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Relaciones Binarias
                    Helmuth villavicencio fern´ndez
                                              a


  1. Sea A ⊆ B, A = φ.Dada una relaci´n R en A, se define la relaci´n S por:
                                     o                            o

                                xSy ⇔ (xRy ∧ yRx)

    y la relaci´n T como:
               o
                                xT y ⇔ (xRy ∧ y Rx)
                                                
                                                 
     (a) Mostrar que T es antisim´trico.
                                 e
     (b) Mostrar que si R es transitivo, entonces S, T son transitivos.
         Lo contrario es cierto? Probar.

Soluci´n
      o
  1. (a) Supongamos existan x, y ∈ A tales que xT y ∧ yT x, lo cual por
         definici´n de T ser´ falso.Como
                o          ıa

                                        F →()≡V

           Luego podemos concluir cualquier cosa desde que la premisa es falsa
           as´ x = y luego T es antisim´trica.
             ı:                        e
     (b) Sean xSy ∧ ySz veamos que xSz, en efecto; por definici´n:
                                                              o

                                     xSy ⇔ (xRy ∧ yRx)

                                     ySz ⇔ (yRz ∧ zRy)
           Por transitividad de R:

                                     xRy ∧ yRz ⇒ xRz

                                     zRy ∧ yRx ⇒ zRx
           luego por definici´n de S tenemos: xSz, as´ S es transitiva.
                            o                       ı
           Sean xT y ∧ yT z veamos que xT z.
           Por definici´n tenemos:
                      o

                                     xT y ⇔ (xRy ∧ y Rx)
                                                     
                                                      

                                     yT z ⇔ (yRz ∧ z Ry)
                                                     
                                                      
           Por la transitividad de R se deduce que xRz basta mostrar que z Rx
                                                                            
                                                                             
           Supongamos que zRx.
           De yRz ∧ zRx la transitividad implica que yRx pero y Rx esto es una
                                                                
                                                                 
           contradicci´n.Luego z Rx as´ T es transitivo.
                      o             ı
                                  


                                         1
Para lo rec´
           ıproco veamos un contraejemplo:
Consideremos A = {a, b, c, n} y la relaci´n R ⊆ A × A como
                                         o

         R = {(a, b); (b, c); (a, c); (n, b); (b, n); (b, b); (n, n)}

Se deduce f´cilmente que:
           a

     S = {(n, b); (b, n); (b, b); (n, n)}, T = {(a, b); (b, c); (a, c)}

Deducimos que S y T son transitivas.Supongamos R sea transitiva,
luego (n, c) deber´ pertenecer a R lo cual no es cierto, luego R no
                  ıa
es transitiva.




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Rela1

  • 1. Relaciones Binarias Helmuth villavicencio fern´ndez a 1. Sea A ⊆ B, A = φ.Dada una relaci´n R en A, se define la relaci´n S por: o o xSy ⇔ (xRy ∧ yRx) y la relaci´n T como: o xT y ⇔ (xRy ∧ y Rx)   (a) Mostrar que T es antisim´trico. e (b) Mostrar que si R es transitivo, entonces S, T son transitivos. Lo contrario es cierto? Probar. Soluci´n o 1. (a) Supongamos existan x, y ∈ A tales que xT y ∧ yT x, lo cual por definici´n de T ser´ falso.Como o ıa F →()≡V Luego podemos concluir cualquier cosa desde que la premisa es falsa as´ x = y luego T es antisim´trica. ı: e (b) Sean xSy ∧ ySz veamos que xSz, en efecto; por definici´n: o xSy ⇔ (xRy ∧ yRx) ySz ⇔ (yRz ∧ zRy) Por transitividad de R: xRy ∧ yRz ⇒ xRz zRy ∧ yRx ⇒ zRx luego por definici´n de S tenemos: xSz, as´ S es transitiva. o ı Sean xT y ∧ yT z veamos que xT z. Por definici´n tenemos: o xT y ⇔ (xRy ∧ y Rx)   yT z ⇔ (yRz ∧ z Ry)   Por la transitividad de R se deduce que xRz basta mostrar que z Rx   Supongamos que zRx. De yRz ∧ zRx la transitividad implica que yRx pero y Rx esto es una   contradicci´n.Luego z Rx as´ T es transitivo. o   ı 1
  • 2. Para lo rec´ ıproco veamos un contraejemplo: Consideremos A = {a, b, c, n} y la relaci´n R ⊆ A × A como o R = {(a, b); (b, c); (a, c); (n, b); (b, n); (b, b); (n, n)} Se deduce f´cilmente que: a S = {(n, b); (b, n); (b, b); (n, n)}, T = {(a, b); (b, c); (a, c)} Deducimos que S y T son transitivas.Supongamos R sea transitiva, luego (n, c) deber´ pertenecer a R lo cual no es cierto, luego R no ıa es transitiva. 2