Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones, puntos adherentes y de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que el conjunto de números racionales Q es denso en el conjunto de números reales R, mediante la construcción de un número racional entre cualquier par de reales. También presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que si una sucesión acotada en Rn contiene infinitos puntos, entonces tiene al menos un punto de acumulación.

1. Topolog´ 1
ıa
Veronica Villegas Santiago
Miguel Angel Mora luna
Rodrigo Jos´ Burgos
e
08/03/2012
X espacio m´trico, A ⊂ X, x ⊂ X, x es adherente si ∀V vecindad de x
e
V ∩A=∅
¯
A = {x ∈ X : x es adherente a A}
´
PROPOSICION:
¯
F ⊂ X es cerrado ssi F = F
X espacio m´trico
e
´
DEFINICION:
¯
A ⊂ X, es denso (en X) en cualquier parte si, A = X
x ∈ X, V vecindad cualquiera de x
V ∩A=∅
TAREA: Mostrar que Q es denso en
Demostraci´n:
o
Sean x, y ∈ tales que x < y, entonces existe un u−1 tal que xu−1 < yu−1
tambien ∃r ∈ Q tal que xu−1 < yu−1 multiplicando todo por u tenemos
x < ru < y de aqu´ vemos que entre dos reales existe siempre un racional
ı
Otra desmostraci´n es la siguiente:
o
Sean x, y ∈ tales que x < y
vemos que y − x > 0 y sabemos que uu−1 = 1
u−1 (y − x) > 0 multiplicamos por u−1
∃n ∈ Z + tal que n(u−1 (y − x)) > 1
=⇒ nu−1 y > nu−1 x + 1
Existe la propiedad siguiente, ∃m ∈ Z tal que m − 1 ≤ nu−1 x < m
=⇒ nu−1 x < m < nu−1 x + 1 < nu−1 y
=⇒ nu−1 x < m < nu−1 y
x < m (u−1 )−1 < y
n
x< m −u<y
n
x<r·u<y
1

2. ´
DEFINICION:
X espacio m´trico
e
ℵ −→ X se llama sucesi´n en X
o
n → xn
Rango de U = Rangu = {x1 , x2 , ..., xn }
= {xn }n∈ℵ
Llamamos subsucesi´n de U : ℵ −→ X a la sucesi´n u ◦ ϕ si ϕ es una funci´n
o o o
ϕ : ℵ −→ ℵ, ϕ es estrictamente creciente
ℵ −→ϕ ℵ −→u X, tal que u ◦ ϕ es sucesi´n o
Ejemplo:
1
y : n −→ n
1 1 1
= {1, 2 , 3 , 4 , ..., } esta es la sucesi´no
= { 1 , 1 , 1 , ..., 2n , ..., } es la subsucesi´n
2 4 6
1
o
´
DEFINICION:
Dada una sucesi´n xn en un espacio m´trico X, un punto L ∈ X es l´
o e ımite
de la sucesi´n (xn ) dado > 0 cualquiera ∃N ∈ ℵ t.q.
o
Xn ∈ B (L) ∀n > N
xn −→ L, xn converge a L, cuando n crece indefinidamente
n →∞
LEMA:
Si xn −→ L , y xϕ(n) es una subsucesi´n de xn entonces xϕ(n) −→ L
o
Como xn −→ L entonces dado > 0 cualquiera, ∃N ∈ ℵ tal que
xn ∈ B (L) ∀n > N
Como xϕ(n) es una subsucesi´n de xn y es estrictamente creciente entonces
o
ϕ(n) > npor lo tanto ϕ(n) > N .
De aqu´ xϕ(n) ∈ B (L)
ı ∀ϕ(n) > N .
Por lo tanto xϕ(n) −→ L .
El rec´
ıproco no es cierto.
DEFINICION:´
Dada (xn ) sucesi´n en un espacio m´trico X ,un punto x ∈ X es punto de
o e
acumulaci´n de(xn ) si dado > 0∃N ∈ ℵ tal que para algun n > N .
o
xn ∈ B (x).
2

