. Otro ejemplo:
 En una fiesta, el 20% de los asistentes
son españoles, el 30% franceses, el 40%
italiano y el 10% portugueses.
 En un pequeño grupo se han reunido 4
invitados: ¿cual es la probabilidad de
que 2 sean españoles y 2 italianos?
61
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multinomial

62. Aplicamos el modelo:
Luego
P = 0,0384
Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo esté formado por
personas de estos países es tan sólo del 3,84%.
62
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multinomial

63. 63
Ejemplo Adicional
Un método de un diagnóstico tiene 3
resultados posibles: positivo (P), negativo (N)
y dudoso (D).
Se sabe que, en la población, el 10% de los
sujetos son positivos, el 70% negativos y el
resto dudosos. ¿Qué probabilidad hay de, en
una muestra de 5 individuos, obtener
exactamente 1 positivo, 1 negativo y 3
dudosos ?
Distribuciones Multinomial

64. 64
0112.02.07.01.0
!1!.3!.1
!5
)1,3,1( 311
p
Luego
P = 0,0112
Por lo tanto, la probabilidad de que la muestra de 5 individuos
esté formado por 1 positivo, i negativo y 3 dudosos es tan sólo
del 1,12%.
Aplicar el modelo:
Distribuciones Multinomial

65. Distribuciones
Hipergeométrica
65
ING.
WILLIAM
LEON V.

66. Son experimentos donde, al igual que en la
distribución binomial, en cada ensayo hay
tan sólo dos posibles resultados: o sale
blanca o no sale.
Pero se diferencia de la distribución binomial
en que los distintos ensayos son
dependientes entre sí:
66
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Hipergeométrica

67. Se aplica por ejemplo:
Si en una urna con 5 bolas blancas y 3
negras en un primer ensayo saco una bola
blanca, en el segundo ensayo hay una bola
blanca menos por lo que las probabilidades
son diferentes (hay dependencia entre los
distintos ensayos).
67
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Hipergeométrica

68. La distribución hipergeométrica sigue el siguiente
modelo:
68
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Hipergeométrica

69. Donde:
69
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Hipergeométrica

70. Explicación:
 N: es el número total de bolas en la urna
 N1: es el número total de bolas blancas
 N2: es el número total de bolas negras
 k: es el número de bolas blancas cuya probabilidad se está
calculando
 n: es el número de ensayos que se realiza
70
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Hipergeométrica

71. Ejemplo 1:
En una urna hay 7 bolas blancas y 5
negras.
Se sacan 4 bolas
¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean
blancas?
Entonces:
N = 12; N1 = 7; N2 = 5;
k = 3; n = 4
71
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Hipergeométrica

72. Aplicamos el modelo:
Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535.
Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.
72
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Hipergeométrica

73. Ejemplo 2:
En una fiesta hay 20
personas: 14 casadas y 6
solteras.
Se eligen 3 personas al azar.
¿Cuál es la probabilidad de
que las 3 sean solteras?
73
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Este modelo no sólo se utiliza con experimentos con bolas, sino que
también se aplica con experimentos similares:
Distribuciones Hipergeométrica

74. Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175.
Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan
sólo del 1,75%.
74
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Hipergeométrica

75. Distribuciones
Multihipergeométrica
75
ING.
WILLIAM
LEON V.

76. La distribución multihipergeométrica es similar
a la distribución hipergeométrica, con la
diferencia de que en la urna, en lugar de
haber únicamente bolas de dos colores, hay
bolas de diferentes colores.
76
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multihipergeométrica

77. Ejemplo:
En una urna hay 7 bolas blancas, 3
verdes y 4 amarillas:
¿Cuál es la probabilidad de que al
extraer 3 bolas sea cada una de un
color distinto?
77
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multihipergeométrica

78. La distribución multihipergeométrica sigue el siguiente modelo:
78
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multihipergeométrica

79. Donde:
X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el
ejemplo, que una de las bolas sea blanca)
N1: indica el número de bolas blancas que hay en la urna (en
el ejemplo, 7 bolas)
N: es el número total de bolas en la urna (en el ejemplo, 14
bolas)
n: es el número total de bolas que se extraen (en el ejemplo,
3 bolas)
79
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multihipergeométrica

80. Reemplazando con los datos del ejemplo:
80
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multihipergeométrica

81. Luego:
P = 0,2307
Es decir, que la probabilidad de sacar una bola de cada
color es del 23,07%.
81
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multihipergeométrica

82. Otro ejemplo:
En una caja de lápices hay 10 de
color amarillo, 3 de color azul y 4
de color rojo. Se extraen 7
lápices,
¿cual es la probabilidad de que 5
sean amarillos y 2 rojos?
82
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multihipergeométrica

83. Aplicamos el modelo:
83
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multihipergeométrica

84. Luego
P = 0,0777
Por lo tanto, la probabilidad de que los 5 lápices sean de
los colores indicados es del 7,77%.
84
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
Distribuciones Multihipergeométrica

