El documento presenta las ecuaciones fundamentales de la magnetostática y explica conceptos como la ley de conservación de carga magnética, el potencial vector magnético y la magnetización. También resuelve problemas de campo magnético generado por un circuito, campo magnético entre cilindros coaxiales con diferentes materiales y el potencial vectorial de un solenoide infinito.

1. Examen Parcial 3: Electromagnetismo 1
Magnetost´atica, versi´on A
Sa´ul M´endez Guti´errez
19 de junio de 2020
1. Escriba las ecuaciones fundamentales de la
magnetost´atica, de ellas deduzca y explique
la ley de conservaci´on de carga y reescriba las
ecuaciones para medios magn´eticos L.H.I.
Los campos magn´eticos siguen las ecuaciones
de Helmholtz. Por lo que las leyes quedan de
la siguiente manera:
#»
·
#»
B = 0 (1)
y la ley de Ampere:
#»
×
#»
B = µ0
#»
J (2)
En donde µ0 es la constante de la permeabi-
lidad magn´etica del vac´ıo
Partiendo de estas dos ecuaciones; de la Pri-
mera, se deduce que:
#»
B =
#»
×
#»
A (3)
En donde
#»
A se llama potencial vectorial
magn´etico. Utilizando la misma relaci´on →
#»
·
#»
A = 0 se conoce como Norma de Coulomb.
Ahora, estas leyes deben cumplir la ley de
conservaci´on de cargas
#»
·
#»
J = 0.
Tomando como definici´on la fuerza magn´eti-
ca
#»
F m
#»
F m = q#»v ×
#»
B (4)
y la fuerza de Lorentz:
#»
F = q(
#»
E + #»v ×
#»
B) (5)
La fuerza sobre una regi´on V con densidad ρ
y velocidad #»v
#»
F m =
V
ρ#»v ×
#»
BdV =
V
#»
J ×
#»
BdV (6)
Igualmente, teniendo la densidad de fuerza
magn´etica (#»ρ m)
#»ρ m =
#»
J ×
#»
B (7)
Por lo que la fuerza magn´etica es igual a:
#»
F m =
V
#»ρ mdV (8)
Ahora, tomando su derivada con respecto a
t
d
dt V
#»ρ mdV = −
S
#»
J dS = −I (9)
Lo cual cumple con la ley de conservaci´on de
1

2. cargas
Por ultimo, para reescribir las ecuaciones pa-
ra medios magn´eticos L.H.I.
Para un material susceptible a cambios
magn´eticos se para los efectos de la magne-
tizaci´on en materiales:
#»
J M
=
#»
×
#»
M (10)
Donde
#»
J M
es la densidad de corriente de
magnetizaci´on
#»
j M
=
#»
M × ˆn (11)
Y
#»
j M
se define como la densidad de corrien-
te Superficial de magnetizaci´on.
Para relacionar estas nuevas dos ecuaciones
a las ecuaciones fundamentales, sustituimos
en la Ley de Ampere la Corriente magn´etica
inducida:
#»
×
#»
B = µ0
#»
J ext + µ0
#»
J M
(12)
En donde
#»
J ext son las corrientes al exterior
del material
#»
×
#»
B = µ0
#»
J ext + µ0
#»
×
#»
M (13)
Donde se puede reescribir como:
#»
×
1
µ0
#»
B −
#»
M =
#»
J ext (14)
Donde se origina una nueva definici´on llama-
da Excitaci´on Magn´etica:
#»
H =
1
µ0
#»
B −
#»
M (15)
Por lo que la ley de Ampere se generaliza
como:
#»
×
#»
H =
#»
J ext (16)
Para materiales magn´eticos L.H.I
2. Obtener el campo magn´etico en el punto P
del circuito de la figura 1.
Figura 1:
Suponiendo que la linea de la figura es un
alambre.
Para este problema se utiliza la ley de Biot-
Savart. Para resolverlo m´as f´acilmente divid´ı
la figura en tres secciones:
Comenzando con las secciones paralelas en-
tre si, AB y CD, en donde, utilizando coor-
denadas cartesianas (x, y), R tiene un domi-
nio de (−∞, −R) y (0, R) .
Parametrizando los valores de coordenadas
cartesianas a polares:
cos θ1 = 1
cos θ2 = 0
Por lo que θ1 = 0 y θ2 = π
2
Ahora, usando la ley de Biot-Savart:
2