3. LEMA:
En un espacio m´trico todo punto adherente a la imagen de una sucesi´n es
e o
un punto de ella o bien un punto de acumulaci´n de ella.
o
Corolario: Si xn es una sucesi´n sin puntos de acumulaci´n entonces xn es
o o
cerrada.
´
DEFINICION:
Dada una suceci´n , decimos que x ∈ X es un punto de acumulaci´n de la
o o
sucesi´n {xn }, si dado > 0 ∀m ∈ N ∃n ∈ N con n > m tal que:
o
xn ∈ B (x)
Observacion:
Si V es una vecindad de X
V ∩ {xn } = ∅
Es decir, para cada vecindad V de X, V tiene infinidad de elementos del rango
de la sucesi´n, es decir, {xn } tiene una subsucesi´n convergente de X.
o o
x es punto de acumulaci´n existe una subsucesi´n de {xn } tal que:
o o
{xϕ(n) } ⊂ {xn } tal que xϕ(n) n→∞ −→ x
TEOREMA:
En un espacio m´trico, dado una sucesi´n {xn } si x es punto adherente a {xn }
e o
entonces x = xm para alg´n m ∈ N o bien x es punto de acumulaci´n de {xn }.
u o
Dem:
Sea x ∈ X un punto adherente a {xn }
si x = xm para alg´n m ∈ N terminamos.
u
ahora, si x = xn , ∀n ∈ N
Como x es adherente a {xn }, para V vecindad de x,
V ∩ {xn } = ∅
Sea Br (x) ⊂ V , si Br (x) ∩ {xn } = {xi1 , ..., xik }
entonces
tendremos Bs (x) donde s = inf d(x, xik )
de manera que Bs (x) ∩ {xn } = ∅
por lo que entonces ∃W vecindad de x tal que W ∩ {xn } = ∅. si esto sucede, x
no es adherente a {xn }!!!
por lo tanto x = xn
Observaciones:
i) A− = A ∪ Aa ; donde A es el rango de los elementos de la sucesi´n.o
ii) si {xn } es una sucesi´n sin puntos de acumulaci´n, el rango es cerrado.
o o
3

4. TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS:
Si una sucesi´n {xn } acotada de Rn contiene una infinidad de puntos, entonces,
o
existe por lo menos un punto de Rn que es un punto de acumulaci´n de {xn }.
o
TAREA
Demostraci´n:
o
Probemos para R1
Como {xn } es una suceci´n acotada, esta contenida en un cierto intervalo.
o
[−a, a], donde por lo menos uno de los subintervalos [−a, 0], [0, a] contiene un
subconjunto infinito de puntos de {xn }.
llamemos a este subintervalo [a1 , b1 ], dividimos el intervalo en dos partes iguales
y obtendremos un subintervalo [a2 , b2 ]que contiene un subconjunto de puntos
de {xn } infinito; y continuemos con este proceso.
De esta manera, hemos obtenido una colecci´n numerable de intervalos, tales
o
que el n-esimo intervalo [an , bn ] tiene longitud bn − an = a/2n−1
Esta claro que el supremo de los puntos extremos de la izquierda de an y el
´
ınfimo de los puntos extremos de la derecha de bn coinciden.
Llamemosle ”y”, el punto ”y” sera punto de acumulaci´n de xn ya que
o
para un r lo suficientemente grande, r > 0
el intervalo [an , bn ] ⊂ Br (y) siempre que n sea lo suficientemente grande para
que bn − an < r/2
As´ el intervalo Br (x) contiene un punto de xn , distinto de ”y” y por lo tanto
ı,
”y” es un punto de acumulaci´n para {xn }
o
Utilicemos estas ideas para Rn n > 1
como {xn } est´ acotada, entonces podr´ ser incluida en cierta n-bola Ba (c) con
a a
a > 0 y tambi´n en el intervalo n-dimencional J1 definido por las desigualdades:
e
−a yk a, k = 1, 2, ..., n.
aqu´ J1 designa el producto cartesiano:
ı,
J1 = I1 (1) XI2 (1) XI3 (1) X....XIn (1)
Es el conjunto de los puntos {y1 , y2 , ...yn } donde yk ∈ Ik (1) , y donde cada
Ik (1) es un intervalo unidimensional
−a yk a.
Cada intervalo Ik (1) se puede subdividir en dos subintervalos Ik,1 (1) e Ik,2 (1)
definida por las desigualdades.
Ik,1 (1) : −a yk 0. ; Ik,2 (1) :0 yk a.
Ahora, consideremos todos los productos cartesianos de la forma:
I1,k1 (1) XI2,k2 (1) XI3,k3 (1) X....XIn,kn (1)
4

