Magnetostatica en el vacío

Magneto estática en el
Vacío
EE-521 Propagación y
Radiación Electromagnética I
Miguel Delgado León
MSc. Ing. Miguel Delgado León

Introducción: Campo eléctrico E
' 2 3
0 0
ˆ1 ' 1 '
. (1)
4 4
q q
e
q q R q q R
F N
R Rπ ε π ε
→ = =
r
r
En electrostática se vio la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales en reposo
(Ley de Coulomb)
q’ es la carga fuente, q es la carga de campo y
el vector unitario. Separando la carga de campo
q se define un nuevo campo vectorial:
'
3
0
1 '
( ) ./ . (2)
4
q q
e
F
q R
E r V m
q Rπ ε
→
= =
r
r
r r
E es el campo vectorial llamado campo eléctrico
que es producido por la carga fuente q’.
La presente figura muestra la dirección del
campo E calculado y graficado con Matlab
ˆR

Campo magnético de corrientes estacionarias
Si las cargas se movieran con velocidades constantes v’ y v, respectivamente,
existiría además una fuerza magnética ejercida por q’ sobre q
( ) ( )0 0
' 2 3
ˆ' ' ' ' .
4 4
q q
m
q q
F V q V R V q V R N
R R
µ µ
π π
→ = × × = × ×
r r r r r r
es conocida como la permeabilidad del vacío0µ
En el Sistema Internacional
7
0 4 10 ./ .Henry mµ π −
= ×
Separando la carga de campo q y su velocidad v
se define otro campo vectorial:
0
3
' '
( ) ( ) (3)
4
m
q V R
F qV B r B r Tesla
R
µ
π
×
= × ⇒ =
r r
r r r rr r
El campo B es conocido con los siguientes nombres: campo inducción magnética
o densidad de flujo magnético o simplemente campo B. En (3), si en lugar de q’
reemplazamos por un diferencial de carga dq’ tenemos:
0
3
' '
( ) (4)
4
d q V R
d B r Tesla
R
µ
π
×
=
r r
r r

Fuerza de Lorentz, Ley de Biot y Savart
Si se encuentran presentes un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza
total sobre una carga móvil es: que se conoce como la fuerza de Lorentz.e mF F+
r r
( ) . (5)F q E V B N= + ×
r r r r
La fig. muestra un dq’ que se desplaza dr’ en un tiempo
dt. Tenemos: ' '
' ' ' ' ' ' (6)
d r d q
dq V dq d r I d r
d t d t
= = =
rr r r
Reemplazando (6) en (4) llegamos a:
0
3
' '
( ) (7)
4
I d r R
d B r Tesla
R
µ
π
×
=
rrr r
Que es el campo de una parte infinitesimal del circuito. El
campo debido a todo el circuito C’ es la integral dada por:
0
3
'
' '
( ) (8)
4 C
I d r R
B r Tesla
R
µ
π
×
= ∫
rrr r
Es la Ley de Biot y Savart donde I’ es constante

Ley de fuerzas de Ampere
La fórmula (3) es la fuerza magnética sobre una carga q. Si en lugar de q
reemplazamos un diferencial de carga dq. La fuerza se transforma en:
( ) (9)md F dqV B r= ×
r r r r
La fórmula (6) indica que , que reemplazando en (9) llegamos a:dqV I d r=
r r
( ) (10)md F I d r B r= ×
r rr r
Que es la fuerza sobre una parte infinitesimal de un
circuito. La fuerza magnética sobre todo el circuito C es una
integral:
( ) (11)m
C
F I d r B r= ×∫
r rr r
Reemplazando (8) en (11) llegamos a:
0
3
'
' ( ' )
(11)
4
m
C C
I I d r d r R
F
R
µ
π
× ×
= ∫ ∫
rr rr
Es la Ley de fuerzas de Ampere: la fuerza que el circuito
C’ de corriente I’ ejece sobre el circuito C de corriente I

