Este documento describe los supuestos principales para los modelos I y II de análisis de varianza, incluyendo la independencia y normalidad de los errores, y la homogeneidad de las varianzas de los tratamientos. También explica pruebas como Shapiro-Wilk para comprobar la normalidad y Bartlett para verificar la homogeneidad de varianzas. Finalmente, presenta un ejercicio para aplicar la prueba de Bartlett a datos de dietas.

1. quinta sección
Supuestos
MsC Edgar Madrid Cuello.
Dpto. de Matemática, UNISUCRE
Análisis y diseño de experimentos
Mayo 2019
MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosSupuestos

2. quinta sección
SUPUESTOS
Denición
Los supuestos para los modelos I y II pueden resumirse en:
1 Independencia de los errores εij
2 Distribución Normal de los errores εij
3 Homogeneidad de las varianzas de los tratamientos
4 Aditividad o linealidad en los parámetros del modelo; aplicable,
en particular, a los modelos factoriales que se verán
posteriormente.
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3. quinta sección
SUPUESTOS
Denición
Los supuestos para los modelos I y II pueden resumirse en:
1 Independencia de los errores εij
2 Distribución Normal de los errores εij
3 Homogeneidad de las varianzas de los tratamientos
4 Aditividad o linealidad en los parámetros del modelo; aplicable,
en particular, a los modelos factoriales que se verán
posteriormente.
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4. quinta sección
SUPUESTOS
Denición
Los supuestos para los modelos I y II pueden resumirse en:
1 Independencia de los errores εij
2 Distribución Normal de los errores εij
3 Homogeneidad de las varianzas de los tratamientos
4 Aditividad o linealidad en los parámetros del modelo; aplicable,
en particular, a los modelos factoriales que se verán
posteriormente.
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5. quinta sección
SUPUESTOS
Denición
Los supuestos para los modelos I y II pueden resumirse en:
1 Independencia de los errores εij
2 Distribución Normal de los errores εij
3 Homogeneidad de las varianzas de los tratamientos
4 Aditividad o linealidad en los parámetros del modelo; aplicable,
en particular, a los modelos factoriales que se verán
posteriormente.
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6. quinta sección
SUPUESTOS
Denición
Los supuestos para los modelos I y II pueden resumirse en:
1 Independencia de los errores εij
2 Distribución Normal de los errores εij
3 Homogeneidad de las varianzas de los tratamientos
4 Aditividad o linealidad en los parámetros del modelo; aplicable,
en particular, a los modelos factoriales que se verán
posteriormente.
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7. quinta sección
Supuestos
Denición (Normalidad)
Es suciente la prueba de normalidad para los errores εij en
conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas similares.
Es una práctica común utilizar la muestra de residuos para
comprobar los supuestos del modelo, ya que si los supuestos se
cumplen, los residuos o residuales se pueden ver como una muestra
aleatoria de una distribución normal con media cero y varianza
constante
Residuos: Son generados por la diferencia entre la respuesta
observada y la respuesta predicha por el modelo en cada prueba
experimental
eij = yij − ¯y.j
es a estas diferencias a las que se les aplica la prueba de normalidad
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8. quinta sección
Supuestos
Denición (Normalidad)
Es suciente la prueba de normalidad para los errores εij en
conjunto, sobre todo si los grupos tienen varianzas similares.
Es una práctica común utilizar la muestra de residuos para
comprobar los supuestos del modelo, ya que si los supuestos se
cumplen, los residuos o residuales se pueden ver como una muestra
aleatoria de una distribución normal con media cero y varianza
constante
Residuos: Son generados por la diferencia entre la respuesta
observada y la respuesta predicha por el modelo en cada prueba
experimental
eij = yij − ¯y.j
es a estas diferencias a las que se les aplica la prueba de normalidad
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9. quinta sección
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Denición
Consideremos una muestra aleatoria de datos x1, x2, . . . , xn que
proceden de cierta distribución desconocida denotada por F(x). Se
quiere vericar si dichos datos fueron generados por un proceso
normal, mediante las hipótesis estadísticas:
H0 : Los datos proceden de una distribución normal (F(x) es
normal).
HA : Los datos no proceden de una distribución normal (F(x) no
es normal).
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10. quinta sección
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Denición
Consideremos una muestra aleatoria de datos x1, x2, . . . , xn que
proceden de cierta distribución desconocida denotada por F(x). Se
quiere vericar si dichos datos fueron generados por un proceso
normal, mediante las hipótesis estadísticas:
H0 : Los datos proceden de una distribución normal (F(x) es
normal).
HA : Los datos no proceden de una distribución normal (F(x) no
es normal).
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11. quinta sección
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Denición
Los pasos para la prueba de Shapiro-Wilks son:
1 Se ordenan los datos de menor a mayor. Denotemos los datos
ordenados por X(1), X(2), ..., X(n).
2 Se halla la suma de cuadrados SC = i yi − ¯y 2
3 si n es par, n = 2k, y se calcula b = k
i=1 ai (yn−i+1 − yi)
Si n es impar, n = 2k + 1 se omite la mediana
4 Se calcula la estadística de comparación W = b2/SC
5 Regla de decisión: si W Wα,n se rechaza H0 [2]
Otro método analítico es la Prueba Kolmogorov Smirnov.
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12. quinta sección
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Denición
Los pasos para la prueba de Shapiro-Wilks son:
1 Se ordenan los datos de menor a mayor. Denotemos los datos
ordenados por X(1), X(2), ..., X(n).
