1. Relaciones Binarias
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Sea A ⊆ B, A = φ.Dada una relaci´n R en A, se define la relaci´n S por:
o o
xSy ⇔ (xRy ∧ yRx)
y la relaci´n T como:
o
xT y ⇔ (xRy ∧ y Rx)
(a) Mostrar que T es antisim´trico.
e
(b) Mostrar que si R es transitivo, entonces S, T son transitivos.
Lo contrario es cierto? Probar.
Soluci´n
o
1. (a) Supongamos existan x, y ∈ A tales que xT y ∧ yT x, lo cual por
definici´n de T ser´ falso.Como
o ıa
F →()≡V
Luego podemos concluir cualquier cosa desde que la premisa es falsa
as´ x = y luego T es antisim´trica.
ı: e
(b) Sean xSy ∧ ySz veamos que xSz, en efecto; por definici´n:
o
xSy ⇔ (xRy ∧ yRx)
ySz ⇔ (yRz ∧ zRy)
Por transitividad de R:
xRy ∧ yRz ⇒ xRz
zRy ∧ yRx ⇒ zRx
luego por definici´n de S tenemos: xSz, as´ S es transitiva.
o ı
Sean xT y ∧ yT z veamos que xT z.
Por definici´n tenemos:
o
xT y ⇔ (xRy ∧ y Rx)
yT z ⇔ (yRz ∧ z Ry)
Por la transitividad de R se deduce que xRz basta mostrar que z Rx
Supongamos que zRx.
De yRz ∧ zRx la transitividad implica que yRx pero y Rx esto es una
contradicci´n.Luego z Rx as´ T es transitivo.
o ı
1

2. Para lo rec´
ıproco veamos un contraejemplo:
Consideremos A = {a, b, c, n} y la relaci´n R ⊆ A × A como
o
R = {(a, b); (b, c); (a, c); (n, b); (b, n); (b, b); (n, n)}
Se deduce f´cilmente que:
a
S = {(n, b); (b, n); (b, b); (n, n)}, T = {(a, b); (b, c); (a, c)}
Deducimos que S y T son transitivas.Supongamos R sea transitiva,
luego (n, c) deber´ pertenecer a R lo cual no es cierto, luego R no
ıa
es transitiva.
2