5. donde cadaki = 1 o 2.
Hay exactamente 2n productos de este tipo y, ademas, cada uno de ellos es
un intervalo n-dimensional
La re-uni´n de de estos 2n intervalos es el producto original J1 que contiene a
o
{xn } Elijamos uno de los que verifiquen esta propiedad y llamemosle J2 , el cual
tambi´n podr´ expresarse:
e a
J2 = I1 (2) XI2 (2) XI3 (2) X....XIn (2)
donde cada Ik (2) es uno de los subintervalos de Ik (1) de longitud a. Entonces,
procederemos con J2 de la misma manera que hicimos con J1 , dividimos cada
intervalo en dos partes iguales obteniendo un intervalo n-dimensional que con-
tenga una infinidad de puntos de {xn }.
Si continuamos as´ obtendremos una colecci´n numerable de intervalos n-dimensionales
ı, o
J1 , J2 , J3 .... , tales que el intervalo m-esimo Jm verifica la propiedad de contener
un subconjunto de puntos de {xn } y se puede expresar de la forma:
Jm = I1 (m) XI2 (m) XI3 (m) X....XIn (m) , donde Ik m ⊆ Ik 1
Ik m = [ak (m) , bk (m) ], tendremos que :
bk (m) − ak (m) = a/2m−2 ; k = 1, 2, ..., n
Para k fijo, el supremo de los extremos de la izquierda deak (m) , (m = 1, 2, ...),
deber´ ser igual al ´
a ınfimo de los extremos de la derecha de los bk (m) , (m =
1, 2, ...), y a ´ste valor en com´n, lo denotaremos como tk
e u
Ahora, tendremos a t = (t1 , t2 , t3 , ...tn ) que es un punto de acumulaci´n de {xn }
o
Para verlo basta tomar una n-bola, Br (t), r > 0, el punto ”t” pertenece a cada
uno de los intervalos J1 , J2 ..., construidos anteriormente y cuando ”m” es tal
que:
a/2m−2 < r/2 el entorno incluir´ a Jm
a
Pero comoJm contiene una infinidad de puntos de {xn } tambi´n los contendr´
e a
Br (t), por lo que demuestra que ”t” es realmente un punto de acumulaci´n de
o
{xn }.
Q es denso en R:
Demostraci´n:
o
Entre cada dos n´meros reales existe un racional, por tanto hay infinitos. Sean
u
x, y ∈ , x < y.
1
• Como x < y ⇒ y − x > 0.Tomamos y−x . Como el conjunto N no est´ acotado
a
podemos asegurar que:
1 1
∃n ∈ N/n > y−x ; es decir, y − x > n ....(1)
• Sea p ∈ Z la parte entera de nx.
p
Entonces p ≤ nx < p + 1 ⇒ n ≤ x ...(2)
5