Aplicación de la Ley de Biot y Savart
Ejemplo 1: El campo magnético del segmento recto portador de corriente
Solución. De la Ley de Biot y Savart , el campo B es:
( )
( ) ( )
2
1
0 0
3/2 3/22 2 2 2
'
ˆˆˆ ˆ' '' ' '
( )
4 4' '
L
C L
d z z z zI I d z
B r
z z
ρ ρµ µ φ ρ
π πρ ρ−
× −
= =
+ +
∫ ∫
r r
( )
2
1
0 0 2 1
3/ 2 2 2 2 22 2
2 1
ˆ ˆ' ''
( )
4 4'
L
L
I I L Ld z
B r
L Lz
µ φ ρ µ φ
π πρ ρ ρρ−
 
 = = +
 + ++  
∫
r r
A partir de este resultado se puede determinar el
campo B debido a una corriente recta infinita haciendo
1 2,L Lρ <<
0 ' ˆ( )
2
I
B
µ
ρ φ
π ρ
=
r
Para una corriente recta infinita
La presente figura muestra la dirección del campo B
calculado y graficado con Matlab

Aplicación de la Ley de Biot y Savart
Ejemplo 1: El campo magnético debido a una espira circular de radio a que
conduce una corriente I’ en puntos de su eje.
0
3
' '
( )
4
I d r R
d B r Tesla
R
µ
π
×
=
rrr r
Solución: Aplicando la fórmula (7) que es el campo de
un elemento de corriente, tenemos:
Según la figura es fácil darse cuenta que la resultante
del campo tiene la dirección del eje Z y el módulo es
La componente en la dirección Z será:
El campo B debido a toda la espira será:
o
0 0
3 2
' ' ' '
4 4
I R dr I dr
d B
R R
µ µ
π π
= =
0 0 0
2 3 3
' ' ' '' '
cos
4 4 4
z
a I dr a I adI dr a
d B d B
R R R R
µ µ µ φ
θ
π π π
= = = =
2 2
2
0 0
3 30
' '
'
4 2
z
I a I a
B d
R R
πµ µ
φ
π
= =∫
( )
2
0
3/22 2
'
ˆ
2
I a
B z
a z
µ
=
+
r

Efecto Hall
Cuando se coloca un conductor que transporta corriente en un campo magnético, se genera
una diferencia de potencial en una dirección perpendicular tanto de la corriente como del
campo magnético.
Si los portadores de carga son electrones que se
mueven con una velocidad de arrastre V experimentan
una fuerza magnética hacia abajo acumulándose en la
superficie inferior electrones y dejando en la superficie
superior exceso de cargas positivas. Esta acumulación
de cargas en los bordes establece un campo eléctrico en
el conductor y se incrementa hasta que la fuerza
eléctrica equilibra la fuerza magnética. Cuando se
alcanza el equilibrio no habrá desplazamiento de cargas.
Se puede medir la diferencia de potencial (voltaje Hall). Primero se calcula el campo eléctrico:
eE eV B E VB− = − × ⇒ =
r r r
La tensión de Hall es:
hV Ed VBd= =
La relación entre la densidad de corriente
volumétrica y la velocidad es:
J neV=
Aquí n es el número de electrones por unidad de
volumen. De las expresiones de J llegamos a:
I I
J
S ld
= =También
I
V
neld
= Que reemplazando en Vh:
h
h
V nelBI
V o B
nel I
= =
conductores metálicos
28 3
8.4 10n m−
= ×

Ley de Biot y Savart para distribuciones de
corrientes continuas
Puede demostrarse fácilmente que
la relación de la corriente filamental,
superficial y volumétrica es:
' ' ( ') ' ( ') ' (12)I dr K r dS J r dV= =
r rr r r
Reemplazando en (8) tenemos:
0
3
'
( ')
( ) ' (13)
4 S
K r R
B r dS Tesla
R
µ
π
×
= ∫
r rrr r
K es el vector densidad de
corriente superficial A/m
Reemplazando en (8) tenemos
(B para corriente superficial)
0
3
'
( ')
( ) ' (14)
4 V
J r R
B r dV Tesla
R
µ
π
×
= ∫
r rrr r
(B para corriente volumétrica)
J es el vector densidad de corriente
volumétrica A/m2
Se define el flujo magnético como la
integral de superficie del campo B
ˆ( ) (15)
S
B r n dS WeberΦ = ×∫
r r