85. DISTRIBUCIÓN DE
POISSON
85
ING.
WILLIAM
LEON V.

86. Una variable aleatoria X tiene una
distribución de Poisson cuando el
fenómeno se presenta aleatoria o
independientemente en el tiempo o
espacio en el cual sólo interesa la
ocurrencia del fenómeno un número
determinado de veces y no interesa
la no ocurrencia del fenómeno.
86
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

87. Ejemplos:
La cantidad de llamadas telefónicas en un
periodo de una hora en cierta oficina.
El número de accidentes de tránsito
durante un mes.
El número de errores tipográficos por
página en un libro.
El número de fallas de una computadora
durante una semana de operación.
87
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

88. Función de Cuantía:
88
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA




 

casootroen0
.....,2,1,0:xsi
!x
x
λ
λ
e
)xX(P)x(f
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

89. Valor Esperado:
Varianza:
89
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
λ)x(E 
λ)x(V 
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

90. Aplicaciones:
La distribución de Poisson tiene aplicaciones
en Control de Calidad y muestreo de
aceptación.
Además, ciertas distribuciones continuas
importantes utilizadas en teoría de
confiabilidad y teoría de colas dependen del
proceso de Poisson.
90
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

91. Uso de Tabla:
Lectura directa.
91
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
)x(F)xx(P 
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

92. Ejemplo:
Si el número de defectos en los rollos
de tela de cierta empresa textil es una
variable aleatoria de Poisson con una
media de 0,1 defectos por metro
cuadrado.
92
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

93. ¿Cuál es la probabilidad de :
a) Tener dos defectos en un metro cuadrado de tela.
0,1 defectos ---- 1 m2
93
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
10,λ 
  0050,
!2
2
10,.
10,
e
2xP 


DISTRIBUCIÓN DE POISSON

94. ¿Cuál es la probabilidad de :
b) Tener un defecto en 10 metros cuadrados de tela,.
0,1 defectos ---- 1 m2
---- 10 m2
94
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA

1λ 
  3680,
!1
1
1.
1
e
1xP 


DISTRIBUCIÓN DE POISSON

95. ¿Cuál es la probabilidad de :
c) Que no hayan defectos en 20 metros cuadrados de tela.
95
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
2λ     1350,0xP 
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

96. 1.-¿Cómo utilizar la tabla de la distribución de
Poisson?
 Supongamos que X es una variable aleatoria
que sigue la ley de Poisson con parámetro
0.9.
 Nos piden calcular la probabilidad de que X
sea menor o igual que 3. Localizamos en la
 tabla λ=0.9, x=3 y tomamos la
intersección:0.987.
96
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

97. 97
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

98. 2.-¿Y si nos pidieran la probabilidad de que X fuera mayor
que 3?
 En este caso nos tendríamos que fijar en que este
suceso es el complementario del anterior y que por lo
tanto la probabilidad buscada es de 1-0.987=0.013
98
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

99. 3.-¿Y si nos pidieran la probabilidad de que X fuera
exactamente 3?
 Una posibilidad seria calcular la probabilidad que X
fuera menor o igual que 3 (0.987), la probabilidad que
X fuera menor o igual que 2 (0.937) y restarlas, dando
0.05.
99
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

100. 3.-¿Y si nos pidieran la probabilidad de que X fuera
exactamente 3?
 Pero la fórmula de la función de probabilidad nos dará
un resultado exacto
100
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

101. 4.-¿Qué pasa si el parámetro λ no aparece de forma exacta en la tabla?
 Suponga que se tiene una variable aleatoria X que se distribuye
según una ley de Poisson con parámetro λ = 4.65.
 Queremos calcular la probabilidad que X sea menor o igual que 7. Se
toma los dos parámetros más cercanos a 4.65 que aparecen en la
tabla, que son 4.6 y 4.8.
 Localizar las respectivas probabilidades
101
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

102. 102
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

103. 5.-¿Cómo se hace para, dado p, calcular el valor x tal que
P(X ≤ x)=p, siendo X una variable aleatoria Poisson?
 Suponga que X se distribuye como una Poisson con
parámetro λ =12, y nos dan p=0.772.
 Para calcular la x correspondiente tomamos la tabla y
localizamos λ =12.
103
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

104. 104
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

105.  Fijarse que la x correspondiente es 14.
 Si nos dan por ejemplo p=0.72, λ =14.5, entonces se toma el valor
inmediatamente inferior a 0.72 que aparece en la tabla para λ
=14.5. En nuestro caso es 0.711, que corresponde a x=16.
 Note que en este caso no se hace interpolación lineal ya que la ley
Poisson es discreta y por lo tanto no tiene sentido dar un valor no
entero, como 16.2.
105
ING.
WILLIAM
LEON V.DISTRIBUCION
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON

106. FIN
wjleonv@yahoo.com