3. #»
B1 =
µ0
4π
I(cos θ1 + cos θ2)
R
(17)
→
#»
B1 =
µ0
4π
I(1 + 0)
R
(18)
Por lo que para las secciones AB y CD:
⇒
#»
B1 =
µ0
4π
I
R
(19)
Este es el campo para cada una de las sec-
ciones, por lo que se duplica.
Ahora, para la secci´on BC igualmente utili-
zamos la ley de Biot-Savart, en este caso con
la forma diferencial:
d
#»
B2 =
µ0
4π
Idl sin θ
R2
En donde, para el alambre:
dl = Rdθ
En esta secci´on s´ı existe una regi´on en donde
dl es perpendicular al punto P, por lo que:
sin θ = sin
π
2
= 1 (20)
→ dl = R (21)
Por lo que la ecuaci´on resultante es:
d
#»
B2 =
µ0
4π
IR
R2
(22)
Reescribiendo:
d
#»
B2 =
µ0
4π
I
R
dθ (23)
Como en la secci´on BC, el ´angulo θ est´a entre
0 y 180 grados, los limites de la integral son
de 0 a π radianes
#»
B2 =
π
0
µ0
4π
I
R
dθ (24)
→
#»
B2 =
µ0
4π
I
R
π (25)
→
#»
B2 =
µ0I
4R
(26)
Ahora uniendo las 3 secciones, el campo
magn´etico total, es:
#»
Btotal = 2
#»
B1 +
#»
B2 (27)
⇒
#»
Btotal =
µ0I
4R
(2 + π) (28)
3. Sean dos cilindros coaxiales (infinitos) de ra-
dios a y b con b a por los que pasan
corrientes Ja en el cilindro de radio a y Jb
en el cilindro exterior (aislados en la inter-
faz), el cilindro a est´a hecho de un mate-
rial diamagn´etico L.H.I con susceptibilidad
magn´etica χm
a y el cilindro de radio b es para-
magn´etico con susceptibilidad magn´etica χm
b
. Encontrar el campo magn´etico en todo el
espacio y las corrientes inducidas
Para comenzar se definir´an las propiedades
de ambos cilindros:
Como el cilindro a es de un material
Diamagn´etico:
χm
a 0
3

4. Adem´as:
#»
M tiene direcci´on opuesta a
#»
H
y los diamagn´eticos tiene la propiedad
de que las corrientes inducidas generan
momentos dipolares en sentido contra-
rio al campo que las induce.
Como el cilindro b es de un material
Paramagn´etico:
χm
b 0
Y
#»
M tiene la misma direcci´on y sentido
que
#»
H, por lo que tiene la misma direc-
ci´on y sentido que
#»
B
Una vez teniendo estos conceptos, para mo-
delar el problema comencemos por el cilindro
a:
Se tiene un circuito Amperiano para sa ≤ a
con una direcci´on ˆz, y como el cilindro a es
diamagn´etico χm
a 0.
Por lo que tenemos:
#»
Ma = −χm
a
#»
Ha (29)
Para el cual, su campo auxiliar
#»
Ha se define
como:
#»
Had
#»
l =
#»
Ha
2
0
πsadφ =
#»
Ha(2πsa)
(30)
#»
Ha =
1
2πsa
(31)
Por lo que tenemos, conservando a χm
a 0
#»
Ma = −χm
a
1
2πsa
(32)
De esta ecuaci´on, para calcular
#»
Ba, tenemos
que:
#»
Ba = −Iµ0(1 − χm
a )
#»
Ha
ˆφ (33)
Ahora, para el cilindro b, todo es completa-
mente an´alogo. Recordando que χm
b 0.
Por lo que su campo auxiliar es:
#»
Hb =
1
2πsb
(34)
Para a s ≤ b.
Y su campo magn´etico se define como:
#»
Bb = Iµ0(1 + χm
b )
#»
Hb
ˆφ (35)
Ahora, haciendo la suma de ambos campos,
debido a que est´an aislados en la interfaz:
#»
Btotal =
#»
Ba +
#»
Bb (36)
#»
Btotal = Iµ0 (χm
a
#»
Ha) + (χm
b
#»
Hb) ˆφ (37)
⇒
#»
Btotal =
Iµ0
2π
(
χm
a
sa
) + (
χm
b
sb
) ˆφ (38)
4. Calcule el potencial vectorial magn´etico de
un solenoide infinito con N vueltas por uni-
dad de longitud y corriente I en cada espira.
Compruebe que el campo magn´etico dentro
del solenoide es uniforme y fuera es cero.
Tenemos la definici´on del flujo Φ de
#»
B que
pasa por en solenoide
4

5. Φ =
#»
A · dl =
#»
B · da (39)
Φ = ( × A)d#»a (40)
Ahora, de la ley de Ampere tenemos la rela-
ci´on:
#»
B · d
#»
l = µ0Ienc (41)
Por lo que:
#»
A · d
#»
l = Φ (42)
Si utilizamos en el radio dentro del solenoide
(S R), se crea un circulo que va girando
conforme avanza en la longitud. Por lo que:
#»
A · d
#»
l = 2AπS =
#»
Bd#»a (43)
Utilizando la relaci´on definida al principio,
en donde el rotacional de la divergencia de A
es igual a Φ
#»
Bd#»a = µ0NI(πS2
) (44)
→ A1 =
1
2
Iµ0NS ˆφ (45)
Para toda S R
Ahora, utilizando lo mismo pero para un ra-
dio (R ≤ S) fuera del solenoide:
#»
A · d
#»
l = 2AπS =
#»
Bd#»a (46)
#»
Bd#»a = µ0NI(πR2
) (47)
→ A2 =
1
2S
Iµ0NR2 ˆφ (48)
Para toda R ≤ S
Ahora, de la relaci´on
#»
B =
#»
×
#»
A
Para A1 = 1
2 Iµ0NS ˆφ donde toda S R
#»
B =
#»
×
#»
A1 = µ0NIˆz (49)
Y para A2 = 1
2S Iµ0NR2 ˆφ donde toda R ≤ S
#»
B =
#»
×
#»
A2 = 0 (50)
As´ı es como el campo magn´etico dentro del
solenoide es uniforme y fuera es 0.
5