2 Se halla la suma de cuadrados SC = i yi − ¯y 2
3 si n es par, n = 2k, y se calcula b = k
i=1 ai (yn−i+1 − yi)
Si n es impar, n = 2k + 1 se omite la mediana
4 Se calcula la estadística de comparación W = b2/SC
5 Regla de decisión: si W Wα,n se rechaza H0 [2]
Otro método analítico es la Prueba Kolmogorov Smirnov.
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13. quinta sección
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Denición
Los pasos para la prueba de Shapiro-Wilks son:
1 Se ordenan los datos de menor a mayor. Denotemos los datos
ordenados por X(1), X(2), ..., X(n).
2 Se halla la suma de cuadrados SC = i yi − ¯y 2
3 si n es par, n = 2k, y se calcula b = k
i=1 ai (yn−i+1 − yi)
Si n es impar, n = 2k + 1 se omite la mediana
4 Se calcula la estadística de comparación W = b2/SC
5 Regla de decisión: si W Wα,n se rechaza H0 [2]
Otro método analítico es la Prueba Kolmogorov Smirnov.
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14. quinta sección
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Denición
Los pasos para la prueba de Shapiro-Wilks son:
1 Se ordenan los datos de menor a mayor. Denotemos los datos
ordenados por X(1), X(2), ..., X(n).
2 Se halla la suma de cuadrados SC = i yi − ¯y 2
3 si n es par, n = 2k, y se calcula b = k
i=1 ai (yn−i+1 − yi)
Si n es impar, n = 2k + 1 se omite la mediana
4 Se calcula la estadística de comparación W = b2/SC
5 Regla de decisión: si W Wα,n se rechaza H0 [2]
Otro método analítico es la Prueba Kolmogorov Smirnov.
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15. quinta sección
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Ejemplo
Supongase que los residuos son los siguientes 10 datos:
25.2 26.3 24.0 24.8 24.9 24.0 23.2 24.9 21.4 23.9
i ai (yn−i+1 − yi) ai (yn−i+1 − yi)
1
2
3
4
5
Suma
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16. quinta sección
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Ejemplo
Supongase que los residuos son los siguientes 10 datos:
25.2 26.3 24.0 24.8 24.9 24.0 23.2 24.9 21.4 23.9
i ai (yn−i+1 − yi) ai (yn−i+1 − yi)
1
2
3
4
5
Suma
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17. quinta sección
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Ejemplo
Supongase que los residuos son los siguientes 10 datos:
25.2 26.3 24.0 24.8 24.9 24.0 23.2 24.9 21.4 23.9
i ai (yn−i+1 − yi) ai (yn−i+1 − yi)
1
2
3
4
5
Suma
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18. quinta sección
Supuestos
Denición (Homogeneidad de las varianzas)
Uno de los supuestos más importantes y cruciales en el ANOVA, es
el de igualdad de varianzas entre los grupos que se están
comparando. La prueba correspondiente se conoce como prueba de
homogeneidad de varianzas o prueba de homoscedasticidad.
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19. quinta sección
Prueba de Bartlett para homoscedasticidad
Denición (Hipóttesis de igualdad de varianza)
H0 : σ2
1 = σ2
2 = . . . = σ2
k = σ2
HA : no todas las varianzas son iguales
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20. quinta sección
Prueba de BARTLETT para homoscesdasticidad
Denición
Se rechaza H0 si M/C χ2
α,k−1
M = ν ln ¯s2 − j νj ln s2
j ] con ¯s2 = j νjs2
j /ν
C = 1 +
1
3(k − 1) j
1
νj
− 1
ν con ν = j νj y νj = rj − 1
[1]
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21. quinta sección
Ejercicio
Aplicar la prueba de Bartlett para chequear la homogenidad de
variazas en el ejemplo de las dietas
D1 D2 D3 D4
62 63 68 56
60 67 66 62
63 71 71 60
59 64 67 63
65 68 63
66 68 64
63
59
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22. quinta sección
Ejercicio
Aplicar la prueba de Bartlett para chequear la homogenidad de
variazas en el ejemplo de las dietas
D1 D2 D3 D4
62 63 68 56
60 67 66 62
63 71 71 60
59 64 67 63
65 68 63
66 68 64
63
59
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23. quinta sección
Dietas ϑj s2
j ϑjs2
j ln s2
j ϑj ln s2
j 1/ϑj
D1 3 3.33 10.0 1.2039 3.6119 0.333
D2
D3
D4
Totales
Otras pruebas pueden ser:
1 Prueba de Levene
2 Prueba de Cochran
3 Prueba de Hartley
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24. quinta sección
Dietas ϑj s2
j ϑjs2
j ln s2
j ϑj ln s2
j 1/ϑj
D1 3 3.33 10.0 1.2039 3.6119 0.333
D2
D3
D4
Totales
Otras pruebas pueden ser:
1 Prueba de Levene
2 Prueba de Cochran
3 Prueba de Hartley
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25. quinta sección
Dietas ϑj s2
j ϑjs2
j ln s2
j ϑj ln s2
j 1/ϑj
D1 3 3.33 10.0 1.2039 3.6119 0.333
D2
D3
D4
Totales
Otras pruebas pueden ser:
1 Prueba de Levene
2 Prueba de Cochran
3 Prueba de Hartley
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26. quinta sección
Bibliográa
Díaz, A., Diseño estadístico de experimentos, Universidad de
Antioquia, 2a edición, Medellin, 2009
Gutiérrez, H. and De la Vara, R., Análisis y diseño de
experimentos. Mc Graw Hill, 3a edición Mexico, D.F., 2012.
Montgomery, D. Diseño y análisis de experimentos.
Iberoamérica S.A., Mexico, D.F., 1991.
Samuels, M.L. and Witmer, J.A. and Schaner, A.A.,
Fundamentos de estadística para las ciencias de la vida,
Pearson, 4a edición, Madrid. 2012
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