6. y
p+1
x< n ....(3)
• Aplicando las relaciones (1), (2) y (3) se cumple
p 1 p+1 p+1
y = x+(y −x) > n + n (Por (1) y (2))= n > x(por (3)) Es decir, x < n < y,
p+1
siendo n un n´mero racional.
u
´
SUCESION DE CAUCHY
´
DEFINICION:
Si X es un espacio m´trico (xn )n∈N una sucesi´n en (xn ) es de Cauchy, si
e o
dado ε > 0, ∃Nε ∈ N tal que
d(xn , xm ) < ε n, m > Nε
Observaci´n:
o
Toda subsucesi´n de una sucesi´n de Cauchy es de Cauchy. Es decir, sea xϕ(n)
o o
y ϕ : N → N , y ϕ es estrictamente creciente entonces
(xϕ(n) ) ⊂ xn
DEFINICION: ´
X es un espacio m´trico, X es completo si toda subsucesi´n de cauchy es con-
e o
vergente.
Observaciones:
• La propiedad de ser completo, se llama plenitud.
• es completo
• Q no es completo
• La propiedad de ser de Cauchy es un criterio de convergencia.
LEMA:
En un espacio m´trico toda sucesi´n de cauchy que tiene una subsucesi´n con-
e o o
vergente es convergente.
Sea (xn ) la sucesi´n de cauchy (xϕ(n) ) la subsucesi´n convergente, esto es
o o
xϕ(n) → cuando n → ∞ ahora debemos demostrar que xn → cuando n → ∞.
Como xϕ(n) → cuando n → ∞, dado ε > 0∃N ∈ ℵ tal que
ε
d(xϕ(n) , ) < 2 para n¿N
ε ε
d(xn , ) ≤ d(xn , xϕ(n) ) + d(xϕ(n) , ) < 2 + 2 = ε tal que xn →
LEMA:
n
con la m´trica euclidiana es completo.
e
n
Queremos probar que dada una sucesi´n de cauchy (xn ) en
o existe x ∈
tal que xn → x cuando n → ∞.
6

7. Primero mostraremos que con la m´trica usual es completo. Sea (xn ) una
e
sucesi´n de Cauchy en , queremos probar que ∃ ∈ tal que xn → cuando
o
n → ∞. Ahora demostraremos que es acotado.
Como (xn ) es de cauchy.Para ε = 1, ∃N1 ∈ ℵ tal que
|xn − xm | < 1n, m > N1
Sea M = max{|xi |}
con 1 ≤ i ≤ N1
|xr | = |xr − xN1 + xN1 | ≤ |xr − xN1 | + |xN1 | < 1 + M = K
Con lo cual (xn ) est´ acotado. Ahora ya que (xn ) est´ acotado, por lo tanto
a a
tiene un punto de acumulaci´n, como tiene un punto de acumulaci´n tiene una
o o
subsucesi´n que converge a un punto y como tiene una subsucesi´n que converge
o o
entonces la sucesi´n de Cauchy converge.
o
Ahora probaremos que R2 es completo. Supongamos que {(xn , yn )} es de
cauchy.
Si ε > 0 queremos mostrar que para alg´n N ∈ ℵ, n, m ≥ N ⇒ |xn − xm | < ε
u
y |yn − ym | < ε as´ que
ı
xk y yk convergen para alg´n x, y ∈ , respectivamente por suposici´n, y luego
u o
(xk , yk ) → (x, y) ∈ 2 .
Ahora asumiremos para cualquier positivo ε que hay un N tal que si m, n ≥ N :
0 ≤ (xn − xm )2 + (yn − ym )2 < ε.
Pero esto implica que
(|xn − xm | = (xn − xm )2 < ε) ∧ (|yn − ym | = (yn − ym )2 < ε)
√
Esto es obvio ya que: a2 + b2 < c ⇒ |a| < c, si |a| ≥ c entonces
√ √
a2 + b2 ≥ c2 + b2 ≥ c.
As´ tenemos que xk y yk son ambos de Cauchy, y por suposici´n deben converger
ı o
a alg´n x, y ∈
u
7