Ejemplos
1) Una corriente I’ circula a lo largo
de una placa infinita de ancho w.
Determine el campo inducción
magnética B en z=d
3) Un solenoide ideal
consiste en un número de
vueltas (bobina) distribuido
uniformemente como se
muestra en la figura. Para
un solenoide de longitud L,
N vueltas que conduce una
corriente I’ determine el
campo B dentro del
solenoide en un punto del
eje z
4) Demostrar que para un solenoide ideal
infinitamente largo de n vueltas por unidad
de longitud y que conduce una corriente I’
el campo dentro (en cualquier punto) del
solenoide es constante e igual a
Y fuera del solenoide el campo B=0
0
ˆ 'B z nIµ=
r
2) Una corriente circula en todo el
plano XY con una densidad de
corriente superficial dada por
donde Ko es constante,
determine el campo B en todo el
espacio
0
ˆK x K=
r

Caracterización del campo magnético, Ley circuital
de Ampere
Teorema de Helmholtz: Un campo
vectorial está determinado si su
divergencia y su rotacional están
especificados en todos los puntos
El campo inducción magnética es
solenoidal, es decir, la divergencia
del campo B es nula:
( ) 0 (16)B r∇× =
r r
El campo B es rotacional, es decir:
0( ) ( ) (17)B r J rµ∇× =
r rr r
Considerando una superficie abierta S
con recorrido C que puede intersectar la
fuente de corriente J. Efectuando la
integral de superficie sobre la última
ecuación, tenemos:
0
ˆ ˆ( ) ( )
S S
B r nd S J r nd Sµ∇× × = ×∫ ∫
r rr r
Aplicando el teorema de Stokes al
primer lado:
0 0
ˆ( ) ( ) (18)a través
deSC S
B r d r J r nd S Iµ µ× = × =∫ ∫
r rr r r
Ñ
Es la forma integral de la Ley de
Ampere o también conocida como Ley
circuital de Ampere para el campo B.
Se definirá posteriormente un campo
intensidad magnética H (A./m.) que es:
0
( )
( )
B r
H r
µ
=
r rr r
0( ) ( ) (18. )B r H r aµ=
r rr r

Problemas de la ley circuital de Ampere
2) Dos regiones cilíndricas de
longitudes infinitas y radio a se
intersecan como se muestra en la
figura. Conducen densidades de
corrientes y excepto
en la intersección. Determine el
campo B en módulo y dirección en
cualquier punto de la intersección.
0ˆJ zJ=
r
0ˆJ zJ= −
r
1) En una región cilíndrica de longitud
infinita y radio a cuyo eje coincide
con el eje z conduce una corriente a
lo largo del cilindro con densidad de
corriente . Determine el campo
B en todo el espacio
0
ˆJ zJ=
r
3) Determine el campo B en módulo y
dirección en todo el espacio debido a la
distribución de corriente cuya densidad
volumétrica está dada por:
0
0
ˆ 0
ˆ 0
zJ para x a
J
zJ para a x
< <
= 
− − < <
r
4) Determine en forma aproximada la
componente radial del campo B en
puntos muy cercanos del eje de una
espira circular de radio a que conduce
una corriente I’

Potencial vector magnético
El campo B es solenoidal, es
decir la divergencia de B es cero.
Por las matemáticas sabemos
que la divergencia de un
rotacional siempre es cero. Es
decir B es un rotacional:
( ) 0 ( ) 0B r A r∇× = ⇒ ∇×∇× =
rr r r
Para deducir el campo A de un
circuito fila mental partimos del
campo B. Como se sabe
0
3
'
' '
( )
4 C
I d r R
B r Tesla
R
µ
π
×
= ∫
rrr r
Mediante análisis vectorial se
demuestra que:
3
' 'dr R dr
R R
×  
= ∇× ÷
 
rr r
Reemplazando está equivalencia en la
expresión de B:
0
'
' '
( )
4 C
I d r
B r Tesla
R
µ
π
 
= ∇×  
 
∫
rr r
El término entre corchetes es el campo A
0
'
' '
( ) (19)
4 C
I d r
A r Tes m
R
µ
π
= −∫
rr r
y para una corriente volumétrica es:
0
'
( ')
( ) '
4 S
K r
A r dS Tes m
R
µ
π
= −∫
r rr r
0
'
( ')
( ) '
4 V
J r
A r dV Tesla m
R
µ
π
= −∫
r rr r
El potencial vector debido
a una corriente superficial:

Propiedades del potencial vector magnético
Ejemplo 2: Determinar el potencial vector magnético del segmento recto portador
de corriente
Solución. De la fórmula (19) , el campo A es:
2
1
2 2
2 20 0 0
2 2 2 2
' 1 1
' ' '' '
ˆ ˆ( )
4 4 4'
L
C L
L LI I Id r dz
A r z z Ln
R z L L
ρµ µ µ
π π πρ ρ−
 + +
 = = =
 + − + + 
∫ ∫
rr r
A partir de está expresión puede calcularse el campo A
debido a una corriente recta infinita haciendo que2 1,L L → ∞
2 1
2 2
2 20 0 0
2 2,
1 1
' '
ˆ ˆ( ) lim
4 2L L
L LI I
A r z Ln z Ln
L L
ρµ µ ρ
π π ρρ→∞
 + +  
 = =  ÷
 − + +   
r r es un punto de
referencia donde A=0
0ρ
Mediante este simple ejemplo podemos concluir en general que para una
distribución de corriente infinita debe escogerse otro punto de referencia
donde el potencial A=0. Otra prueba de la validez de la expresión anterior es
que si tomamos el rotacional de A obtenemos la expresión correcta del campo B
0ρ ≠ ∞
[ ]0 0
0
' 'ˆ ˆ ˆ( ) ( )
2 2
Z I IA
B r A r Ln Ln
µ µ
φ φ ρ ρ φ
ρ π ρ π ρ
∂ ∂
= ∇× = − = − − =
∂ ∂
rr r r

Problemas de potencial vectorial magnético
1) Una espira circular de radio a
localizado en al plano xy cuyo centro
coincide con el origen de coordenadas
conduce una corriente I’ demostrar que
el potencia vectorial magnético en
cualquier punto del espacio es:
( )
/2
0
22 2 22
0
/ 2
2 2
2
0
' 2ˆ 1
1
2
1
I a d
A
k k sena z
k sen d
k
π
π
µ α
φ
απ ρ
α α
 
= − ÷
  −+ +

− − 

∫
∫
r
( )
2
2 2
4a
k
a z
ρ
ρ
=
+ +
donde
2) Determinar el potencial
vectorial magnético en
todo el espacio producido
por un solenoide ideal de
longitud muy grande,
radio a (L>>a) y n vueltas
por unidad de longitud
que conduce una
corriente I’.
3) Una carga eléctrica espacial con
densidad de carga volumetrica
constante ρ0 se distribuye en una
región cilindrica de radio a y longitud
infinita. Si la distribución de carga
gira alrededor de su eje con una
velocidad angular constante ω.
Determine el campo A y B en todo el
espacio.

Ecuación diferencial para el campo A
Otra propiedad del potencial vectorial
magnético es que la divergencia de A
es cero:
( ) 0 (20)A r∇× =
r r
Ejemplo 3 Demostrar lo siguiente:
0( ) ( )B r J rµ∇× =
r rr r
2
0( ) ( ) (21)A r J rµ∇ = −
r rr r
y
Solución. Sabemos que:
( )B A B A= ∇× ⇒ ∇× = ∇× ∇×
r rr r
Aplicando la conocida propiedad:
( ) ( ) 2 2
A A A A∇× ∇× = ∇ ∇× −∇ = −∇
r r r r
Ósea que:
2
B A∇× = −∇
rr
Considerando la expresión del campo
A debido a una distribución de corriente
volumétrica, tenemos que:
2 2 0
'
20
'
( ')
'
4
1
( ') '
4
V
V
J r
A dV
R
J r dV
R
µ
π
µ
π
 
∇ = ∇ = 
 
 
∇  ÷
 
∫
∫
r rr
r r
Utilizando las propiedades de las
funciones Delta de Dirac :
2 1
4 ( '),r r
R
π δ
 
∇ = − − ÷
 
r r
( ')r rδ −
r r
'
0
( ') ( ') '
( )V
F r r r dV
F r
δ

− = 

∫
r r r r
r r
La última integral es cero cuando r está fuera
de la región de r’ y diferente de cero cuando r
está en la región de r’. Finalmente el flujo
magnético es:
ˆ ˆ
S S C
B ndS A ndS A d rΦ = × = ∇× × = ×∫∫ ∫∫ ∫
r rr r
Ñ
(Ecuación diferencial para A)

Potencial Escalar magnético Vm
En la región fuera de la fuente (J=0) se cumple:
0B∇× =
r
Según las matemáticas: El rotacional de un gradiente
siempre es cero. Es decir podemos considerar:
0( ) ( ) (22)mB r V rµ= − ∇
r r r
El potencial escalar magnético cumple con la ecuación
diferencial de Laplace. Aplicando divergencia a (22):
[ ]0 0( ) ( ) ( ) 0m mB r V r V rµ µ∇× = ∇×− ∇ = − ∇×∇ =
r r r r
La divergencia de un gradiente es el laplaciano:
2
( ) 0 (23)mV r∇ =
r
Se conoce una expresión explicita de Vm para circuitos
fila mentales cerrados:
3
'
ˆ' '
( ) ' (24)
4
m
S
I R n
V r dS
Rπ
×
= ∫∫
r
r
y ( ) ( )mH r V r= −∇
r r r

Potencial Escalar magnético Vm
Ejemplo 3: Determine el potencial
escalar magnético Vm debido a una
espira circular de radio a y corriente I´
Solución: Aplicamos la fórmula (24)
( )
3
'
2
3
0 0
ˆ' '
( ) '
4
cos'
' ' '
4
m
S
a
I R n
V r dS
R
RI
d d
R
π
π
β
ρ ρ φ
π
×
= =∫∫
∫ ∫
r
r
2
3
0 0
2
3/22 2
0 0
'
( ) ' ' '
4
' ' '
'
4 '
a
m
a
I z
V r d d
R
I z d
d
z
π
π
ρ ρ φ
π
ρ ρ
φ
π ρ
= =
 + 
∫ ∫
∫ ∫
r
Las dos integrales son simples, el
resultado final es:
2 2
'
( ) 1
2
m
I z
V r
a z
 
= − ÷
+ 
r
El campo B se obtiene mediante (22)
0
0
( ) ( )
1 ˆˆ ˆ´
m
m m m
B r V r
V V V
z
z
µ
µ ρ φ
ρ ρ φ
= − ∇ =
 ∂ ∂ ∂
− + + ∂ ∂ ∂ 
r r r
2
0
3/22 2
ˆ'
( )
2
I a z
B r
a z
µ
=
 + 
r r

Campo magnético de circuitos distantes
(dipolo magnético)
El potencial vector magnético debido a un circuito muy pequeño
o el punto donde se evalúan los campos magnéticos está muy
distante puede evaluarse con relativa facilidad. Así:
', 'r r R r>> >>
0 0
2 2 1/ 2
' '
' '' '
( ) (25)
4 4 ' 2 'C C
I Id r d r
A r
R r r r r
µ µ
π π
= =
 + − × 
∫ ∫
r rr r
r rÑ Ñ
Considerando el punto muy alejado del circuito aproximamos:
32 2 1/2
1 1 '
' 2 '
r r
r rr r r r
×
≈ +
 + − × 
r r
r r
Reemplazando
en (25) queda
( )0
3
' '
' 1 1
( ) ' ' '
4 C C
I
A r d r r r d r
r r
µ
π
 
= + × 
 
∫ ∫
r r r r r r
Ñ Ñ
Es fácil demostrar que la primera
integral es cero, quedando:
( )0
3
'
' 1
( ) ' ' (26)
4 C
I
A r r r d r
r
µ
π
= ×∫
r r r r r
Ñ
Utilizando la siguiente identidad vectorial:
( ) ( ) ( )F G H F H G F G H× × = × − ×
r r rr r r r r r
( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' (27)r r d r r d r r r r d r× × = × − ×
r r r r r r r r r
Así:
Diferenciando ( )' 'r r r×
r r r
( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' (28)d r r r r d r r r r d r× = × + ×  
r r r r r r r r r

Dipolo magnético
De (27) y (28) despejando
y reemplazando en (26) se obtiene:
( )' 'r r r×
r r r
( ) ( ){ }0
3
'
' 1
( ) ' ' ' '
4 2 C
I
A r r d r r d r r r
r
µ
π
= × × + ×  ∫
r r r r r r r
Ñ
La segunda integral es cero, queda:
( )0
3
'
' 1
( ) ' ' (29)
4 2 C
I
A r r d r r
r
µ
π
 
= × × 
 
∫
r r r r r
Ñ
Se puede demostrar que el término
entre corchetes es el área con
dirección encerrada por C’
( )
'
1
ˆ' ' ' ' '
2 C
S n S r d r= = ×∫
r r r
Ñ
Se define el momento dipolar
magnético como:m
r
( )
'
1
' ' ' ' '
2 C
m I S I r d r= = ×∫
rr r r
Ñ
De manera que (29) se expresa como:
0
3
( ) (30)
4
m r
A r
r
µ
π
×
=
r rr r
Es el potencial vector magnético de un
dipolo magnético. Se puede demostrar:
( )0
5 3
3
( ) (31)
4
m r r m
B r
r r
µ
π
× 
= − 
 
r r r rr r
Es el campo B de un dipolo magnético.
El potencial escalar magnético es:
3
( ) (32)
4
m
m r
V r
rπ
×
=
r r
r

Ejemplos de dipolos magnéticos
1) Una espira circular de radio a
localizado en al plano xy cuyo centro
coincide con el origen de
coordenadas conduce una corriente
I’ . Encontrar los campo A , B y Vm
para puntos r>>a
2) Una carga eléctrica Q se distribuye de
forma uniforme en una región circular de
radio a. Si la distribución gira alrededor de
su eje con una velocidad angular constante
ω. Determine los campos A, B y Vm en
puntos r>>a.

Momento de rotación magnético o torque magnético
Otra cantidad interesante es el momento de rotación o torque
sobre un circuito cerrado. El momento de rotación es el
momento de la fuerza magnética, el momento de rotación
infinitesimal está dado por:
( ) ( )md r d F r I d r B I r d r Bτ = × = × × = × ×
r r rr r r r r r
El momento de rotación sobre un
circuito cerrado es:
( ) (33)
C
I r d r Bτ = × ×∫
rr r r
Ñ
Si el campo B no es uniforme, no
puede simplificarse la expresión. Un
campo vectorial es uniforme cuando
es constante en módulo y dirección.
Cuando B es uniforme procedemos
así:
( ) ( ) ( )r d r B d r B r B r d r× × = × − ×
r r rr r r r r r
Está expresión reemplazamos en (33):
( ) ( )
C C
I d r B r I B r d rτ = × − ×∫ ∫
r rr r r r r
Ñ Ñ
( ) ( )
C C
I d r B r I B r d rτ = × − ×∫ ∫
r rr r r r r
Ñ Ñ
o
La segunda integral es cero, queda
( ) (34)
C
I B r d rτ = ×∫
rr r r
Ñ
Utilizando la identidad conocida
ˆ
C S
g d r n g dS= ×∇∫ ∫∫
r
Ñ

Momento de rotación magnético
La expresión (34) se transforma en:
( )ˆ (35)
S
I n B r dSτ = ×∇ ×∫∫
rr r
Se demuestra fácilmente que
cuando B es uniforme
( )B r B∇ × =
r rr
La expresión (35) queda como:
ˆ ˆ
S S
I n B dS I ndS Bτ
 
= × = × 
 
∫∫ ∫∫
r rr
El término entre corchetes es el
momento dipolar magnético. Ósea
m Bτ = ×
rr r
Está fórmula es válida solamente
para cualquier circuito que sea fila
mental.
Ejemplo: Dos dipolos puntuales m1 y
m2 son paralelos y están separados
una distancia r. Los dipolos están
fijos en sus posiciones pero el dipolo
2 puede girar.
a)Determine el torque sobre m2
b)El ángulo θ para el torque máximo

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